Je leest:

Met wiskunde naar de zon

Met wiskunde naar de zon

Auteur: | 1 april 2003

Een korte vakantie naar de zon hoeft niet duur meer te zijn, voor minder dan 100 euro vlieg je al naar Nice of Barcelona en terug. Hoe kan dat zo goedkoop zijn? In dit artikel bekijken we welke rol wiskunde daar in speelt.

Luchtvaartmaatschappijen maken ruim van tevoren hun dienstregelingen. Daarin leggen ze vast op welke tijdstippen er naar welke bestemmingen gevlogen gaat worden. Meestal ligt dan ook(vrijwel) vast met welke vliegtuigen er gevlogen wordt. De vervoerscapaciteit is dus gegeven, de vraag is nu: hoe kan er zoveel mogelijk geld verdiend worden met de beschikbare stoelen? Het voordeel van een luchtvaartmaatschappij is dat zij allerlei mogelijkheden heeft om dezelfde stoelen voor verschillende prijzen te verkopen. De persoon naast je, onderweg in het vliegtuig naar het zonnige Nice, heeft misschien het dubbele of meer betaald voor haar ticket omdat ze laat geboekt heeft, of omdat ze dezelfde dag teruggaat.

Het slim inzetten van de beschikbare capaciteit met als doel zoveel mogelijk geld te verdienen heet opbrengstmanagement. Vrijwel elke luchtvaartmaatschappij gebruikt opbrengstmanagement: van een grote Amerikaanse maatschappij is weleens beweerd dat het ze op jaarbasis 1 miljard dollar aan opbrengst scheelt! Opbrengstmanagement is mogelijk als er een vaste capaciteit beschikbaar is, en als er de mogelijkheid is van prijsdifferentiatie. Dit is het geval in de luchtvaart, maar ook bij bijvoorbeeld hotels en autoverhuurbedrijven. Het zou ook kunnen worden gebruikt bij bioscopen en theaters. Dit zou neerkomen op hogere prijzen in het weekend en voor late boekers.

Bron: www.postcardpost.com

Hoe werkt opbrengstmanagement?

Opbrengstmanagement is een combinatie van marketing en wiskunde. De marketeers stellen de prijscategorieën vast, de wiskundigen bepalen op elk moment voor welke prijzen er capaciteit beschikbaar moet zijn. Doel daarbij is de totale opbrengst te maximaliseren.

Er zijn twee omstandigheden die dit moeilijk maken. De eerste is dat klanten die bereid zijn veel te betalen meestal laat boeken. Dit betekent dat er capaciteit gereserveerd moet worden voor de duurdere categorie¨en klanten. Hoeveel? Dit hangt af van de vraag naar deze tickets. Maar dan komt de tweede complicatie om de hoek kijken: de vraag naar de verschillende soorten producten is moeilijk te voorspellen. Opbrengstmanagement bestaat wiskundig gezien dan ook uit twee onderdelen: het voorspellen van de vraag en, gegeven die vraag, het maximaliseren van de opbrengst. Hierbij moet je je realiseren dat, hoe goed je de vraag ook kan voorspellen, het toeval altijd een rol zal blijven spelen.

Figuur 2. De gele stoelen zijn voor type 1 klanten, de witte voor type 2 klanten.

We bespreken een wiskundig model dat niet al te moeilijk is en dat beide aspecten goed duidelijk maakt. We beschouwen een willekeurige vlucht op een willekeurige dag, met in totaal B stoelen van dezelfde soort. Stel dat er twee typen klanten zijn, waarbij type 1 altijd later boekt dan type 2 (zie figuur 2). Type 1 brengt r1 euro op, en type 2 r2 euro. We zagen dat dure klanten later boeken, en inderdaad, r1 > r2. We zijn niet zeker van de vraag naar type 1-tickets: met kans pk is de vraag k, waarbij we (voor het gemak) aannemen dat de vraag naar type 2-tickets nooit groter is dan B, dus:

Type 2-tickets zijn zo voordelig dat we er zoveel van kunnen verkopen als we willen. De grote vraag is nu: hoeveel tickets van type 2 moeten we verkopen zodat we de verwachte winst maximaliseren?

Laten we deze vraag eens anders stellen: als we al N tickets hebben verkocht, is het dan verstandig nog een (N + 1)-de ticket te verkopen? Als we dat doen hebben we een directe opbrengst van r2euro. Anderzijds, als we wachten op type 1 klanten hebben we een kans deze stoel te verkopen met als gevolg r1 opbrengst. De grootte van deze kans qN bepaalt of het zin heeft niet meer dan N goedkope tickets te verkopen. Wat is qN? Om dat te berekenen, doen we het volgende gedachtenexperiment.

Stel je voor dat de type 2-passagiers het vliegtuig van achteruit vullen. Passagiers van type 1 nemen stoelen zover mogelijk voorin het vliegtuig. We hebben nu al N stoelen achterin het vliegtuig verkocht, en er zijn dus nog B – N stoelen beschikbaar. De stoel die we op het punt staan te verkopen is alleen voor type 1 nodig als alle B – N – 1 stoelen voor deze stoel verkocht zullen worden aan type 1-klanten en er dan nog meer vraag is, dus als de vraag naar type 1 gelijk is aan B – N of groter. Dus qN is de kans dat er B – N of meer tickets type 1 tickets worden verkocht, is gelijk aan:

Voor de (N + 1)-de stoel mag je dus verwachten qN x r1 te krijgen als je hem voor type 1 klanten bewaart, terwijl hij r2 opbrengt als je hem direct al aan een type 2 klant verkoopt. Zolang r2 > qN x r1 is het dus verstandig om tickets van type 2 te verkopen, maar zodra r2 < qN x r1, moeten de resterende stoelen voor type 1 worden gereserveerd. Het aantal aan type 2 te verkopen stoelen, zodat de verwachte winst maximaal is, is dus de grootste N waarvoor geldt qN < r2/r1.

Hoe verder?

De wiskundige heeft zijn werk gedaan en heeft ervoor gezorgd dat zijn werkgever zoveel mogelijk verdient. Toch vertrekken er elke dag nog steeds vliegtuigen met onbezette stoelen, en moet men ook elke dag type 1 klanten teleurstellen wegens gebrek aan plaats: te veel goedkope stoelen verkocht op deze vlucht! Is daar niet iets aan te doen? De prijsvechters zoals Transavia en Easyjet die juist zoveel met opbrengstmanagement doen, zijn er nog niet aan begonnen, maar bij de grote maatschappijen komt het volgende tafereel vaak voor. Bij het inchecken of bij de poort wordt reizigers verzocht tegen geldelijke vergoeding een andere vlucht te nemen. Vooral bij Amerikaanse luchthavens levert dat soms mooi theater op.

Wat schiet een maatschappij daar nu mee op? Wat je niet ziet, is dat zich kort daarvoor een klant van type 1 heeft gemeld, die grif r1 heeft betaald voor een stoel die eigenlijk gereserveerd was voor iemand die r2 heeft betaald. Als die nu bereid is voor minder dan r1 – r2 een vlucht later te nemen, schiet iedereen er wat mee op, de reizigers en de luchtvaartmaatschappij!

Laten we aannemen dat de gemiddelde budgetreiziger tegen contante betaling van c < r1 – r2 bereid is een andere vlucht te nemen. Wat is dan de nieuwe optimale N? We herhalen dezelfde berekening als zojuist. Als we de (N + 1)-de stoel verkopen aan een type 2 klant, hebben we een directe opbrengst van r2, en met kans qN wordt deze stoel opgeeist door een type 1 klant. Die betaalt r1, maar we moeten r2 + c aan de type 2 klant terugbetalen. In totaal verwachten we dus een opbrengst van r2 + qN(r1 – c – r2). Als we de stoel voor een type 1 klant vrijhouden, verdienen we naar verwachting qN x r1. De optimale N is dus nu de grootste N waarvoor geldt dat r2 + qN(r1 – c – r2) > qN x r1, dat wil zeggen: qN < r2 /(r2 + c).

Omdat r2 + c < r1 en omdat qN stijgt in N, zien we dat we meer tickets verkopen als we overboeken toestaan. We verdienen ook meer (reken dit zelf door) en we laten geen dure reizigers meer staan, tenzij het hele vliegtuig er mee vol zit.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 april 2003

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.