Je leest:

Nieuw pi-record

Nieuw pi-record

Auteur: | 9 december 2002

In september van dit jaar is door het team van professor Yasumasa Kanada van de universiteit van Tokio een nieuw record gevestigd op het gebied van het berekenen van decimalen van het getal pi. Het getal pi is nu bekend tot 1,24 biljoen cijfers achter de komma.

De berekening van pi vergde 400 uur rekentijd op een supercomputer. Het oude record – daterend uit 1999 – stond op ruim 206 miljard decimalen. Het kan nog even duren voor het nieuwe record gepubliceerd wordt in het Guiness Book of Records.

Pi is de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel. Als de diameter 1 is, is de omtrek gelijk aan pi.

Pi is zoals bekend de verhouding die de omtrek van elke willekeurige cirkel heeft ten opzichte van zijn diameter (omtrek van een cirkel = 2 pi x de straal = pi x de middellijn). Door alle eeuwen heen is pi berekend. In het oude Egypte stelde men pi op 3. Volgens Archimedes zou pi liggen tussen 3,14084 en 3,14286. Dat zijn de benaderingsbreuken van 223/71 en 22/7. De eerste is echter te klein en de tweede te groot. Pi zit er ergens tussenin. Allerlei andere benaderingsbreuken zijn in de loop der tijden ontdekt. In de vijfde eeuw kende men in China al de onwaarschijnlijk nauwkeurige benadering 355/113 (tot op 6 cijfers achter de komma correct). Diezelfde benadering werd in Europa pas in de zestiende eeuw gevonden.

Zou het getal pi ooit compleet worden gevonden, dan zou een vierkant kunnen worden geconstrueerd waarvan het oppervlak even groot is als dat van een cirkel. Vele eeuwen is gestreden over de vraag of deze ‘kwadratuur van de cirkel’ al of niet mogelijk was. Aan het einde van de zestiende en in het begin van de zeventiende eeuw lieten Nederlandse wiskundigen zich daarbij niet onbetuigd. Simon van der Eycke bond als eerste de kat de bel aan. Hij publiceerde in 1584 te Delft het boek Quadrature du Cercle, dat hij aan Willem van Oranje opdroeg. Hierin kwam hij tot de slotsom dat de nauwkeurige waarde van pi 1521/484 was. Volgens hem was de kwadratuur van de cirkel dus mogelijk.

Het geschrift van Simon van der Eycke had in de wiskundige wereld de uitwerking van een bom. Ludolph van Ceulen schreef in 1583 een boekje Kort claer bewijs dat die nieuwe ghevonden proportie eens Cirkels jegens zijn Diameter te groot is ende oversulcks de quadratura Circuli desselven Vinders onrecht zij. Maar Simon van der Eycke liet het er niet bij zitten. Hij schreef een Claerder bewijs op de quadratuere des cirkels, waarin hij de kritiek probeerde te weerleggen. Verbazingwekkend is dat hij in dat tweede boekje met een nieuwe waarde voor pi kwam aanzetten: een andere dan hij in zijn eerste publicatie als de enige juiste had verdedigd.

Ludolph van Ceulen (1540-1610)

Ludolph van Ceulen zette zijn berekeningen voort. In 1596 gaf hij te Delft het boek Van den Cirkel uit, waarin hij het tot twintig cijfers achter de komma bracht. Hij eindigde met die lust heeft kan naerder comen. Maar ook na de publicatie van dit boekje wist hij van geen ophouden. In een nagelaten werk, dat zijn vrouw na zijn dood uitgaf, kwam pi voor met 32 cijfers achter de komma. Ook dat was niet de uiterste waarde die hij had gevonden. Volgens zijn tijdgenoot, de beroemde natuurkundige Snellius, vond Van Ceulen nog twee cijfers. Het was een enorme cijferarbeid geweest en het getal pi met 34 cijfers achter de komma (3,1415926535897932384626433832795029) werd later in de grafsteen van Ludolph van Ceulen in de Pieterskerk in Leiden gebeiteld.

Heeft het zin pi tot zoveel decimalen uit te rekenen? In 1853 publiceerde Rutherford de waarde van pi met 440 cijfers achter de komma. Richter kwam in 1855 tot 500 cijfers en Shanks in 1874 zelfs tot 707. Later bleek dat Shanks zich vanaf het 528ste cijfer achter de komma had vergist, zodat het record bleef steken op 527.

In 1761 slaagde de Zwitser Johann Heinrich Lambert erin te bewijzen dat pi irrationaal is, dat wil zeggen: de rij decimalen houdt nooit op en er komt nooit regelmaat in het patroon van de decimalen. In 1882 werd door de Duitse wiskundige Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewezen dat pi een transcendent getal is, dat wil zeggen: het is geen nulpunt van een veelterm (een veelterm is een functie die is opgebouwd uit een eindig aantal niet-negatieve machten van x, zoals 3x5 – 2x2 + 6 of 6x19 – 2x6 – 2x). Het resultaat van Lindemann is sterker dan dat van Lambert: élk trancendent getal is irrationaal, maar een irrationaal getal hoeft niet transcendent te zijn. Zo heeft de veelterm x2 – 2 als nulpunten de irrationale getallen √2 en -√2.

Het getal pi (met 964 cijfers achter de komma)

Men kan van pi zoveel termen berekenen als men maar wil, maar de laatste decimaal zal nooit worden gevonden, gewoonweg omdat de laatste decimaal niet bestaat. Als pi tot in lengte van dagen niet nauwkeurig kan worden berekend, waarom duiken dan telkens weer berichten op dat het wereldrecord pi berekenen opnieuw is verbeterd? In 1983 bijvoorbeeld berekenden Yasumasa Kanada en Yoshiaki Tamura met behulp van een HITAC M-280H computer pi tot op 10.013.395 cijfers achter de komma. In 1986 verbeterde een CRAY-2 computer van de NASA dit tot 29.360.111 decimalen. In 1987 bracht Kanada het met een NEC SX-2 computer tot 134.214.700 cijfers en in 1988 tot 201.326.551 decimalen. De bijna eindeloze berekening, vertelde Kanada destijds, had alleen nog maar nut om de prestaties van een computer of de kwaliteit van een programma te testen. “Mijn volgende doelstelling,” zei hij toen, “is een miljard plaatsen achter de komma.”

Inmiddels is Kanada dus al duizendmaal verder. De nieuwste berekening met behulp van een Hitachi supercomputer vergde dit keer vierhonderd uur rekentijd.

Dit artikel is een publicatie van Astronet.
© Astronet, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 09 december 2002

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.