Je leest:

Made in China

Made in China

Auteur: | 1 februari 1999

In China werd al aan wiskunde gedaan voor onze jaartelling begon, net als in veel andere oude beschavingen. In dit artikel laten we zien dat de omstandigheden in het oude China de ontwikkeling van de wiskunde op een bijzondere wijze beïnvloed hebben.

Volgens legenden is de Chinese beschaving al bijna 7000 jaar oud, maar de vroegste betrouwbare bronnen gaan terug tot 1600 voor Christus. Toen beheerste de zogenaamde Shang dynastie een groot deel van China. Dat duurde tot ongeveer 1000 voor Christus. Daarna kwam de Zhou dynastie die een kort leven beschoren was en uiteen viel in elkaar bevechtende kleine staatjes. Deze situatie duurde nog voort toen in China omstreeks 600 voor Christus de ijzertijd begon, die een periode van grote intellectuele bloei inluidde.

De eerste keizer

De kleine staatjes werden langzamerhand opgeslokt door de grotere, zodat de weg geëffend werd voor het ontstaan van een verenigd China. Dit gebeurde in 221 voor Christus, onder keizer Qin Shi Huangdi, die China omvormde tot een bureaucratisch rijk. Er kwam een machtig rechtssysteem en er werd belasting geheven. Voorts verordende de keizer dat er gestandaardiseerde systemen moesten komen voor gewichten, maten, valuta en voor het schrift. Volgens legenden zou de keizer zelfs opdracht gegeven hebben tot het verbranden van boeken uit voorgaande perioden om te voorkomen dat er afwijkende ideeen zouden leven in zijn rijk. Het is niet mogelijk in te schatten hoeveel kennis er verloren is gegaan door deze boekverbrandingen.

Bureaucratie

De keizer overleed in 210 voor Christus en dit betekende het einde van zijn dynastie. De nieuwe machthebbers, behorende tot de Han-dynastie, zetten de bureaucratisering voort en het ambtelijke apparaat werd steeds machtiger. Om ambtenaar te kunnen worden moest je een lange opleiding volgen. Van de bewaard gebleven leerboeken die in de opleiding gebruikt werden zijn er twee wiskundig van aard. Deze boeken behoren tot de belangrijkste bronnen over de Chinese wiskunde.

Uit de inhoud van deze boeken blijkt dat de Chinezen op de hoogte waren van de stelling van Pythagoras, en dat ze deze ook konden bewijzen. Ook kende men goede benaderingen van pi, en beschikte men over formules voor de oppervlakte en inhoud van meetkundige figuren. Deze opsomming is niet volledig, want de oude Chinezen hebben veel meer ontdekt dan we hier in het kort kunnen weergeven.

Figuur 1.Een historische afbeelding van de driehoek van Pascal in de Chinese notatie. Bron: www.library.thinkquest.org

Ambtenarij

De wiskundige werken uit China zijn meestal gericht op het hoe en bijna nooit op het waarom. Dit past helemaal in de leer van Confucius, een beroemde filosoof die leefde rond 500 voor Christus. Voor de navolgers van Confucius was wiskunde niet meer dan een soort technologie. Er werd alleen die wiskunde onderwezen die nodig was voor ambtenaren.

Het ambtelijke systeem had een remmende werking op de ontwikkeling van de wiskunde. Omdat de overheid besliste over het aantal examens en hun inhoud, werd van bovenaf geregeld hoeveel wiskunde er gedaan mocht worden. Er zijn zelfs periodes geweest dat er helemaal geen wiskunde-examens werden afgenomen.

Ook de censuur was een remmende factor. Alleen goedgekeurde teksten kwamen in aanmerking om bewaard en gecopieerd te worden, en daardoor verdwenen geschriften die als te vooruitstrevend werden beschouwd.

De driehoek van Pascal

Om je een idee te geven van de oude Chinese wiskunde, geven we een voorbeeld. Voor het kwadraat van de som van twee getallen bestaat de volgende formule: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Voor de derde macht geldt ook iets dergelijks, je kunt makkelijk inzien dat: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Je kunt nu gaan vermoeden dat er een algemene formule bestaat voor (a + b)n, voor n = 2, 3, 4,… Dit is inderdaad zo, en de formule hiervoor staat bekend als het binomium van Newton.

In het oude China wist men al hoe je (a + b)n moet berekenen: in figuur 1 is een Chinees diagram uit 1303 afgebeeld waarin staat (in Chinese cijfers) aangegeven wat de coëfficienten van (a + b)n zijn. Bij ons staat dit diagram bekend als de driehoek van Pascal.

De driehoek ontstaat als volgt. Het getal bovenaan is een 1, vervolgens schrijf je aan weerszijden schuin onder deze 1 nog twee enen. Dit zet je voort zodat je twee schuine rijen krijgt met alleen maar enen, deze twee rijen vormen de zijden van je driehoek. De overige elementen krijg je door de volgende regel: elk getal in het inwendige van de driehoek is de som van de twee getallen schuin erboven. Zo ontstaat dus een oneindig grote driehoek. In moderne notatie zou dat er zo uit zien.

Figuur 2.Driehoek van Pascal Bron: www.pbs.org/teachersource

De derde regel geeft de coëfficiënten in de formule (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, de vierde regel geeft: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Als je de coëfficiënten van (a + b)4 wilt weten, hoef je alleen maar de vijfde regel van de driehoek te lezen. Je krijgt: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

Chinese getallen

Door de moderne en de Chinese notatie met elkaar te vergelijken kun je zien welke getalnotatie is gebruikt. Voor het getal 1 wordt simpelweg één horizontaal streepje neergezet, voor de 2 twee horizontale streepjes, enzovoort, tot en met vijf. Voor de getallen 6 tot en met 9 worden er telkens vijf streepjes samengenomen en genoteerd met één verticaal streepje.

Hoewel de afbeelding uit figuur 1 uit 1303 stamt, zijn er teksten gevonden waaruit blijkt dat de driehoek in elk geval al in 1050 bekend was. Waarschijnlijk werd er al veel eerder mee gewerkt. Blaise Pascal, naar wie de driehoek van Pascal genoemd is, leefde van 1623 tot 1662. Pascal is dus zeker niet de eerste geweest die ‘zijn’ driehoek uitgevonden heeft; de Chinezen zijn hem vele eeuwen voor geweest!

Literatuur

Victor J. Katz, A History of Mathematics, New York, Harper Collin College Publishers, 1993

Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Berlin, Springer-Verlag, 1997

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 februari 1999

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.