Je leest:

Oneindig veel getallen op een rij?

Oneindig veel getallen op een rij?

Auteur: | 21 februari 2008

Georg Cantor (1845-1918) was de eerste wiskundige die de raadsels rond het begrip ‘oneindigheid’ wist op te helderen. Cantor besefte dat oneindige verzamelingen verschillende ‘groottes’ kunnen hebben. De Amerikaan Matthew Baker publiceerde vorige maand een nieuw bewijs van Cantors stelling.

Van sommige oneindige verzamelingen kun je alle elementen op een rij zetten. Bij de gehele, positieve getallen is dit heel makkelijk, je begint gewoon bij 1 te tellen: 1, 2, 3, 4, 5, enzovoorts. Deze rij houdt nooit op, maar elk getal komt op een zeker moment aan bod, als je maar lang genoeg doortelt. Als ook negatieve getallen meedoen, wordt het al iets moeilijker, maar het is nog steeds te doen: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, enzovoorts. Op deze manier komt élk geheel getal een keer aan bod in de rij, er wordt er geen één overgeslagen. Zelfs de verzameling breuken kun je op een rij zetten: 0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 3, -3, 1/3, -1/3, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 4, -4, enzovoorts (kun je zelf bedenken hoe het verder gaat?). Bij het ‘op een rij zetten’ gaat het erom dat élk getal aan bod komt. Het doet er niet toe of de getallen zijn gerangschikt van bijvoorbeeld klein naar groot. Onder die voorwaarde zou het niet mogelijk zijn om de breuken op een rij te zetten, tussen elk tweetal getallen zitten immers oneindig veel breuken.

∞ is het symbool voor oneindig

De Duitse wiskundige Georg Cantor (1845-1918) was de eerste wiskundige die aantoonde dat je niet van elke oneindige verzameling de elementen op een rij kunt zetten. De verzameling reële getallen, waar behalve alle breuken bijvoorbeeld ook de getallen √2 en π in zitten, is zó groot dat je niet alle elementen op een rij kunt zetten zonder dat daarbij een element wordt overgeslagen.

Matthew H. Baker van het Georgia Institute of Technology in Atlanta kwam onlangs met een nieuw bewijs van het feit dat je de reële getallen niet op een rij kunt zetten. Zijn bewijs is geheel anders dan dat van Cantor. Hij beschrijft een wiskundig spel dat als basis van het bewijs dient. Dit spel is overigens behoorlijk abstract voor de niet ingewijde lezer, maar het is ook weer niet zo hondsmoeilijk dat het alleen voor beroepswiskundigen is te snappen. Klik op onderstaande link om er meer over te lezen.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 21 februari 2008
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.