Je leest:

Onderzoek uitgelicht: hoogleraar numerieke wiskunde Rob Stevenson

Onderzoek uitgelicht: hoogleraar numerieke wiskunde Rob Stevenson

Auteur: | 20 februari 2008

Waarom is het zo lastig om het weer te voorspellen? Deels komt dit door de beperkte nauwkeurigheid van de metingen, maar ook doordat bij het modelleren van weersverschijnselen gebruik gemaakt wordt van ingewikkelde, niet exact oplosbare vergelijkingen. De tak van de wetenschap die zich bezighoudt met het benaderen van de oplossing van zulke vergelijkingen is de numerieke wiskunde. Sinds 1 september is Rob Stevenson aan de UvA hoofd van de onderzoeksgroep die zich op deze vorm van wiskunde richt.

Meer specifiek houdt Stevenson zich bezig met partiële differentiaalvergelijkingen. Zo’n vergelijking is geformuleerd in termen van de afgeleiden van een onbekende functie met twee of meer variabelen. Stevenson: ‘Zodra je in de wetenschap of in de techniek iets gaat modelleren, kom je al snel bij dit soort vergelijkingen uit. Het weer is een bekend voorbeeld. Maar je kan ook denken aan problemen waar je tegenaan loopt bij het ontwerpen van een auto. Je wilt graag dat een auto een zo laag mogelijke luchtweerstand heeft. Vroeger werden hiervoor experimenten gedaan met windtunnels; nu kunnen we de luchtweerstand modelleren met behulp van partiële differentiaalvergelijkingen.’

Rob Stevenson (foto: Bob Bronshoff)

Benaderen

Partiële differentiaalvergelijkingen zijn, zoals gezegd, vaak niet exact oplosbaar. Maar je kan wel proberen de oplossing zo goed mogelijk te benaderen, via een hiervoor ontworpen algoritme. Stevenson: ‘De klassieke aanpak is om de vergelijking eerst om te vormen tot een discreet probleem. Je maakt er dan een eindig stelsel van vergelijkingen van dat wel opgelost kan worden. Zo’n stelsel bevat een N aantal vergelijkingen, waarbij N meestal een heel groot getal is, bijvoorbeeld een miljoen of een miljard. De grote vraag is vervolgens hoe je zo’n stelsel snel kan oplossen. Je wilt niet dat een computer er langer dan een dag over doet om het weer van morgen te voorspellen. Essentieel hierbij is hoe bij de gebruikte methode de rekentijd schaalt met N. Gaat dit bijvoorbeeld als N in het kwadraat, dan kost het oplossen van een twee keer zo groot probleem vier keer meer rekentijd.’

In het recente verleden heeft Stevenson zich bezig gehouden met de zogenaamde multigrid methode. Deze methode heeft de unieke eigenschap dat de rekentijd evenredig is met N. De complexiteit van deze methode is daardoor optimaal. Stevenson: ‘Bij sommigen leeft het idee dat met de snelle ontwikkeling van computerhardware het bedenken van snellere numerieke methoden niet meer zo van belang is. Dit is een misvatting. Als je een grotere computer hebt wil je ook grotere problemen gaan oplossen. En aangezien het verschil tussen zeg N kwadraat en N juist snel toeneemt met groeiende N, wordt het belang van het gebruik van optimale algoritmen juist groter.’

Adaptieve roosters

Momenteel houdt Stevenson zich vooral bezig met het proces om van een partiële differentiaalvergelijking een discreet probleem te maken. Hij doet dit via zogenoemde adaptieve methoden, waarbij hij streeft naar een optimale complexiteit. Stevenson: ‘Je wilt voor een gegeven probleem een benadering vinden binnen een bepaalde tolerantie. Je zoekt bijvoorbeeld, als het over temperatuur gaat, naar een benadering die tot op de honderdste graad nauwkeurig is. Hoe nauwkeuriger de benadering moet zijn, hoe fijner de discretisatie van de vergelijking ook moet zijn. Aan de andere kant wil je om de rekentijd te beperken de discretisatie het liefst zo grof mogelijk houden.’

Om het idee van een adaptieve methode uit te leggen pakt Stevenson pen en papier en schetst hij een tweetal grafieken. In de eerste tekent hij een nette, sinusachtige functie. Bij het oplossen van een differentiaalvergelijking ken je de functie die deze lijn beschrijft niet, maar alleen een zekere lineaire combinatie van afgeleiden ervan. Stevenson legt uit dat je om de functie zo goed mogelijk te benaderen als het ware een rooster (grid) over de lijn kan leggen, en voor elk punt de beste benadering kan zoeken. Hij geeft dit aan door stipjes op de x-as van de grafiek te tekenen. Dan tekent hij in de tweede grafiek een lijn die in het begin hele rare, ingewikkelde kronkels en bochten maakt, waarna het gekronkel afzwakt en de lijn vrijwel zonder afwijking rechtdoor gaat. Stevenson: ‘Als je over deze lijn eenzelfde rooster legt als over die eerste, zal je tussen de punten in het rechte stuk een goede benadering van de functie kunnen vinden door te interpoleren, maar krijg je in het stuk waar hij die rare kronkels maakt zo flinke fouten. Op die plekken kan het je rooster dan, zolang het nodig is, steeds verder verfijnen.’

Hieronder is een praktijkvoorbeeld te zien van zo’n adaptieve benadering. De linker figuur is de numerieke benadering van een Navier-Stokes vergelijking. Dit is een partiële differentiaalvergelijking die de stroming en werveling van bijvoorbeeld lucht of water rondom een object beschrijft. De grafiek toont de luchtdruk in een tweedimensionale, L-vormige ruimte. De rechter figuur geeft het rooster weer dat gebruikt is om tot de linker benadering te komen.

De linker figuur is de numerieke benadering van een Navier-Stokes vergelijking. Dit is een partiële differentiaalvergelijking die de stroming en werveling van bijvoorbeeld lucht of water rondom een object beschrijft. De grafiek toont de luchtdruk in een tweedimensionale, L-vormige ruimte. De rechter figuur geeft het rooster weer dat gebruikt is om tot de linker benadering te komen.

Wavelets

Binnen zijn onderzoek naar adaptieve methoden houdt Stevenson zich de helft van de tijd bezig met de adaptieve eindige-elementenmethode. Stevenson: ‘Dat is een hele bekende, klassieke methode. Als je hier op googled krijg je zo een paar miljoen hits.’ De andere helft van de tijd richt hij zich op wavelet methoden. Het idee achter een wavelet transformatie is relatief nieuw en is een alternatief voor de bekendere Fourier-transformatie. Grofweg komt het er op neer dat met behulp van wavelets een functie die slechts lokaal sterk oscilleert efficiënter te benaderen is dan met een lineaire combinatie van sinussen en cosinussen, zoals gebeurt bij de Fourier-methode. Stevenson: ‘Wavelets worden vooral toegepast in signaalcompressie. Als je plaatjes op internet bekijkt zijn deze gecomprimeerd, vaak in JPEG formaat. De meest recente versie daarvan, JPEG2000 is gebaseerd op wavelets. Deze techniek levert bij een gelijk blijvende hoeveelheid data mooiere plaatjes op dan oudere technieken, die gebruik maakten van Fourier-transformaties. Het voordeel van het gebruik van wavelets bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen is dat het stelsel van vergelijkingen dat je na de discretisatie krijgt goed geconditioneerd is. Dat betekent dat het stelsel relatief makkelijk op te lossen is.’

Numerieke wiskunde is een onderdeel van de toegepaste wiskunde. Maar ondanks de voorbeelden van onder meer het weer en luchtweerstand van auto’s houdt Stevenson zich niet met dit soort concrete problemen bezig. Stevenson: `Ik werk meer aan de theoretische kant van de numerieke wiskunde. Misschien kan ik het beter omschrijven als approximatie theorie. Ik houd ervan om dingen helemaal precies uit te zoeken en wiskundig te bewijzen. De problemen uit de praktijk zijn daarvoor vaak te ingewikkeld. De “academische” problemen waaraan ik werk modelleren wel relevante aspecten van dergelijke problemen.’ Een voorbeeld van het type probleem dat momenteel erg in de belangstelling staat, zijn vergelijkingen die te maken hebben met hoogdimensionale ruimtes.

Stevenson werkt vaak aan oplosmethoden die door een ander zijn ontworpen, zonder dat duidelijk is waarom die methoden werken en of ze altijd werken. Stevenson: ‘Maar het leukste is natuurlijk als je zelf een hele nieuwe methode verzint. Onlangs heb ik met een aio een methode ontwikkelt voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen in hoogdimensionale ruimten, waarbij de complexiteit van de oplosmethode niet van de dimensie afhangt.’ Op de vraag of hij hier iets meer over kan vertellen blijft Stevenson even stil. ‘Tsja, eigenlijk niet. Zodra je meer in detail wil treden over dit soort dingen wordt het allemaal al snel erg specialistisch. Laatst moest ik hier op de universiteit een voordracht houden voor collega-wiskundigen. Zelfs toen heb ik mezelf van tevoren flink achter de oren moeten krabben hoe ik alles moest gaan uitleggen.’

Dit artikel is een publicatie van Universiteit van Amsterdam (UvA).
© Universiteit van Amsterdam (UvA), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 20 februari 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.