Je leest:

Nieuwe priemtweeling ontdekt

Nieuwe priemtweeling ontdekt

Auteurs: en | 18 januari 2007

Op 15 januari 2007 werd een nieuwe priemtweeling gevonden: de getallen 2003663613 × 2195000 – 1 en 2003663613 × 2195000 + 1. Deze getallen hebben 58711 cijfers en vormen daarmee de grootst bekende priemtweeling die tot nu toe. Niemand weet hoeveel priemtweelingen er bestaan.

Sinds Euclides (300 jaar voor Christus) is al bekend dat er oneindig veel priemgetallen, getallen die slechts deelbaar zijn door 1 en zichzelf, bestaan. Maar in de getallentheorie zijn vandaag de dag nog steeds veel uitdagende vragen over priemgetallen waar nog niemand een antwoord op weet. Een van die vragen is: bestaan er oneindig veel priemtweelingen?

Figuur 1 De priemgetallen kleiner dan duizend. Met rode pijlen zijn de priemtweelingen aangegeven.

Priemtweelingen

In figuur 1 zijn de priemgetallen onder de duizend met pijlen in beeld gebracht. Met rode pijlen zijn de priemtweelingen aangegeven, dat wil zeggen de paren priemgetallen die een verschil van precies 2 hebben. Omdat alle priemgetallen groter dan 2 oneven zijn, is er behalve het paar (2, 3) geen tweetal met verschil 1. De priemtweelingen zijn dus de ‘naaste buren’ in de rij van alle priemgetallen.

In figuur 1 zie je heel wat priemtweelingen: (3,5), (5,7), (11,13), …, maar ook bijvoorbeeld (599,601) en (881,883). Tussen 700 en 800 zit geen enkele tweeling en evenmin tussen 900 en 1000. Worden de priemtweelingen op den duur steeds zeldzamer? Houdt de rij misschien zelfs op een zeker moment op? We weten het niet. Een heel beroemd open probleem is namelijk: zijn er oneindig veel priemtweelingen? En, daaraan verwant: als er oneindig veel priemtweelingen zijn, hoe liggen die dan verdeeld?

Naar deze problemen is al veel onderzoek gedaan, maar de definitieve antwoorden kennen we nog steeds niet. Bijna alle experts geloven dat er inderdaad oneindig veel priemtweelingen zijn en er zijn ook plausibele vermoedens over hun verdeling, zie figuur 2, maar bewijzen ontbreken. Een paar keer per jaar wordt er een nieuwe priemtweeling gevonden. Op 15 januari 2007 werd de laatste – en tevens grootste – ontdekt door Eric Vautier uit Frankrijk: het getallenpaar 2003663613 × 2195000 + 1 bestaat uit twee priemgetallen van elk 51090 cijfers. Op onderstaande link is de top 20 van grootste priemtweelingen te zien.

Figuur 2 Een grafiek van de priemtweelingen-telfunctie: het aantal priemtweelingen (p, p+2) waarvoor geldt dat p ≤ x. Op grote schaal ziet deze functie er tamelijk glad uit. Men vermoedt dat deze grafiek zich zo voortzet voor grote waarden van x.

Computerproject

De priemtweelingen die in de laatste jaren zijn ontdekt, werden gevonden in het kader van Twin Prime Search, een project waaraan iedereen kan meedoen door de rekencapaciteit van zijn computer optimaal te benutten. Het gaat hierbij om het zoeken naar speciale priemtweelingen, namelijk priemtweelingen van de vorm k x 2n + 1 en k x 2n – 1. Ook Eric Vautier vond ‘zijn’ priemtweeling via dit project. Dergelijke projecten zijn er veel: priemgetallen van de vorm 2n – 1, de zogenaamde Mersenne-priemgetallen, worden gezocht in het project Great Internet Mersenne Prime Search. Jaarlijks worden enkele Mersenne-priemgetallen via dit project gevonden. De Universiteit Leiden laat sinds januari 2007 vrijwilligers via een dergelijk project zoeken naar abc-drietallen.

De constante van Brun

De Noorse wiskundige Viggo Brun (1885-1978) bewees het volgende opmerkelijke resultaat over priemtweelingen: de som (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + (1/29 + 1/31) + …, waarbij in de noemers de priemtweelingen staan, convergeert, dat wil zeggen: nadert naar een limietwaarde. Ook al weten we nog niet of er oneindig veel priemtweelingen bestaan, het is wél al bewezen dat de genoemde som een eindige waarde heeft! Deze waarde staat bekend als de constante van Brun. Het is niet bekend of deze constante irrationaal of rationaal is. Wie kan bewijzen dat Bruns constante irrationaal is, heeft óók bewezen dat er oneindig veel priemtweelingen bestaan. Een eindige som van breuken is immers wéér een breuk.

Het feit dat de genoemde som een eindige waarde heeft, betekent dat de priemtweelingen in vergelijking met de priemgetallen dun gezaaid zijn. Er geldt namelijk dat de som 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + …, waarbij in de noemers de priemgetallen staan, divergeert, dat wil zeggen: willekeurig groot kan worden. Deze divergentie is overigens wel uiterst traag: neem je alle ‘omgekeerden’ van priemgetallen onder de miljoen, dan komt de reeks niet verder dan 2,886.

Een deel van de inhoud van dit artikel verscheen eerder in Pythagoras 45-2 (november 2005), in het artikel ‘Open priemproblemen’ van Jan van de Craats.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 18 januari 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.