Je leest:

Kwantum verstrengeling als basis voor de kwantumcomputer

Kwantum verstrengeling als basis voor de kwantumcomputer

Auteur: | 11 maart 2004

Een uitgebreid artikel over de mogelijkheden en problemen van kwantumcomputers; ook achterliggende principes zoals kwantumverstrengeling en superpositie komen uitgebreid aan de orde.

Basisingrediënten van de kwantummechanica

De theorie van de kwantummechanica is grotendeels ontwikkeld in de twintiger jaren van de vorige eeuw door belangrijke natuurkundigen zoals Schrödinger, Heisenberg, en Bohr. Toch leidt deze theorie nog vaak tot heftige discussies en mysterieuze voorspellingen, waarbij de kwantumwereld er heel anders uit lijkt te zien dan de grote buitenwereld om ons heen. De nobelprijswinnaar Richard Feynman heeft daarom met recht gezegd “Volgens mij is er niemand die de kwantummechanica echt begrijpt”. Toch is het wiskundige recept duidelijk, kunnen we goed met de theorie rekenen, en kloppen de vele voorspellingen wonderwel met de wereld waarin we leven.

Dat de kwantummechanica een wat rare en mysterieuze theorie is komt omdat deze theorie de (kwantum-)wereld om ons heen beschrijft met behulp van zogenoemde golffuncties of golfpatronen in plaats van met concrete deeltjes. Deze golffuncties beschrijven hoe waarschijnlijk de uitkomst van een meting is, zonder al bij voorbaat een definitieve uitspraak over het meetresultaat te doen. Daardoor ontstaat het grootste mysterie van de kwantummechanica, de “coherente superpositie”, waarbij een systeem zich (voor meting) tegelijkertijd in een combinatie van mogelijkheden kan bevinden. De daadwerkelijke meting dwingt het kwantumsysteem pas om te kiezen tussen een van deze mogelijkheden; het systeem past hierbij zijn golffunctie aan zodat eropvolgende metingen steeds hetzelfde meetresultaat geven. Een extreem voorbeeld van zo’n vreemde coherente superpositie is de zogenoemde Schrödinger kat, die tegelijkertijd half dood en half levend is (zie figuur 1). Schrödinger bedacht deze kat, die in zijn gedachtenexperiment in een doos zit, om aan te geven dat de belangrijke rol van een waarneming (in de doos kijken) tot tegen-intuïtieve resultaten leidt. De kat in de doos gaat pas echt dood of wordt weer 100% levend als je in de doos kijkt (en een macabere meting uitvoert). Met experimenten is aangetoond dat de kat inderdaad in beide toestanden tegelijk kan verkeren!

Figuur 1: De grens tussen de klassieke wereld (rechts) en de kwantum wereld (links) is misschien minder scherp dan velen denken.

Er is in de kwantummechanica een groot verschil tussen de fundamentele onzekerheid van de coherente superpositie – voor de meting is de Schrödinger kat echt tegelijkertijd 50% levend en 50% dood (hoe raar dit ook klinkt) – en de schijnonzekerheid die zou bestaan als de toestand van de kat al voor meting was beslist, zonder dat we dat zouden weten. In dat laatste geval zeggen we in technische termen dat het systeem een incoherent mengsel is met een 50%-50% kansverdeling (tussen leven en dood). Het bestaan van coherente superposities zorgt er voor dat kwantummechanische bewerkingen altijd op meerdere toestanden tegelijkertijd worden uitgevoerd (als een soort ingebakken parallel rekenen).

Een tweede mysterie van de kwantummechanica is verwoord in de waarschuwing “STOP! Show your classical apparatus”. Metingen hebben een bijzondere plaats in de kwantummechanica; zij beïnvloeden het kwantumsysteem en dwingen het een keuze te maken uit een (vaak beperkte set) van mogelijke meetuitkomsten. Daarom maakt het in de kwantummechanica uit in welke volgorde metingen worden gedaan. Als de ene meting een groot deel van de mogelijke meetuitkomsten wegfiltert, heeft dat gevolgen voor eropvolgende metingen. Die moeten daarna uit een beperktere selectie kiezen dan er voor de eerste meting was. Zowel de coherente superpositie als de invloed van meting komen hieronder meermalen ter sprake.

Wat is een kwantum bit of qubit?

Gewone computers werken met gewone bits, die enkel de waarde 0 of 1 kunnen hebben. Kwantumcomputers werken met kwantum bits, ook wel qubits genoemd, die bestaan uit een coherente superpositie van “een beetje van toestand 0 en een beetje van toestand 1”. In wiskundige termen gebruikt men hierbij een zogenoemde golffunctie:

0> en
1> zijn symbolen voor de golffuncties die de twee uiterste standen van de qubit beschrijven. De coëfficienten a en b geven aan hoeveel van elke toestanden aanwezig is. In dezelfde notatie is de golffunctie van onze Schrödinger kat:

Ook hierbij de opmerking dat dit betreurenswaardige dier tegelijkertijd half dood en half levend is en dat we pas na meting met een 50/50 kans te maken hebben met een volledig dode of volledig levende kat. Een wat natuurkundiger prototype van de qubit is een spin=1/2-deeltje, zoals een elektron. Spin is een eigenschap die je je voor kunt stellen als de snelheid en richting waarmee een deeltje om zijn as tolt. Een spin=1/2-deeltje kan zich bevinden in een coherente superpositie van 2 toestanden, namelijk linksom en rechtsom (“spin omhoog” en “spin omlaag”).

Figuur 2: Spin=1/2-deeltjes kunnen links- of rechtsom draaien, met maar één bepaalde snelheid.

Kwantum verstrengeling

Wanneer we te maken hebben met meerdere kwantumsystemen of qubits komt er een nieuw begrip om de hoek. Qubits zijn onderling kwantum verstrengeld (in het Engels “quantum entangled”) of kortweg verstrengeld als een meting aan de ene qubit ook de toestand van het andere qubit vastlegd. Bij verstrengelde kwantumsystemen kan een bepaalde grootheid voor het totale systeem al vastliggen, ook al bestaat dat nog uit fundamenteel onbepaalde subsystemen – een meting aan één subsysteem beperkt dan meteen de toestanden waarin de overgebleven subsystemen zich kunnen bevinden.

Als voorbeeld van zo’n verstrengeling gaan we terug naar de Schrödinger kat en maken zijn marteling compleet door hem in een gesloten doos te plaatsen samen met een atoomkern. Die atoomkern activeert bij verval een “doodsmachine” die de kat dood maakt (figuur 3). We plaatsen een levende kat samen met een aangeslagen atoomkern in de doos, sluiten het deksel en wachten totdat er een 50% kans is dat verval heeft plaatsgevonden. Wat is op dat moment de kwantummechanische toestand van het gecombineerde systeem kat-atoomkern? De golffunctie is nu:

Deze toestand is verstrengeld omdat er een direct verband is tussen de toestanden van beide subsystemen. Als we een meting doen aan één subsysteem dwingen we een precieze uitkomst af van de vraag “levend of dood” c.q. “vervallen of niet-vervallen”. Als de toestand van het ene subsysteem vastligt, weten we zonder te meten ook de toestand van het andere.

Schrödinger’s Kat is een gedachtenexperiment van de natuurkundige Erwin Schrödinger. Die stelde voor om een kat in een afgesloten doos te stoppen met één radioactief atoom, een pistool en een detector. He pistool gaat enkel en alleen af als de detector het atoom ziet vervallen. Volgens de kwantummechanica kan het atoom zich, vóórdat je in de doos kijkt, tegelijkertijd in een coherente superpositie van vervallen en niet-vervallen bevinden. De toestand van de kat is (kwantum-) verstrengeld met die van het atoom; de kat is ook tegelijkertijd levend én dood.

Figuur 3: Volgens de kwantummechanica kan het atoom zich, vóórdat je in de doos kijkt, tegelijkertijd in een coherente superpositie van vervallen en niet-vervallen bevinden. De toestand van de kat is (kwantum-) verstrengeld met die van het atoom; de kat is ook tegelijkertijd levend én dood.

Mogelijkheden van de kwantumcomputer

Dat kwantumcomputers in principe veel krachtiger kunnen zijn dan klassieke computers komt omdat de gebruikte quantum bits verstrengeld kunnen worden, waardoor ze eigenlijk één groot geheel vormen. Beïnvloed je één qubit, dan werk je tegelijkertijd ook met alle andere.

Figuur 4 toont het basisprincipe van de kwantumcomputer, waarbij zowel de invoer als de uitvoer geschiet met behulp van golffuncties, die bestaan uit coherente superposities van alle mogelijke toestanden. De bewerkingen die je met de kwantumcomputer uitvoert werken tegelijkertijd op al deze mogelijkheden; er is sprake van een ingebouwde vorm van parallel rekenen. Waar een normale computer allerlei oplossingen na elkaar door moet rekenen, kan de kwantumcomputer ze tegelijkertijd bekijken. Dat levert een enorme snelheidswinst op! Echter, “elk voordeel heb z’n nadeel”. De uitkomst van de kwantumberekening is ook een golffunctie, die pas na meting een van de mogelijke klassieke uitkomsten geeft. De truc is om de kwantumberekening zo uit te voeren dat de uiteindelijke golffunctie voldoende “zuiver” is en bij meting steeds hetzelfde (juiste) antwoord geeft.

Figuur 4: Kwantumcomputers rekenen met kwantum bits, oftwel qubits, waarop ze kwantum-mechanische bewerkingen uitvoeren. Zowel de invoer als de uitvoer bestaat uit een kwantum-mechanische golffunctie |Y>, waarin alle informatie zit verstopt.

Als tweede sterke punt, naast het parallel rekenen, geldt het schalingsgedrag van kwantumcomputers. Een kwantumcomputer van N qubits beschikt in principe over 2N geheugenplaatsen. Dat dit aantal snel oploopt is duidelijk: een kwantumcomputer met 30 qubits heeft een geheugencapaciteit die equivalent is met 1 Gigabit aan normale bits, terwijl 40 qubits al op 1 Terabit uitkomt en men over 100 of meer qubits alleen maar kan wegdromen. Dit bijzondere schalingsgedrag, waarbij toevoeging van elke extra qubit leidt tot een verdubbeling van het aantal beschikbare geheugenplaatsen, heeft wederom te maken met kwantumverstrengeling. Elke qubit die wordt toegevoegd kan verstrengeld worden met de al aanwezige combinaties en verdubbelt daarmee het totale aantal toestanden naar alle oude toestanden met de nieuwe qubit op 0, en hetzelfde aantal met de qubit op 1.

Welke problemen kun je efficiënt oplossen met een kwantumcomputer? Over deze vraag wordt nog uitgebreid nagedacht, onder andere door computerwetenschappers die een geheel nieuw stuk gereedschap in handen hopen te krijgen. Er zijn al twee heel belangrijke toepassingen van de kwantumcomputer gevonden. Allereerst is er het probleem van “zoeken in een (groot) databestand”, met als voorbeeld een telefoonboek met N namen, waarin je bij een gegeven telefoonnummer de bijbehorende naam wilt zoeken. Klassiek zit er niets ander op dan alle telefoonnummers stuk voor stuk na te lopen totdat de juiste is gevonden, wat gemiddeld N/2 keer kijken duurt. Met een kwantumcomputer heb je voor deze zoekopdracht echter maar N1/2 pogingen nodig en dat scheelt heel veel als N groot is!

Een tweede probleem dat met kwantumcomputers snel kan worden opgelost is het “factoriseren van grote getallen in hun priemfactoren”. Dit is een heel belangrijk probleem omdat bijna alle code-beveiligingssystemen zijn gebaseerd op het éénrichtingskarakter van dit probleem: het is heel eenvoudig om twee grote priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen, maar heel moeilijk om zonder voorkennis zo’n groot getal N weer te ontbinden in zijn priemfactoren. Het fascinerende is nu dat zo’n ontbinding met een kwantumcomputer wel snel lukt, tenminste op papier. Om volledig gebruik te maken van de intrinsieke “parallele rekenkracht” heb je voor het factoriseren van een groot getal N wel een kwantumcomputer met tenminste log(N) qubits nodig.

Om een kwantum computer te maken moeten we natuurlijk wel een groot aantal kwantumsystemen aan elkaar zien te koppelen, ze voorbereiden met de mogelijke toestanden die het probleem beschrijven en dan aan het rekenen krijgen. Hoe dat moet is een technisch probleem waar een hoop knappe koppen zich het hoofd over breken! Aan de ene kant moeten de qubits niet te gevoelig zijn voor invloed van buitenaf, want dan kan een toevallig langsschietend deeltje de hele berekening al verstoren. Maar als de qubits enorm stabiel en robuust zijn, is het juist weer moeilijk om ze aan elkaar te koppelen zodat ze één verstrengeld systeem vormen!

Hoewel de verwachtingen over kwantumcomputers hoog gespannen zijn moeten we wel realistisch blijven. Het blijkt heel moeilijk te zijn om deze computers experimenteel te maken. Diverse natuurkundige groepen werken aan een veelvoud van systemen, die gebaseerd zijn op verstrengelde toestanden van onder andere fotonen (licht), koude atomen, en kernspins. Welk systeem het meest geschikt is zal de toekomst ons leren. Voorlopig (per 2003) is men experimenteel nog niet veel verder dan een kwantumcomputer met 4 qubits, waarmee onder andere het getal 15 is gefactoriseerd tot 15 = 3 × 5. Ondanks dit bescheiden resultaat heeft het onderzoek al veel interessante en uitdagende natuurkunde opgeleverd, omdat het raakt aan de fundamenten van de kwantummechanica. Onderstaand experiment licht dit toe.

Kwantum verstrengeling van de polarisatie van twee fotonen

Aan de Universiteit Leiden, en vele andere universiteiten wereldwijd, wordt gewerkt met de optische variant van kwantum bits. Voor de productie van deze qubits wordt meestal gebruik gemaakt van de zogenoemde optische niet-lineariteit van bepaalde kristallen. Deze zorgt er in ons geval voor dat een kleine fractie van de “losse” fotonen uit een inkomende laserbundel uit elkaar vallen in paren van verstrengelde fotonen. In het getekende voorbeeld (figuur 5) vervalt een inkomend “moeder” foton met een golflengte van 400 nm in twee “dochter” fotonen met golflengten van 800 nm, zodat is voldaan aan energiebehoud.

Figuur 5: Schematische weergave van de productie van twee polarisatie verstrengelde dochter fotonen uit een moeder foton, in een niet-lineair optisch kristal.

Het mooie van dit vervalsproces, dat officieel “parametric down conversion” heet, is dat de polarisatie van de twee geproduceerde dochter fotonen kwantum verstrengeld is. Voor elk foton apart is de polarisatie, die kan worden opgevat als een qubit, onbepaald en willekeurig. Echter, als door meting de polarisatierichting van één foton wordt vastgelegd verandert ook de polarisatie van het andere foton, en wel naar de richting hier loodrecht op. Zo’n meting is ook een manier om de fotonen in bepaalde toestanden te dwingen, bijvoorbeeld door ze door een polarisator te sturen die alleen fotonen doorlaat die verticaal gepolariseerd zijn. Als foton 2 door zo’n polarisator met verticale oriëntatie reist en erdoorheen komt, verandert de polarisatie van foton 1 automatisch van onbepaald naar horizontaal.

Figuur 6: De richting waarin het elektromagnetische veld van licht op en neer golft heet de polarisatierichting. Sommige materialen laten alleen licht door dat in één bepaalde richting golft. Van licht met een polarisatie die met die richting g graden verschilt wordt maar een deel doorgelaten: cos2( g) om precies te zijn. Hoe groter het hoekverschil, hoe kleiner het doorgelaten deel. In dit geval is filter vertikaal polariserend, dus laat het filter de vertikaal gepolariseerde golf (boven) ongehinderd door en stopt het de horizontaal gepolariserde golf.

Experimenteel is het voorspelde verband eenvoudig te demonstreren door polarisator 2 op een vast hoek in te stellen en door, voor verschillende oriëntaties van polarisor 1, te meten hoeveel foton paren er per seconde gelijktijdig door beide polarisatoren komen. De verkregen meetresultaten staan in figuur 7, waar de verticale schaal loopt tot 20 k/s oftewel 20.000 foton paren per seconde. Het bijna volledig doorgemoduleerde signaal voor zowel de 0° als de 45° stand van polarisator 2 toont overduidelijk aan dat er sprake is van kwantum verstrengeling van de polarisatie binnen de foton paren.

Figuur 7: Aantal gelijktijdige detecties per seconde (in het engels “coincidence rate”) van twee dochter fotonen als functie van de hoek van polarisator 1, terwijl de hoek van polarisator 2 vast staat op hetzij 0o hetzij 45o.

Bell ongelijkheid en Einstein-Podolsky-Rosen paradox

Je zult je misschien afvragen wat er nu zo bijzonder is aan het hierboven geschetste resultaat, dat verkocht werd als een “bewijs van kwantum verstrengeling”. Kunnen we het verkregen resultaat niet eenvoudig klassiek verklaren door te stellen dat we de polarisatie van de fotonen welliswaar voor de meting niet kennen maar dat hij toch welbepaald is?

Op basis van het bovenstaande klassieke uitgangspunt, dat officieel de “verborgen variabele theorie” heet, is het onmogelijk om de verkregen resultaten te verklaren. Eén van de twee getekende meetresultaten is nog wel te verklaren in termen van een klassieke correlatie, waarbij we aannemen dat bundel 1 een mengsel van horizontaal en verticaal gepolariseerde fotonen bevat en bundel 2 de complementaire smaak. Echter, zo’n klassieke beschrijving voorspelt dat de 45o stand van polarisator 2 geen enkele modulatie oplevert, omdat zowel de horizontaal als de verticaal gepolariseerde fotonen dan een 50% doorlaatkans hebben, terwijl we ook bij deze stand een bijna volledige modulatie hebben gemeten. Deze tegenstrijdigheid kan wiskundig verwoord worden in de zogeheten Bell ongelijkheid, die beschrijft dat een zekere combinatie van meetresultaten klassiek gesproken nooit boven de 2 kan uitkomen, terwijl dat kwantum mechanisch wel mogelijk is. Het hierboven beschreven experiment, dat de waarde 2.75 oplevert, schendt de Bell ongelijkheid en bewijst daarmee het bestaan van kwantum verstrengeling.

Einstein, Podolsky en Rosen

In 1935 wezen Einstein, Podolsky en Rosen al op het verschil tussen de klassieke en kwantum-mechanische voorspelling, en gebruikten dat zelfs als argument waarom volgens hen de kwantummechanica niet kon kloppen, in een artikel getiteld “Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?”. Hun argument ging verder door het leven als de EPR paradox, en kan worden uitgebreid met de volgende hersenkraker.

Als de meting aan foton 2 niet alleen de polarisatierichting van dat foton vastlegt, maar ook dat van foton 1, dan moet er toch signaaloverdracht plaatsvinden. Volgens de relativiteitstheorie kan dat niet sneller dan de lichtsnelheid, terwijl de kwantummechanica voorspelt dat de totale golffunctie zich onmiddellijk aanpast. Bij dit experiment geven de relativiteitstheorie en de kwantummechanica dus tegenstrijdige voorspellingen! Het beschreven experiment is met de huidige apparatuur niet eens erg moeilijk. Wanneer kort na elkaar gemeten wordt aan twee verstrengelde fotonen die zich op dat moment op voldoende grote afstand van elkaar bevinden dan blijkt dat de golffunctie zich inderdaad “sneller dan het licht” aanpast; de kwantummechanica wint het op dit punt als het ware van de relativiteitstheorie.

Communicatie en teleportatie

Er zijn nog veel meer spannende experimenten gedaan met verstrengelde kwantum toestanden. Zo heeft men bijvoorbeeld laten zien dat het principieel onmogelijk is om communicatie met verstrengelde fotonen af te luisteren. Elke poging tot afluisteren kan worden gezien als een meting die de kwantum toestand verandert en daarmee de informatie in de andere toestanden vernietigd. Het spreekt voor zich dat banken en sommige andere instellingen uitermate geïnteresseerd zijn in zulke afluistervrije communicatiekanalen, waarvan de eerste versies nu op de markt zijn.

Een ander experiment dat tot de verbeelding spreekt is “kwantum teleportatie”. Hoewel de toestand van elk systeem volledig beschreven wordt door zijn kwantum-mechanische golffunctie lijkt het onmogelijk om deze informatie volledig te meten, omdat de eerste metingen het systeem zodanig beïnvloeden dat verder meten zinloos wordt. In 1998 lieten onderzoekers van de universiteit van Innsbruck zien dat men met een ingewikkelder meting, waarbij kwantum verstrengelde toestanden worden gebruikt, wel alle informatie kan verkrijgen. Door deze klassieke informatie te versturen van A naar B en daar te gebruiken voor reconstructie van een nieuwe golffunctie komt men in een situatie waarbij in A een kwantum toestand wordt vernietigd, terwijl in B een niet te onderscheiden en dus identieke kwantum toestand wordt gecreëerd. Dit verklaart de naam “kwantum teleportatie”.

De toekomst van kwantumcomputers

Tot slot wil ik terugkomen op de kwantumcomputers waarmee dit verhaal begon. Ik wil nogmaals benadrukken dat het geheim van kwantumcomputers zit in het wat magische begrip “kwantum verstrengeling”. Theoretisch lijkt er veel mogelijk met kwantumcomputers, maar experimenteel is het nog erg moeilijk om deze systemen te maken. Toch is er niets dat kwantumcomputers principieel verbiedt en de toekomst zal leren hoe ver we komen. Het grootste experimentele probleem hierbij is de kwetsbaarheid van coherente superposities.

Coherentieverlies, meestal ten gevolge van wisselwerking met de omgeving, leidt tot een overgang van een “coherente superpositie” naar een “incoherent mengsel”. Hierbij gaat het mooie 2N schalingsgedrag van het eerstgenoemde systeem van N verstrengelde qubits over naar het eenvoudige, maar teleurstellende, N schalingsgedrag van een incoherent mengsel. Ook aan het probleem van coherentieverlies wordt al hard gewerkt. Een mogelijke oplossing lijkt het toevoegen van controle qubits en kwantum fout correctie. Een eerste aanzet daartoe staat onder andere beschreven in de Physics Today van juni 1999 in het artikel: “Battling decoherence; the fault-tolerant kwantumcomputer”.

Dit artikel is een publicatie van Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION).
© Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 11 maart 2004

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.