Je leest:

Muziek in een meetkundig jasje

Muziek in een meetkundig jasje

Auteur: | 24 april 2008

Drie onderzoekers hebben een methode bedacht om muziek wiskundig te groeperen. Vierklanken worden meetkundig voorgesteld op een viervlak, tweeklanken op een Möbiusband.

Muziek en wiskunde gaan al eeuwen hand in hand. Meer dan 2500 jaar geleden ontdekten de Pythagoreërs dat de belangrijkste intervallen bestaan uit simpele verhoudingen: het octaaf (1 : 2), de kwint (2 : 3) en de kwart (3 : 4). Tot ver in de middeleeuwen werden wiskunde en muziek als één vak aan de universiteit onderwezen. Ook daarna hebben grote wiskundigen, zoals Galilei, Mersenne en Euler, nog belangrijke muziektheorieën ontwikkeld.

Nu hebben drie musicologen van Amerikaanse universiteiten een nieuwe manier gevonden om muziek op een wiskundige manier te categoriseren. Hun methode, genaamd geometrical music theory, presenteerden zij deze maand in het wetenschappelijke tijdschrift Science. Professor Dmitri Tymoczko van de Princeton Universiteit is een van de drie onderzoekers. Het mooiste resultaat van het onderzoek is volgens hem dat het duidelijk maakt hoe verschillende muzikale concepten, die ogenschijnlijk niets met elkaar te maken hebben, op een logische manier met elkaar verbonden zijn. Het model kan helpen bij het zoeken naar verbanden tussen klassieke muziek en popmuziek, of wat de relatie is tussen tonale en atonale muziek.

Deze afbeelding laat zien hoe de geometrical music theory van Tymoczko, Callender en Quinn vierklanken representeert. De verzameling van deze akkoorden wordt gevisualiseerd als een tetraëder (viervlak). De kleuren geven aan hoe groot de afstand is tussen de noten in een akkoord: in de blauwe bolletjes liggen de noten dicht bij elkaar, hoe warmer de kleuren worden, hoe verder de noten van elkaar liggen. In de klassieke muziek is er één groep van vierklanken die binnen de theorie ervan een zeer belangrijke plaats inneemt: de septiemakkoorden. Het rode bolletje in de top representeert het verminderd septiemakkoord (bijvoorbeeld c-es-ges-beses, ofwel g-es-ges-a).
D. Tymoczko, Princeton University

Dmitri Tymoczko, Clifton Callender en Ian Quinn hebben een methode bedacht om de taal van de muziek om te zetten in die van de (moderne) meetkunde. Door middel van een rij noten – bijvoorbeeld de noten van een akkoord, een melodie of een ritme – worden verschillende muziekstukken gegroepeerd. Elke rij noten wordt gerepresenteerd door een punt in een meetkundige ruimte, eigenlijk net zoals je een punt (x, y) in een tweedimensionaal assenstelsel kunt weergeven. De onderzoekers hebben bij elke groep een wiskundige structuur gevonden.

Atonale muziek

In de eerste twee decennia van de twintigste eeuw begon in Oostenrijk de opstand tegen de muziek van de laat-romantiek. In Wenen werkten Arnold Schönberg (afbeelding) en zijn studenten Anton Webern en Alban Berg aan de meest radicale omwenteling in de muziek. Zij vonden dat het eeuwenoude toonsysteem, waarin samenklanken aan strenge wetten voldoen – ze zijn opgebouwd uit tertsen -, zijn tijd had gehad en dat er een nieuw systeem moest komen, waarin alle tonen ‘even belangrijk’ waren. Die muziek werd atonaal genoemd, omdat je er geen vaste toonaard meer in kon horen. Daarmee verdwenen ook de begrippen ‘mooie’ en ‘lelijke’ samenklanken: consonanten en dissonanten. Veel mensen hebben moeite met atonale muziek: de oren zijn te veel gewend geraakt aan het luisteren naar tonale muziek.

Verschillende groepen worden gevisualiseerd in verschillende meetkundige ruimtes; vierklanken worden weergegeven in een tetraëder, tweeklanken op een Möbiusband. Hiermee verwachten de wetenschappers dat musicologen een beter inzicht kunnen krijgen in bepaalde muziekstijlen. De methode werkt vooral bij westerse muziekstijlen. Het concept van ‘akkoorden’ is niet in elke stijl hetzelfde, maar de onderzoekers sluiten niet uit dat ze met hun werk ook bepaalde inzichten in niet-westerse muziek kunnen krijgen.

De verzameling van alle samenklanken die uit twee tonen bestaan, liggen op een Möbiusband. De verklaring is te lezen in het Engelstalige artikel ‘The Geometry of Musical Chords’ dat bij de links onderaan te vinden is, maar pas op: het verhaal is technisch!

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 24 april 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.