Je leest:

Oneindigheid

Oneindigheid

Oneindigheid is een begrip waar we al meer dan tweeduizend jaar mee worstelen. Er wordt veel over gepraat, maar wat het precies is blijft duister. Theologen menen dat oneindigheid slechts aan God is voorbehouden. Maar volgens wiskundigen zijn er verschillende soorten oneindigheid.

Welkom in Hotel Oneindig! Het vreemde uithangbord had me bijna afgeschrikt, ware het niet dat alle andere hotels vol waren en alleen hier kamers vrij waren. Maar laat ik niet uitweiden over hoe ik hier verzeild raakte. Het belangrijkste is dat ik er weer uitkwam. Neem mijn waarschuwing daarom ter harte. Wie niet wil opgaan in de grote massa, vermijdt dit hotel!

Waarom lette ik ook niet beter op bij de receptie? De oude man die daar rondscharrelde bleef maar staren naar de vakjes met nummers waarin de sleutels ontbraken. “Weet u,” mompelde hij: “Eigenlijk zijn we vol. En omdat u niet van tevoren heeft geboekt, moet ik het eerst met de manager bespreken.” De receptionist verdween naar achteren en kwam pas tien minuten later weer tevoorschijn. Hij had een merkwaardige grijns op zijn gezicht. “U heeft geluk! We hebben iedereen een kamer op kunnen schuiven. Kamer 1 is daardoor vrij. Als u hier even wilt tekenen.”

Dit zou het logo van Hotel Oneindig kunnen zijn. De Hebreeuwse letter Alef staat voor verzamelingen van oneindige grootte. Alef-nul is de verzameling van alle positieve gehele getallen – zoals de kamernummers in Hotel Oneindig

Al lang blij dat er een kamer vrij was, schonk ik geen aandacht aan zijn opmerking over het opschuiven van de gasten en krabbelde mijn handtekening op het formulier. Daarop stond de check-out tijd vermeld en een uitleg over de luidspreker waarvan elke kamer is voorzien. Hotelgasten, zo las ik, waren verplicht de aanwijzingen op te volgen die de receptie via de luidspreker doorgaf.

Nog geen minuut nadat ik de koffers in mijn kamer had neergeploft, klonk een mededeling door de luidspreker. “Beste gasten, het spijt mij vreselijk,” klonk de stem van de receptionist. “Er is een bus met gasten gearriveerd en we hebben twintig kamers nodig. Iedereen wordt verzocht twintig kamers op te schuiven. Tel bij uw kamernummer 20 op; dat is uw nieuwe kamernummer.”

Natuurlijk kon ik niet weigeren. Voor mij waren er immers ook gasten opgeschoven. Dus pakte ik mijn koffers op. De gang krioelde van de hotelgasten. Mijn naaste buren hadden hun spullen duidelijk bij elkaar gegraaid. Maar aan het eind van de gang hadden ze het kennelijk vaker meegemaakt, want daar liepen ze met gepakte koffers rond. Na een paar minuten was de rust weergekeerd en had iedereen zijn nieuwe kamer ingenomen. Wel, ik was er in ieder geval op vooruit gegaan. In plaats van een bloemetjesbehang had mijn kamer nu witte muren en bovendien ook een balkon.

Een half uur later kwam er wéér een boodschap door de luidspreker. Er was een chartervlucht geland en of iedereen 328 plaatsen op kon schuiven! Op een van de hogere verdiepingen raakte ik even de weg kwijt. Ik liep een gang in met kamernummers 3.187.345.696 tot en met 3.187.345.744. In wat voor een gekkenhuis was ik beland?

De auteur had nog mazzel. Alef-nul is de verzameling van aftelbare oneindigheid: van de ene plek in de rij met getallen kun je naar de volgende komen door 1 erbij te tellen. In Alef-één gaat die vlieger niet op: tussen elke twee getallen in Alef-één zit weer een ander getal uit Alef-één, enzovoorts…

De receptionist luisterde aandachtig toen ik om opheldering vroeg. “We proberen iedereen van dienst te zijn,” legde hij uit. “Dit hotel behoort tot de Hilbert-keten en dus mogen we niemand een kamer weigeren. Zo lang iedereen onze aanwijzingen opvolgt en doorschuift, is er altijd plaats voor nieuwe gasten.”

“Altijd plaats?” riep ik: “Maar wat gebeurt er dan in hemelsnaam met de mensen in de laatste kamer?”

“Daar gebeurt heus niets ergs mee,” glimlachte de receptionist. “Er is gewoon geen laatste kamer. Zoals onze naam al aangeeft, hebben we een oneindig aantal kamers. Op het moment dat u arriveerde waren we even vol omdat we een oneindig aantal gasten hadden. Maar oneindig + 1 is nog steeds oneindig. Zo konden we ook voor u een extra kamer vrijmaken.”

De telefoon onderbrak hem. Verbeelde ik het me, of zag ik hem verbleken toen hij het gesprek beantwoordde?

“Een noodgeval,” hoorde ik hem mompelen, terwijl hij de microfoon greep die met de luidspreker in de hal was verbonden. “Er komt een bus aan met oneindig veel passagiers. We hebben oneindig veel nieuwe kamers nodig!”

“Dames en heren,” schalde het vervolgens door de luidspreker. “U herinnert zich dat u onze aanwijzingen moet opvolgen, hoe raar die ook mogen klinken. Doe alstublieft uw kamerdeur open en schrijf uw kamernummer op een stuk papier. Heeft u dat? Vermenigvuldig uw kamernummer met twee en schrijf de uitkomst daarvan op. Dit wordt uw nieuwe kamernummer!”

Dat is wat iedereen deed. De persoon in kamer 1 ging naar kamer 2 en de familie in kamer 2 ging naar kamer 4. Het stel in kamer 3 ging naar kamer 6. Kamer 12.652 werd in beslag genomen door mensen uit kamer 6.327, enzovoort. Inmiddels was de bus er en stroomden oneindig veel mensen in de hal. Waar moesten die naartoe?

“Ze kunnen de oneven kamers nemen,” legde de receptionist uit. “Er zijn immers oneindig veel oneven getallen. Door de verdubbeling van de kamernummers kwamen alle oneven getallen vrij.”

Ik heb mijn biezen gepakt toen er even later oneindig veel bussen met in elke bus oneindig veel gasten voor de deur stonden. Terwijl de luidspreker de meest ingewikkelde aanwijzingen rondschalde om de gasten te verplaasten en de passagiers ordelijk uit hun bussen te krijgen, vroeg ik de manager om de rekening.

“Het laatst was u in kamer 798? Dan bent u ons niets verschuldigd. Doordat uw kamer vrijkomt kan iedereen een kamer terug. Uw rekening zal worden betaald door kamer 799. Hun rekening wordt betaald door de familie uit kamer 800, van wie de rekening….

Ik heb niet verder geluisterd en ben gillend het hotel uitgerend. Waarschijnlijk telt de hotelmanager nu nog tot in het oneindige door. Het voornaamste is dat mijn bevindingen zo snel mogelijk in alle reisgidsen moeten komen. Een hotel waar altijd plaats is, is leuk, maar niet als je oneindig vaak van kamer moet wisselen!

Ja, ja, zo gaat dat in Hotel Oneindig," zegt dr. Adrian W. Moore, docent filosofie aan het St. Hugh’s College van de universiteit van Oxford. "Het hotel werd bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert, die van 1886 tot 1930 verbonden was aan de universiteit van Königsberg. Hilbert was gefascineerd door het begrip oneindig. Het fantastische hotel gebruikte hij om zijn studenten de zogenaamde ‘gelijkmachtigheid’ van twee oneindige verzamelingen aan te tonen.

“Oneindige verzamelingen getallen hebben vreemde eigenschappen. Zo lijkt de reeks natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, 5, … groter dan die van zijn kwadraten 1, 4, 9, 16, 25, … En toch is ook die laatste verzameling oneindig. Hij is door een bepaalde bewerking ‘één-op-één’ van de eerste verzameling afgeleid en heeft daardoor dezelfde ‘soort’ oneindigheid. Daardoor kan Hilbert’s hotel gasten blijven opnemen. Het hotel kan wel in de problemen komen, maar pas als zich een hoeveelheid gasten aandient met een hogere ‘orde’ van oneindigheid.”

Een hogere orde van oneindigheid? En ik dacht dat ik al bijna gek werd in Hilbert’s hotel!

David Hilbert (1862 – 1943) legde in 1900 zijn vakgenoten 23 grote vraagstukken voor. De problemen die Hilbert zijn vakgenoten voorlegde gingen over verschillende onderwerpen. Het was dan ook zijn bedoeling om de hele wiskunde van de komende eeuw vooruit te helpen, niet één deelgebied.

“Het begrip oneindig is inderdaad moeilijk te vatten,” lacht Moore. "De oude Grieken noemden het apeiron. Dat betekent niet alleen ‘eindeloosheid’, maar ook ‘chaos’ of ‘ongebondenheid’. Zij hadden er een enorme afkeer van. Dol werden ze bijvoorbeeld van de paradox van Achilles en de schildpad. Die werd in de vijfde eeuw voor onze jaartelling bedacht door Zeno van Elea. Er vindt een hardloopwedstrijd plaats waarbij Achilles een schildpad 10 meter voorsprong geeft. De schildpad legt 1 meter per seconde af, Achilles 10. Als Achilles de eerste 10 meter heeft afgelegd, is de schilpad 1 meter verder. In de tijd die Achilles dáárvoor nodig heeft, neemt de schildpad 0,1 meter voorsprong. Terwijl Achilles dat verschil goedmaakt, kruipt de schildpad 0,01 meter verder. Dit gaat door tot in het oneindige. Het lijkt erop alsof Achilles de schildpad nooit zal kunnen inhalen.

De Griekse held Achilles (links op een stuk aardewerk) werd in de film Troy (mei 2004) gespeeld door Brad Pitt (rechts). In de film waren geen schildpadden te zien, hoewel: dat schild op Pitt’s rug…

“Wat de Grieken nog niet wisten, en wat ook de oplossing is van de paradox, is dat een oneindige reeks een eindige som kan hebben. Achilles haalt de schilpad in na 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … seconden. Dat is een ‘convergerende’ meetkundige reeks, waarvan we de som kunnen schrijven als 1,111111… seconden. Dat is precies 1 1/9 seconde! Weliswaar moest Achilles een oneindig aantal afstandjes afleggen. Maar voor de laatste daarvan had hij oneindig weinig tijd nodig. Die twee oneindigheden hieven elkaar dus op!

“Tegenwoordig kun je limieten berekenen voor dergelijke steeds kleiner wordende reeksen. Heel grappig is bijvoorbeeld dat het oneindige aantal kamers van Hilbert’s hotel niet eens een oneindige ruimte hoeft in te nemen. Als je iedere volgende verdieping van het hotel half zo groot maakt als de onderliggende, wordt het hele hotel slechts twee keer zo hoog als de begane grond. De limiet van 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … is immers gelijk aan 2.”

Hotel Oneindig (naar de bedenker ervan ook wel Hilbert’s Hotel genoemd). Als je elke laag van het gebouw half zo hoog maakt als de laag eronder, is het hotel maar twee normale verdiepingen hoog: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … komt namelijk uit op 2, hoeveel termen je ook toevoegt.

Tot diep in de 19e eeuw, vertelt Moore, waren de wiskundigen nog niet veel verder dan dit optellen van oneindig kleine stukjes. Toen, in 1873, publiceerde de Duitse wiskundige Georg Cantor de eerste systematische studie over oneindigheid.

Cantor ontdekte dat er verschillende ordes van oneindigheden bestaan. De laagste daarvan noemde hij alef-nul (alef is de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet). Alef-nul bevat alle ‘te tellen’ oneindigheden, zoals de kamernummers in Hilbert’s hotel. Maar daarna komt alef-één, die nog ‘oneindiger’ is dan alef-nul. Dat er een oneindigheid moet bestaan die méér elementen telt dan alef-nul, toonde Cantor aan met zijn diagonaalmethode.

Cantor ging als volgt te werk. Stel dat je een lijst kunt maken van álle getallen tussen 0 en 1. Die lijst moet natuurlijk oneindig lang zijn. Een paar getallen uit die lijst zijn bijvoorbeeld:

(1) 0,*4*765198… (2) 0,2*9*14836… (3) 0,74*2*5398… (4) 0,915*7*327…

Bevat de hele lijst wel álle getallen tussen 0 en 1? Kijk eens naar de vetgedrukte getallen in het voorbeeld. Als je die achter een komma plaatst, ontstaat het getal ,4927… Trek je van elk afzonderlijk cijfer van dit getal 1 af, dan ontstaat het nieuwe getal ,3816…

Dit nieuwe getal is echter niet te vinden in de oneindige lijst! Het verschilt van (1) omdat het eerste cijfer niet gelijk is aan het eerste cijfer van (1). Er is 1 van afgetrokken. Het verschilt echter ook van (2) omdat het tweede cijfer 1 kleiner is dan dat van (2). En zo gaat dat verder voor de hele reeks. Je hebt dus een nieuw getal tussen 0 en 1 gevonden die nog niet in de lijst voorkwam. Voeg je dat nieuwe getal alsnog aan de lijst toe, dan kan er weer een nieuw ‘diagonaalgetal’ worden geconstrueerd! Dit getallen’continuüm’, dat is te vergelijken met het oneindige aantal inktpuntjes waarin een lijnstuk kan worden verdeeld, is niet te tellen en dus ‘oneindiger’ dan de verzameling gehele getallen.

Georg Cantor (1845 – 1918) publiceerde in 1873 de eerste systematische studie over oneindigheid.

“Om de zaak nog erger te maken, vond Cantor nóg grotere orden van oneindigheid dan alef-één. Oneindig veel zelfs, "zegt Moore. "Alef-twee, alef-drie en alef-vier vormen maar het topje van een onafzienbare ijsberg. ‘Mistbank achter mistbank,’ zei de grote wiskundige Herman Weyl daarover geringschattend.

“Cantor was doorgedrongen in regionen die nog nooit eerder door iemand waren verkend. Heel triest is dat de meeste zijn tijdgenoten zijn werk niet begrepen en zijn bevindingen belachelijk maakten. Vooral de onophoudelijke en door een ziekelijke jaloezie gedreven kritiek van zijn vroegere leermeester Leopold Kronecker waren slopend. De laatste jaren voor zijn dood in bracht Cantor door in een tehuis voor geesteszieken.

“Of dit alles is dat is te vertellen over oneindigheid? Bij lange na niet, want er bestaat ook zoiets als de Absolute Oneindigheid. Dat is de allerhoogste orde van de alefs, die in de wiskunde wordt voorgesteld door de Griekse hoofdletter omega. Het enige dat we tot nu toe met zekerheid daarover weten, zijn de eigenschappen die omega niet heeft. Het in kaart brengen van alle verschillende oneindigheden is dus nog niet ten einde.”

Dit artikel is een publicatie van Astronet.
© Astronet, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde Kennislink 12 jaar geleden

Discussier mee

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE