Je leest:

Kussen in hoge dimensies

Kussen in hoge dimensies

Wiskundigen hebben een nieuwe methode gevonden om bovengrenzen voor het kusgetal in hoge dimensies te vinden.

Frank Vallentin van het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) en Christine Bachoc van de Université Bordeaux hebben nieuwe bovengrenzen gevonden voor het ‘kussen’ in hogere dimensies. In de meetkunde is het kusgetal het maximum aantal eenheidsbollen dat tegelijkertijd een centrale bol kan raken, zonder elkaar te overlappen. In twee dimensies is het kusgetal zes. Dit kun je goed zien als je euro’s om een centrale euromunt groepeert, zie onderstaande afbeelding.

Het kusgetal in twee dimensies is zes: om een cirkel passen precies zes cirkels die de centrale cirkel raken.

Drie dimensies

In drie dimensies is het nog behoorlijk lastig om het kusgetal te bepalen. In 1684 hadden Isaac Newton en David Gregory een beroemd geworden discussie over het kusgetal in drie dimensies. Gregory beweerde dat er dertien ballen om een bal zouden passen terwijl Newton claimde dat het kusgetal twaalf was. Dat Newton gelijk had, werd pas in 1953 streng bewezen door Schütte en Van der Waerden.

Boven: twaalf bollen rondom één centrale bol. Onder: de ‘middelste’ laag (zes bollen rondom de centrale bol) en de ‘bovenste’ laag (drie bollen). De onderste laag is hetzelfde als de bovenste laag.

Hogere dimensies

In twee en drie dimensies kunnen we ons het kusgetal prima voorstellen. Wiskundigen willen vaak weten hoe zaken zitten in hogere dimensies. Pas in 2003 werd door Musin bewezen dat het kusgetal in vier dimensies gelijk is aan 24. In acht dimensies is het kusgetal 240 en in 24 dimensies is het kusgetal 196560. In andere dimensies is het kusgetal onbekend.

Wel zijn er voor verschillende dimensies waarin het precieze kusgetal onbekend is bovengrenzen bekend van het kusgetal. In 1970 ontwikkelde Delsarte een methode om een bovengrens van het kusgetal te bepalen, gebaseerd op lineair programmeren.

Voor de dimensies vijf, zes, zeven, negen en tien vonden Vallentin en Bachoc nu betere bovengrenzen. Zij ontwikkelden een nieuwe methode om zo’n bovengrens te bepalen, gebaseerd op representatietheorie en semidefiniet programmeren. Voor alle dimensies vonden de wiskundigen de tot nu toe beste bovengrens. Voor de dimensies 1, 2, 3, 4, 8 en 24 vonden zij opnieuw het precieze kusgetal. In vijf dimensies brachten ze de bovengrens van 45 terug tot 44, terwijl er bijvoorbeeld in tien dimensies 27 bollen minder bleken te kunnen kussen dan bekend was.

De onderzoekers gebruikten voor hun methode resultaten van Spinozawinnaar Lex Schrijver. Zij gaven hun vinding in augustus vrij op internetarchief arxiv.org. Het onderzoek naar kusgetallen heeft toepassingen in de meetkunde, de radiocommunicatie, error correcting codes en snaartheorie in de theoretische natuurkunde.

Dit artikel is een publicatie van Centrum Wiskunde & Informatica (CWI).
© Centrum Wiskunde & Informatica (CWI), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 02 oktober 2006

Discussieer mee

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE