Je leest:

Olie zoeken met wiskunde

Olie zoeken met wiskunde

Auteurs: , , en | 28 februari 2006

Wiskundigen aan de TU Delft maken het zoeken naar olie een stuk makkelijker. Oliemaatschappijen als Shell gebruiken modellen waarbij de zogenaamde golfvergelijking heel vaak opgelost moet worden. Promovendus Yogi Ahmad Erlangga zorgde ervoor dat dit voortaan veel sneller gaat.

Voor het bepalen van de positie van de aardlagen wordt gebruik gemaakt van seismisch onderzoek. Shell maakt al dertig jaar gebruik van deze driedimensionale metingen. Het probleem is om ook nauwkeurige driedimensionale berekeningen te doen. Tot voor kort was de rekenkracht van de computers te klein om echt driedimensionaal te werken. In plaats daarvan werden achter elkaar liggende tweedimensionale vlakken een voor een doorgemeten.

Het principe van seismisch onderzoek werkt als volgt: aan de oppervlakte van de aarde of de zee wordt geluid opgewekt, via een trillende plaat onder een vrachtwagen of een ontploffing van een lading dynamiet. Het geluid verplaatst zich door de ondergrond. Een gedeelte van het geluid wordt teruggekaatst naar het oppervlak. Aan de oppervlakte staat gevoelige apparatuur, die het geluid opvangt en de tijd registreert wanneer het geluid aankomt. Omdat de geluidssnelheid verschillend is in verschillende aardlagen, zoals bijvoorbeeld zandsteen, lei of graniet, kan uit de tijdmetingen afgeleid worden hoe de ondergrond opgebouwd is.

Om uit deze metingen te bepalen hoe de ondergrond er nu laag voor laag uit zit, is een wiskundig probleem. Geluid heeft in elk materiaal een andere snelheid, die genoteerd wordt met c. Door in verschillende punten in de grond de geluidssnelheid te berekenen, kunnen we bepalen welk materiaal zich waar bevindt. Uit de metingen is alleen de geluidsdruk u bekend. Tussen deze snelheid en de druk bestaat een verband, gegeven door de zogenaamde golfvergelijking:

De driedimensionale golfvergelijking, u is de geluidsdruk en c de geluidssnelheid.

Een omgekeerd probleem oplossen.

De golfvergelijking kan op verschillende manieren opgelost worden om de geluidsdruk u te vinden. Bij de oliemeting is het probleem alleen precies omgekeerd: de geluidsdruk wordt gemeten en de geluidssnelheid is onbekend. Wiskundigen noemen dit een invers probleem. De oplossing is als volgt: maak een schatting van de geluidssnelheid in de grond. Los de golfvergelijking met deze snelheid op. Als de schatting voor de snelheid goed was, dan lijkt de oplossing voor de geluidsdruk heel erg op de gemeten druk. Anders worden de verschillen in de metingen en de berekeningen gebruikt om een betere schatting van de geluidssnelheid te bepalen. De procedure wordt net zo vaak herhaald, totdat het verschil tussen de metingen en de berekeningen verwaarloosbaar is.

Olie en gas zijn lichter dan water en bewegen naar boven tot ze worden tegengehouden door een niet-doorlatende laag. De laag olie of gas heeftdan een bolling naar boven en dit zijn precies de plaatsen waar eenproefboring zinvol is. Behalve als er een breuklijn door die bollingloopt, want dan is een groot deel van de olie of het gas verdwenenen naar hoger gelegen bollingen ofaan het aardoppervlak. Die breuklijnen zijn vaak ontstaan door aardbevingen.

Opnieuw en opnieuw en opnieuw

Om de grond op deze manier in kaart te brengen moet de golfvergelijking heel vaak opgelost worden. Het is dus belangrijk om hiervoor een efficiënte methode te hebben. Heel vaak wordt hiervoor de ray-tracing methode gebruikt. Deze methode is voor een “eenvoudige” vorm van de aardlagen betrouwbaar en de rekentijd is niet al te lang. Voor gecompliceerde problemen is de ray-tracing methode niet goed bruikbaar en is er een nauwkeuriger methode nodig.

De Delftse wiskundigen kozen voor een zogenaamde frequentiedomein methode. Hierbij moet een stelsel van vergelijkingen opgelost worden met 109 onbekenden. Als de computer elke seconde een onbekende zou vinden, dan duurt deze berekening eenendertig jaar! Bekende methoden losten het probleem een stuk sneller op, maar nog steeds te langzaam om de methoden in de praktijk te gebruiken.

Om dit probleem op te lossen is in 2001 gestart met een onderzoek door de promovendus Yogi Erlangga. Na een jaar inlezen probeerde hij verschillende vormen van preconditioneren, trucs om grote stelsels van vergelijkingen sneller op te lossen. Zijn uiteindelijke methode is zo snel, dat er veel interesse is vanuit de industrie om hem te gaan gebruiken.

De oude methode werkte goed voor kleine frequenties, maar het aantal iteraties explodeerde bij grotere frequenties. Bij de nieuwe methode neemt het aantal iteraties slechts lineair toe bij een toename van de frequentie. Omdat de nauwkeurigheid van de methode toeneemt als de frequentie toeneemt, is het heel belangrijk dat de methode geschikt is voor grote frequenties.

Hoe groot is de vooruitgang nu in de praktijk? Aan het begin van dit onderzoek was het alleen mogelijk om 2D problemen konden oplossen met 500 × 500 = 250.000 roosterpunten. Bij Shell is er met de nieuwe methode onlangs een 3D probleem opgelost met 400 × 400 × 400 = 64 x106 roosterpunten. De berekende resultaten van de methode hebben een goede nauwkeurigheid. Om nog grotere problemen op te kunnen lossen met 2000 × 2000 × 2000 = 8 × 109 roosterpunten moet de methode aangepast worden voor parallelle computers. Daar wordt op dit moment hard aan gewerkt.

Dit artikel is een publicatie van TU Delta.
© TU Delta, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 28 februari 2006

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.