Je leest:

Moduliruimten van krommen

Moduliruimten van krommen

Auteur: | 1 juli 2005

Chris Zaal van het Freudenthal Instituut in Utrecht en de Universiteit van Amsterdam bestudeerde moduliruimten van krommen, een onderwerp uit de algebraïsche meetkunde. Slechts een handjevol wiskundigen op de wereld houdt zich met dit onderwerp bezig.

Op 30 juni 2005 promoveerde Christiaan Gerrit Zaal aan de Universiteit van Amsterdam op het proefschrift Complete subvarieties of moduli spaces of algebraic curves (complete deelvariëteiten van moduliruimten van algebraïsche krommen). Niet direct een onderwerp dat ons dagelijks leven in een versnelling heeft kunnen brengen. Daarvoor was het veel te gespecialiseerd. Maar Chris Zaal staat ook bekend als een groot popularisator van de wiskunde. Voor de verdediging van zijn proefschrift hield hij dan ook een zeer begrijpelijk ‘lekenpraatje’. Ook de samenvatting achter in zijn proefschrift was zo verduidelijkend, dat hij er bij de uitreiking van zijn bul door de promotie commissie nog eens apart voor werd geprezen.

Chris Zaal, geflankeerd door zijn paranimfen Alex van den Brandhof (links) en Dion Gijswijt (rechts), tijdens zijn lekenpraatje. De promotie vond onder grote publieke belangstelling plaats in de Oude Lutherse Kerk, die dienst doet als de aula van de Universiteit van Amsterdam. bron: Carl Koppeschaar Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

“Het onderwerp van mijn proefschrift komt uit de algebraïsche meetkunde,” vertelt Zaal. “Die tak van wiskunde bestudeert meetkundige objecten die beschreven kunnen worden met een of meerdere vergelijkingen in machten van x, y, z …). De objecten die door deze vergelijkingen beschreven worden, heten algebraïsche variëteiten. Dat kunnen bijvoorbeeld punten zijn, maar ook krommen, oppervlakken of hoger-dimensionale objecten.”

Algebraïsche meetkunde bestudeert de meetkundige eigenschappen van deze variëteiten, bijvoorbeeld raaklijnen, raakvlakken, snijpunten en snijlijnen. Door middel van de vergelijkingen kan aan de meetkundige objecten gerekend worden. Dat rekenen gebeurt op een vrij abstract niveau. Het gaat om algemene eigenschappen die uit een bepaald type vergelijking afgeleid kunnen worden. Een klassiek voorbeeld is de configuratie van 27 lijnen op een kubisch oppervlak (een oppervlak gegeven door een vergelijking van graad drie in x, y en z).

De 27 lijnen op het zogenoemde Clebsch-oppervlak. Dit is geen toeval: op élk (glad) oppervlak van graad drie liggen precies 27 lijnen.

Ook in het dagelijks leven komen we allerlei algebraïsche oppervlakken tegen: denk bijvoorbeeld aan de gekromde schaaldaken van sommige moderne gebouwen en aan koeltorens van elektriciteitscentrales. Deze vorm van koeltorens staat in de algebraïsche meetkunde bekend als een regeloppervlak.

Koeltorens van elektriciteitscentrales (links) hebben de vorm van een regeloppervlak (rechts). Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

De studie van de algebraïsche meetkunde is niet zozeer gericht op toepassingen, maar lijkt meer op de wiskunde van de oude Grieken. De Griekse meetkundigen waren geïnteresseerd in algemene wetmatigheden en in schoonheid. Bij kegelsneden bijvoorbeeld ging het hen om alle mogelijke vormen die je krijgt door een kegel met een vlak te snijden (parabool, hyperbool, cirkel en ellips).

Vanaf de zestiende eeuw worden kegelsneden ook bestudeerd aan de hand van hun vergelijking. Algebraïsche meetkunde is de voortzetting van deze studie naar vergelijkingen van hogere graad.

De vier verschillende kegelsneden: cirkel, ellips, parabool en hyperbool. bron: Wikipedia.

Algebraïsche krommen

Een algebraïsche kromme is een 1-dimensionaal meetkundig object gegeven door een of meer vergelijkingen. Klassiek werden algebraïsche krommen geval voor geval bestudeerd aan de hand van vergelijkingen. Krommen dragen poëtische namen als folium van Descartes, limaçon van Pascal of duivelskromme.

Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

Alle krommen in de bovenstaande figuur hebben een zelfdoorsnijding: een punt waarin de kromme zichzelf snijdt. Wiskundig is dit een geval van een singulier punt. Dergelijke singuliere punten kunnen worden ‘opgelost’ door middel van verschillende technieken. Het resultaat is een kromme zónder singuliere punten (maar in een hoger-dimensionale ruimte), een zogenaamde ‘gladde’ kromme. De eigenschappen van de oorspronkelijke kromme (met zelfdoorsnijdingen) zijn af te leiden uit de nieuw geconstrueerde gladde kromme.

Dit ‘oplossen van singulariteiten’ tilt de bestudering van krommen naar een abstracter niveau. Het maakt niet meer uit of een kromme in het platte vlak, in de drie-dimensionale ruimte of in een hoger-dimensionale ruimte ligt. Het gaat om de eigenschappen van de kromme zelf.

Rechts een kromme met een singulariteit, links het inverse beeld van die kromme onder ‘opblazen’. Het resultaat is een gladde kromme.

Plaatjes in het hoofd

Chris Zaal: "In de tijd dat ik studeerde was het boek Compact Complex Surfaces een standaardwerk in de theorie van de algebraïsche oppervlakken. ‘Met 6 figuren’, vermeldt het titelblad. De zes bewuste figuren blijken ook nog eens vrij abstract te zijn. Daarover heb ik me indertijd verbaasd. Het boek behandelt de classificatie (over de complexe getallen) van alle algebraïsche oppervlakken, en die zijn er in talloze soorten en gedaanten. Maar afbeeldingen daarvan ontbreken.

Voor het ontbreken van die plaatjes zijn tal van redenen te geven. Zo is een complex oppervlak een vierdimensionaal object (over de reële getallen) en daarom niet makkelijk te visualiseren. Verder bestonden er in de tijd van verschijning van het boek geen geschikte computerprogramma’s om dergelijke oppervlakken weer te geven. Maar de belangrijkste reden is een andere, namelijk dat meetkundigen wel degelijk plaatjes maken, maar alleen in hun hoofd.

Die plaatjes zijn vrij rudimentair. Bij ‘kruisende lijnen’ en bij ‘snijdende vlakken’ kan iedereen zich een plaatje indenken. Dat is wat meetkundigen doen – hun denkstappen en hun berekeningen worden mentaal begeleid door dergelijke voorstellingen. Met mijn proefschrift is hetzelfde aan de hand. Het onderwerp is meetkundig van aard. Maar de objecten die erin voorkomen zijn om verschillende redenen niet meer goed weer te geven met plaatjes, bijvoorbeeld omdat het aantal dimensies groter is dan drie. In het bijzonder zijn de moduliruimten die we bestuderen allemaal hogerdimensionaal. Maar bij alles wat er in mijn proefschrift staat, verschijnen bij mij en bij mijn vakgenoten beelden in het hoofd, ongeveer zoals een componist muziek hoort als hij een partituur leest."

Toepassing in de snaartheorie

Eén toepassing van Zaals onderzoek ligt in de zogenoemde snaartheorie. In deze theorie uit de theoretische fysica worden elementaire deeltjes niet beschreven door bolletjes, maar door ‘snaren’: een soort door de ruimte vliegende elastiekjes. Doordat die elastiekjes op verschillende manieren kunnen bewegen en trillen, hebben ze veel meer vrijheidsgraden dan een klassiek puntdeeltje.

Een interactie van elementaire deeltjes kan worden weergegeven als de beweging van een aantal snaren in de tijd. De grafiek hiervan vormt een Riemann-oppervlak, een klassiek wiskundig object dat opgevat kan worden als een algebraïsche kromme.

Interactie van snaren in de tijd geeft aanleiding tot een Riemann-oppervlak.

Theoretische natuurkundigen zijn geïnteresseerd in de ruimte van alle mogelijke interacties, en dat is precies de moduli-ruimte van krommen. Moduliruimten van krommen en andere verwante moduliruimten worden daarom zowel door wiskundigen als door theoretische natuurkundigen bestudeerd. Dit levert een vruchtbare wisselwerking op tussen beide vakgebieden. Een van de hoogtepunten hiervan is het Witten-vermoeden uit 1991, dat in 1992 bewezen werd door de Russische wiskundige Kontsevich.

Een onderwerp voor specialisten

“Het aantal collega-wiskundigen dat op de hoogte is van de ins and outs van het onderwerp van mijn proefschrift is niet zo groot,” vervolgt Zaal. "Met behulp van internet kun je zien hoe gespecialiseerd het onderwerp van mijn proefschrift is. Een zoektocht met behulp van Google naar de term ‘moduli space’ levert 112.000 hits. De combinatie hiervan met ‘curves’ levert 46.300 hits, en met ‘complete subvarieties’ 176 hits. Slechts een gedeelte hiervan bevat oorspronkelijk werk over dit onderwerp.

“Kortom, slechts een klein internationaal gezelschap is actief op het onderwerp van mijn proefschrift. Veel verbazing hoeft dat niet te wekken. De frontlinie van de wetenschap is verdeeld in talloze kleine specialismen. Elk specialisme wordt bevolkt door een select groepje deskundigen. Ieder voor zich maakt misschien niet veel voortgang, maar gezamenlijk worden stap voor stap resultaten geboekt.”

Chris Zaal heeft zijn bul uitgereikt gekregen en is vanaf dit moment doctor in de wiskunde. bron: Carl Koppeschaar Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

Hoe wordt wiskunde bedacht?

“Wiskundeonderzoek bestaat uit een aantal schijnbaar onsamenhangende activiteiten: artikelen lezen, een praatje maken, een voorbeeld doorrekenen, een bewijsidee in een andere situatie uitproberen, de voortgang van je werk bespreken met collega’s, een colloquium bezoeken, eten, drinken, slapen. Er is één constante factor: het probleem waaraan je werkt en dat zich in je hoofd heeft genesteld.

Het lijkt maar weinig op het bestuderen van kant-en-klare wiskunde uit studieboeken, laat staan op het maken van sommen. Veel gebeurt in het hoofd. Daarin zitten voorbeelden, theorieën, technieken en intuïties. Verder een hele lading voorkennis, wiskundevakken die je bestudeerd hebt, boeken en artikelen die je gelezen hebt."

Chris Zaal was in jaren 1996-2000 hoofdredacteur van het wiskundig tijdschrift voor jongeren ‘Pythagoras’. In 1998 werd hij namens het Koninklijk Wiskundig Genootschap uitgever van dit blad. In de jaren 2000-2002 heeft hij voor hetzelfde Genootschap de vijfde serie van het ‘Nieuw Archief voor Wiskunde’ opgezet. Van dit blad was hij in die periode hoofdredacteur. Sinds januari 2003 werkt Zaal als onderwijsontwikkelaar en -onderzoeker aan het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht. Sinds januari 2005 werkt hij ook als onderwijskundig adviseur voor het onderwijsinstituut Exacte Wetenschappen van de faculteit FNWI van de Universiteit van Amsterdam. Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

“Net zo belangrijk als zelfstudie is interactie met anderen. Praten met collega’s, luisteren naar voordrachten, het lezen van andermans artikelen. Het zijn deze dingen die vruchtbare ideeën genereren en die leiden tot nieuwe inzichten. Uiteindelijk blijft wiskunde altijd mensenwerk.”

Na afloop van zijn promotie werd Chris Zaal ook hartelijk gefeliciteerd door Kennislinks wiskundemedewerkster Ionica Smeets. bron: Carl Koppeschaar Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 juli 2005

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.