Je leest:

Naalden zoeken

Naalden zoeken

Auteur: | 5 februari 2006

Tijdens de jaarlijkse week Wiskunde met industrie werkten wiskundigen aan problemen uit het bedrijfsleven. Dit jaar werd er gezocht naar naalden in ultrasound beelden. Deze naalden worden gebruikt bij de behandeling van prostaatkanker.

Nucletron behandelt mannen met prostaatkanker. Daarvoor gebruiken ze de zogenaamde brachytherapie. Bij deze behandeling worden bij de patiënt radioactieve deeltjes in de prostaat aangebracht, waardoor de kankercellen van binnenuit bestraald worden. De radioactieve deeltjes worden ingebracht met holle naalden en het probleem voor de wiskundigen was om deze naalden in ultrasound beelden te vinden.

Voordat een arts de naalden inbrengt, wordt berekend hoe de naalden geplaatst moeten worden. De naalden moeten zo in de prostaat gestoken worden, dat de radioactieve deeltjes netjes verdeeld kunnen worden over de prostaat. Uiteindelijk moet de hele prostaat bestraald worden, maar mag de rest van het lichaam zo min mogelijk straling ontvangen.

Terwijl de arts de naalden inbrengt bij de patiënt kijkt hij naar een computerscherm om te zien waar de naalden zich bevinden.

Het is technisch niet mogelijk om de naalden precies zoals berekend in het zachte weefsel te steken. De naalden kunnen een beetje afbuigen. Daarom worden tijdens de behandeling ultrasound beelden van de patiënt gemaakt, zodat de arts steeds kan zien waar de naalden zich bevinden. Tegelijkertijd wordt aan de hand van deze beelden opnieuw berekend waar de volgende naalden het beste kunnen komen.

Het probleem is dat de ultrasound beelden helemaal niet zo duidelijk zijn. De naalden geven een soort schaduwen, het beeld bevat veel ruis en alleen getrainde experts kunnen zien waar de naalden precies zitten. Nucletron vroeg aan de wiskundigen: kunnen jullie een manier vinden om de naalden in deze beelden te vinden? Als de naalden makkelijker gevonden worden, dan kan de hele behandeling een stuk sneller.

Dit plaatje is een dwarsdoorsnede van de prostaat. Er zijn in totaal dertien naalden te zien. Links is duidelijk te zien dat een naald (de witte ‘driehoek’) een heel spoor achterlaat. Probeer maar eens alle naalden te vinden. Zelfs de expert bij Nucletron had het fout bij deze foto! (Klik op de afbeelding voor de grote versie.)

De wiskundigen gingen aan de slag met plaatjes als hierboven. Ze probeerden verschillende technieken die veel gebruikt worden bij medische beeldverwerking. Uiteindelijk gebruikten ze drie trucs om het bovenstaande plaatje op te knappen. We leggen ze hieronder allemaal uit.

Wiskundige trucs met plaatjes

Een coördinatentransformatie wordt eigenlijk heel vaak gebruikt als je iets op een andere manier wil afbeelden. Bijvoorbeeld bij het maken van een landkaart, dan wordt een stukje van de ronde aarde afgebeeld op een recht stuk papier. Net zoiets gebeurt bij het beeld van de prostaat. In het plaatje hierboven zie je dat er allemaal cirkelvormige lijnen lopen. De wiskundigen trokken die allemaal recht.

De foto van de prostaat met de dertien naalden na een coördinatentransformatie. De schaduwen van de naalden zijn nu allemaal netjes verticaal en ook de prostaat is nu duidelijk te zien als een cirkel.

De tweede truc Fourier-transformatie moet er voor zorgen dat de schaduwen uit het plaatje verdwijnen. De naalden zelf moeten natuurlijk wel zichtbaar blijven. Wat een Fourier-transformatie doet is het handigste uit te leggen met een paar plaatjes.

Linksboven zien we een mooie golf. Rechts daarvan staat de zogenaamde Fourier-getransformeerde van deze golf: een plaatje met twee pieken en verder niets. Links onder staat dezelfde golf met allemaal verstoringen. Zulke verstoringen kunnen bijvoorbeeld veroorzaakt worden door onnauwkeurigheden in meetapparatuur. Rechts staat de Fourier-getransformeerde van deze verstoorde golf. We zien dezelfde twee pieken, maar daartussen allemaal kleine golfjes die veroorzaakt worden door de ruis.

Met de Fourier-transformatie is het heel makkelijk om de mooie golf te vinden uit het plaatje van de verstoorde golf. Eerst wordt de Fourier getransformeerde genomen van de verstoorde golf, daarna wordt het middelste stuk met de kleine golfjes domweg op nul gesteld en daarna wordt de omgekeerde Fourier-transfomatie genomen om het plaatje van de mooie golf te krijgen. Dit is precies wat de wiskundigen hebben gedaan met het plaatje van de prostaat.

De schaduwen van de naald voor en na de truc met de Fourier-transformatie.

Tenslotte moesten de naalden in het opgeschoonde plaatje nog duidelijk zichtbaar gemaakt worden. Dat gebeurt met een threshold, een heel eenvoudige truc om een plaatje met verschillende kleuren grijs naar zwart-wit om te zetten. Alle punten die donkergrijs zijn, worden zwart gemaakt en alle lichte punten worden wit.

Het beeld van de prostaat na alle trucs. De naalden zijn nu makkelijk te tellen als de grote witte stippen. Aan de rechterkant blijken drie naalden vlak bij elkaar verstopt te zitten! Linksboven zitten nog twee kleine stippen, maar dat kunnen geen naalden zijn. Er worden namelijk maar twee naalden buiten de prostaat gestoken en die zijn al gevonden.

De achtergrond van wiskunde met industrie

Deze Eindhovense studiegroep Wiskunde met industrie is al de 55ste Europese studiegroep. Het idee van een ontmoeting tussen wiskundigen en bedrijven ontstond in Oxford tijdens de jaren 60, daarna hebben de groepen zich over Europa verspreid. Sinds 1998 wordt er jaarlijks een week in Nederland georganiseerd.

Elke studiegroep kent globaal hetzelfde programma: op maandag presenteren de bedrijven hun problemen. Daarna verdelen de wiskundigen zich over de problemen en beginnen ze het probleem in wiskundige termen om te zetten. Daarbij worden veel vragen gesteld aan de contactpersoon van het bedrijf. Kleine details kunnen heel belangrijk zijn. Daarna hebben de wiskundigen drie dagen om aan het probleem te werken. Op vrijdag worden de resultaten gepresenteerd. Hoewel het in zo’n korte tijd bijna onmogelijk is om lastige problemen helemaal op te lossen zijn zowel de bedrijven als wiskundigen steeds tevreden over de resultaten.

De hele week werken professoren en studenten samen en er is geen enkele hiërarchie. Tussendoor worden experts over de hele wereld gebeld en gemaild of zij misschien ideeën hebben. Ook wordt elke keer teruggekoppeld naar de mensen van het bedrijf: gaan we de goede kant op, is dit wat jullie willen?

Alleen de contactpersoon van ASML wist dit jaar niet of hij blij moest zijn met de oplossing. Zijn afdeling overweegt om hun software in een aantal delen op te splitsen, de vraag voor de wiskundigen was nu hoeveel delen er het beste konden komen. Verschillende collega’s vonden dat het niet nodig was om daaraan te rekenen, zij dachten dat het drie delen moesten worden. Echte argumenten daarvoor hadden ze eigenlijk niet. Na een paar dagen rekenen kwamen de wiskundigen met hun conclusie: drie delen moesten het worden…

De Nederlandse studiegroepen worden gesteund door NWO en STW. Volgend jaar januari organiseert Universiteit Utrecht een nieuwe studiegroep.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 05 februari 2006

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.