Het belangrijkste open probleem in de wiskunde is het vermoeden van Riemann. Het is een van de millennium problems waarmee je een miljoen dollar kunt verdienen. De Riemannhypothese, zoals het vermoeden ook vaak genoemd wordt, luidt:
Alle niet-triviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritische lijn.
Dit artikel gaat over deze op het eerste gezicht erg cryptische omschrijving.
Eulers zètafunctie
Bekijk de volgende limietsom:
Wat is hiervan de uitkomst als je op de plaats van de stippeltjes steeds meer omgekeerde kwadraten meeneemt? Met de computer kun je er proberen achter te komen. De eerste tien termen geven als uitkomst 1,54976, de eerste honderd termen 1,63498, de eerste duizend termen 1,64393 en de eerste tienduizend termen 1,64483. Het is niet moeilijk om te bewijzen dat er inderdaad een limietwaarde moet zijn en dat die kleiner is dan 2, maar toch schiet het met de convergentie (het naderen tot de limietwaarde) niet erg op. In feite zijn er bij tienduizend termen nog maar drie decimalen correct! We weten dit dankzij de beroemde wiskundige Leonhard Euler, die in in 1735 de exacte limietwaarde van deze som vond, namelijk
Op vijf decimalen afgerond is dit 1,64493. Eulers ontdekking zorgde voor een sensatie in de wiskundewereld. Hoe is het mogelijk dat die som exact uitgerekend kan worden, en dat de uitkomst iets te maken heeft met het getal π? Maar Euler vond nog veel meer, zoals bijvoorbeeld:
Hij definieerde in het algemeen de zètafunctie ζ(x) door
en vond uitdrukkingen voor ζ(x) voor alle even waarden van x. Je zult het misschien vreemd vinden dat een functie gedefinieerd wordt door een reeks, een oneindige som van termen, maar zolang die reeks maar convergeert, dat wil zeggen een (eindige) limietsom heeft, is er niets mis mee. Met een stukje wiskundige techniek dat bekend staat als het integraalkenmerk (eerstejaarsstof voor wiskundestudenten) kun je bewijzen dat de reeks van de zètafunctie convergent is voor alle x > 1. Maar voor x = 1 gaat het mis, want
Dit wordt duidelijk gemaakt in de onderstaande figuur.
Ook voor x < 1 convergeert ζ(x) niet, want dan zijn de termen alleen nog maar groter. De functie ζ(x) is dus alleen nog maar gedefinieerd voor x > 1, maar later in dit artikel zullen we het domein van ζ(x) via andere formules stap voor stap verder uitbreiden.
Het Eulerproduct
Waren Eulers vondsten voor ζ(x) voor even waarden van x al sensationeel, minstens zo indrukwekkend was de volgende formule die hij twee jaar later, in 1737, voor de zètafunctie vond. Hij liet daarin zien dat de zètafunctie alles te maken heeft met de priemgetallenrij. Euler bewees namelijk het volgende:
Hier staat een oneindig product van termen van de vorm px/(px – 1), waarbij je voor p achtereenvolgens alle priemgetallen moet nemen. De volgende term is dus 11x/(11x – 1), dan een term met 13, enzovoort.
De bovenstaande formule staat bekend als het Eulerproduct. Als je dit product na k termen afbreekt, krijg je de k-de productbenadering. Omdat elke term groter dan 1 is, vormen de productbenaderingen een stijgende rij functies met als limiet de zètafunctie. In figuur 1 zie je een grafiek van ζ(x) samen met de eerste tien productbenaderingen.
Figuur 1: de grafiek van ζ(x) (rood) samen met de grafieken van de eerste tien productbenaderingen.
In een baanbrekend artikel uit 1859 nam Bernhard Riemann het Eulerproduct als uitgangspunt voor zijn onderzoek naar de priemgetallen-telfunctie π(x) die aangeeft hoeveel priemgetallen er kleiner dan of gelijk aan x zijn. Riemann wist verrassende verbanden te leggen tussen π(x) en de zètafunctie.
Figuur 2: een grafiek van ζ(x) voor x > 0 (rood). Let op de verticale asymptoot bij x = 1. Het punt x = 1 heet een pool van de functie. In dezelfde figuur in blauw de grafiek van η(x).
Domein uitbreiden
Tot nu toe was de functie ζ(x) alleen gedefinieerd voor x > 1, want alleen op dat domein convergeert de reeks. Maar met een eenvoudige truc kun je het domein uitbreiden tot x > 0. In figuur 2 kun je alvast de grafiek van ζ(x) bewonderen op dat grotere domein.
Om de domeinuitbreiding te realiseren, bekijken we de zogenaamde ètafunctie:
Deze functie verschilt alleen maar van ζ(x) in het teken van de even termen. Trek je de twee reeksen van elkaar af, dan houd je twee maal de even termen over, en dat kun je weer schrijven in termen van ζ(x) als volgt:
Hieruit kun je ζ(x) oplossen:
Nu komt de verrassing: de reeks van η(x) convergeert niet alleen voor alle x > 1, maar zelfs voor alle x > 0 (ook dat is weer eerstejaarsstof). Met de computer kun je goede benaderingen van de limietsom vinden. Zo geldt bijvoorbeeld dat η(½) ≈ 0,6048986.
De bovenstaande formule voor ζ(x) geldt in principe alleen voor x > 1, maar omdat η(x) voor alle x > 0 berekend kan worden, kun je deze formule gebruiken om ζ(x) ook voor 0 < x < 1 te definiëren. Daarmee is het domein van de zètafunctie uitgebreid tot x > 0. Zo volgt bijvoorbeeld uit η(½) ≈ 0,6048986 dat ζ(½) ≈ –1,4603545. Alleen in x = 1 blijft het misgaan: de noemer in bovenstaande formule wordt dan nul. Men noemt x = 1 een pool van de functie.
Riemanns formidabele formule
Figuur 2 suggereert duidelijk dat het domein van ζ(x) nog steeds niet af is. Bij x = 0 lijkt de grafiek gewoon af te breken (met ζ(0) ≈ 0,5). Zou het domein nog verder kunnen worden uitgebreid? Riemann vond het antwoord in de vorm van een werkelijk formidabele formule. Die formule was tegelijkertijd de gouden sleutel die hem toegang gaf tot de meest wonderbaarlijke verbanden tussen de zètafunctie en de priemgetallen. In een iets gewijzigde vorm luidt die formule als volgt:
Met deze formule kun je het domein van de zètafunctie uitbreiden. In het rechterlid komt het bekende getal π = 3,14159… voor, maar ook x!, de faculteitsfunctie die je op school alleen maar leert voor gehele waarden van x, bijvoorbeeld 5! = 1 × 2 × 3 x 4 × 5 = 120, maar die via een integraal voor alle reële x ≥ 0 kan worden gedefinieerd. Het rechterlid van bovenstaande formule geeft op die manier voor alle x > 0 een uitkomst die gebruikt kan worden om ζ(-x) te berekenen.
Neem bijvoorbeeld x = 1. We weten dat 1! = 1, sin(π/2) = 1, ζ(2) = π2/6, dus
Controleer nu zelf dat ζ(-3) = 1/120 en dat ζ(-5) = -1/252. Verder is ζ(-2) = 0, want voor x = 2 is de sinusterm in het rechterlid van de bovenstaande formule voor ζ(-x) gelijk aan nul. Hetzelfde geldt voor ζ(-4), ζ(-6), ζ(-8), enzovoort. Deze nulpunten heten de triviale nulpunten van de zètafunctie.
Het punt x = 0 is een probleem, want in het rechterlid kom je dan de pool ζ(1) tegen, en daar is ζ(x) niet gedefinieerd. Maar met een limietovergang kan men bewijzen dat ζ(0) = -½, zoals ook de grafiek van figuur 2 suggereert. In figuur 3 is een grafiek van ζ(x) getekend voor -16,5 ≤ x ≤ 0. Let op de ongelijke schaalverdelingen op de assen!
Figuur 3: een grafiek van ζ(x) voor -16,5 ≤ x ≤ 0. Je ziet dat ζ(x) = 0 als x = -2, x = -4, …, x = -16.
Het complexe vlak
Riemann vond zijn formidabele formule door het domein van de zètafunctie uit te breiden tot de complexe getallen, dat wil zeggen getallen van de vorm z = x + yi. Daarmee kun je via haakjes uitwerken gewoon rekenen, als je maar gebruikt dat i2 = -1. Zo geldt bijvoorbeeld (3 – 4i)(2 + 3i) = 6 + 9i – 8i – 12i2 = 6 + i – 12(-1) = 18 + i. Je kunt het complexe getal z = x + yi zien als het punt met coördinaten (x, y) in het vlak, dat op die manier het complexe vlak wordt. De getallen van de vorm x + 0i vind je op de x-as. We noteren ze gewoon als x in plaats van als x + 0i. Op die manier maken de reële getallen dus deel uit van de complexe getallen.
Riemanns zètafunctie is gedefinieerd op het gehele complexe vlak met uitzondering van de pool z = 1. Naast de triviale nulpunten z = -2, -4, -6, -8 ,… die we zojuist al gevonden hebben, blijken er nog oneindig veel andere nulpunten te zijn. Riemann bewees dat juist deze niet-triviale nulpunten een cruciale rol spelen in de relatie die hij vond tussen de zètafunctie en de priemgetallen-telfunctie π(x). Hij kon aantonen dat al die nulpunten in de kritische strook 0 ≤ x ≤ 1 moeten liggen. De Riemannhypothese zegt veel meer, namelijk dat ze allemaal op de kritische lijn x = ½ liggen. De priemgetallenstelling daarentegen is veel zwakker: die is ermee equivalent dat er geen enkel nulpunt op de lijn x = 1 ligt. Een van de formuleringen van de priemgetallenstelling zie je hieronder. Toch kon ook Riemann deze zwakkere stelling niet bewijzen; een bewijs daarvan moest wachten tot 1896.
De priemgetalstelling zegt dat het aantal priemgetallen kleiner dan x voor grote waarden van x ongeveer gelijk is aan x / ln(x).
De niet-triviale nulpunten
De Riemannhypothese zelf wacht nog steeds op een bewijs of een weerlegging. Maar er is al veel over de niet-triviale nulpunten bekend. Zo komen ze in paren voor: als x + yi een nulpunt is, is x – yi (het spiegelbeeld in de x-as) ook een nulpunt. Je hoeft dus alleen maar in het bovenhalfvlak te zoeken. Als er ook maar één nulpunt buiten de kritische lijn gevonden wordt, is de Riemannhypothese weerlegd. Maar dat is nog niet gebeurd. Riemann zelf berekende de eerste nulpunten en controleerde dat ze allemaal op de kritische lijn liggen.
De eerste twee keer tien niet-triviale nulpunten (waarbij de y-waarde telkens op drie decimalen is afgerond)
In 1986 publiceerden Jan van de Lune, Herman te Riele en Dik Winter van het Centrum voor Wiskunde en Informatica in Amsterdam de resultaten van een computerproject waarin ze verifieerden dat de eerste anderhalf miljard nulpunten allemaal op de kritische lijn liggen. Dat gaat overigens niet zo maar, want je moet laten zien dat het reële deel van zo’n nulpunt exact gelijk is aan ½. Daarvoor zijn geavanceerde wiskundige technieken nodig. Anderen hebben dat werk voortgezet, en inmiddels is bekend dat de eerste honderd miljard nulpunten allemaal op de kritische lijn liggen. Nog steeds is er geen enkel niet-triviaal nulpunt buiten de kritische lijn gevonden! De zoektocht lijkt vruchteloos: de Riemannhypothese, die zegt dat ze er helemaal niet zijn, lijkt hoge ogen te gooien. Maar helaas, een bewijs daarvan ontbreekt nog steeds.
Links: het complexe vlak met daarin de kritische strook, de kritische lijn, de pool z = 1 en enkele triviale nulpunten van de zètafunctie. De niet-triviale nulpunten liggen allemaal in de kritische strook, maar vallen buiten dit plaatje. Rechts: de kritische lijn met daarop de eerste twintig niet-triviale nulpunten van de zètafunctie.