Je leest:

Kunstwerk is poort naar vierde dimensie

Kunstwerk is poort naar vierde dimensie

Auteur: | 27 oktober 2005

Een nieuw kunstwerk in de wiskundefaculteit van de Pennsylvania State University geeft haar bezoekers een blik in de vierde dimensie. Het object, de octacube is ontworpen door wiskundige Adrian Ocneanu en stelt een drie-dimensionale schaduw voor van een vier-dimensionaal object.

Ocneanu werkt op de grens van wiskunde en natuurkunde. Hij onderzoekt wiskundige modellen die gebruikt kunnen worden in de zogenaamde quantum velden theorie. In deze theorie komen de quantummechanica en de theorie van klassieke elektromagnetische velden samen. Om verder te werken met deze theorie, is er een beter inzicht in wiskunde nodig. De theorie zelf leidt hopelijk op den duur tot een beter begrip van ons heelal.

In het normale leven zien we maar drie dimensies, maar in de theorie van de quantum velden is het heel normaal om te praten over vier, vijf of meer dimensies. Ocneanu wilde het idee van het bestaan en interpreteren van hogere dimensies duidelijker maken voor een algemeen publiek. Daarom ontwierp hij de octacube, een driedimensionele schaduw van een vierdimensionaal object.

De octacube is naast een knap staaltje beeldende kunst en een poort naar de vierde dimensie ook een onderwijsmiddel, een gedenkteken voor een voormalige student aan de wiskundefaculteit en een herinnering aan de aanslagen van 11 september 2001. De octatube heeft een diameter van ongeveer 1 meter 80 en staat op een granieten sokkel van een meter hoog, waardoor het middelpunt zich ongeveer op ooghoogte bevindt. De octacube is gemaakt van roestvrij staal. (Klik op het plaatje voor een grotere versie) Copyright: A.Ocneanu

Plato

Al sinds Plato wordt er door mensen gefilosofeerd over het bestaan van hogere dimensies. In het begin van boek VII van zijn De Republiek verhaalt Plato over de metafoor die later bekend is geworden als Plato’s Grot. In het kort gaat dit verhaal als volgt:

Stel je een groepje gevangenen voor, dat al sinds de geboorte vastgeketend zit aan een langwerpig bankje in een grote grot. De gevangenen kunnen hun armen en benen niet bewegen. Alsof dat nog niet genoeg is, zijn ook hun hoofden vastgeketend. Hierdoor kunnen ze alleen de muur voor hen zien. Achter de gevangenen brandt op een verhoging een groot vuur. En tussen het vuur en de gevangenen is een wandelpad waarover mensen voorbij lopen die allerlei verschillende planten, dieren en andere voorwerpen omhoog houden. Al deze dingen werpen schaduwen op de wand voor het groepje gevangenen. De gevangenen kunnen alleen deze schaduwen zien. Daarnaast horen ze, wanneer bijvoorbeeld een man met een ezeltje een opmerking maakt naar een vrouw met een cavia, de echo van dit geluid tegen de muur. Zij geloven dat dit geluid afkomstig moet zijn van de schaduwen die ze zien.

De gevangenen in de grot. Op dit moment valt er helemaal niks te zien voor ze.

Wij weten natuurlijk dat de schaduwen helemaal geen geluid kunnen maken. Voor ons lijkt het alsof de gevangenen deelnemen aan een spel, terwijl de schaduwen en geluiden voor de gevangenen hun hele wereldbeeld bepalen. Als een van de gevangenen zich eens kon ontdoen van zijn ketenen en zich kon omdraaien om achter zich te kijken, op te staan en de grot te verlaten, zou een werkelijk fantastische wereld zich voor hem openbaren.

We kunnen stellen dat de gevangenen in Plato’s grot hun wereld ervaren als een combinatie van een tweedimensionaal schouwspel van schaduwen en geluiden. Wij zien op onze beurt de wereld als driedimensionaal. Maar wanneer we de analogie van de grot doorzetten, dan hoeft de wereld van vaste vormen en voorwerpen zoals wij die ervaren in de werkelijkheid helemaal niet driedimensionaal te zijn. Misschien is de wereld zoals wij die waarnemen slechts een schaduw van een vierdimensionale wereld, die weer een schaduw is van een vijfdimensionale wereld.. enzovoort. Wiskundigen en natuurkundigen werken daarom met meer dan drie dimensies, om meer inzicht te krijgen in de aard van ons heelal.

Regelmatige vormen

Een aspect van Ocneanu’s werk is het modelleren van regelmatige vormen. In onze driedimensionale wereld bestaan er precies vijf regelmatige vormen (ook wel platonische vormen genoemd). De aanzichten van deze vormen zijn opgebouwd uit driehoeken, vierkanten en vijfhoeken.

De vijf regelmatige vormen die we in drie dimensien kennen. Van links naar rechts: tetrahedron (1), kubus(2), octahedron(3), dodecahedron(4) en icosahedron(5).

In vier dimensies bestaan er zes regelmatige vormen, die met hulp van de symmetrie in de driedimensionale regelmatige vormen gevonden kunnen worden. Vijf daarvan zijn generalisaties van de driedimensionale gevallen, die heten 4D-tetrahedron, 4D-kubus (ook wel hyperkubus), 4D-octahedron, 4D-dodecahedron en 4D- icosahedron. De zesde vorm in vier dimensies is de 24-cel of met een moeilijk woord: icositetrachoron.

Dit is een soort bouwplaat voor een 4D-dodecahedron. Dat ziet er nog niet zo makkelijk uit!

Gevangen in de derde dimensie

Jammer genoeg zijn wij in onze driedimensionale wereld een beetje te vergelijken met de gevangenen in Plato’s grot. Het is niet zo eenvoudig om in meer dan drie dimensies te denken – een enkel genie daargelaten. Voor wiskundigen is het in principe heel makkelijk om te werken met vier of meer dimensies: ze voegen gewoon extra coördinaten toe aan de normale driedimensionale punten. Het is echter lastig om bepaalde theorieën ook ruimtelijk duidelijk te maken: hiervoor zijn modellen nodig en dat is precies het werk van Ocneanu.

Schaduwen maken

De octacube laat de driedimensionale schaduw van een vierdimensionale vorm zien. Het proces dat Ocneanu hiervoor gebruikt heet radiële stereografie. Dit een betrekkelijk nieuwe manier om projecties te maken.

Ocneanu legt dit principe als volgt uit: “De aarde is een driemensionele bol. We kunnen het oppervlakte van deze bol projecteren op een tweedimensionaal vel papier. Zo maken we landkaarten. Op een vergelijkbare manier, maar dan een dimensie hoger, is de octacube een projectie van het oppervlak van een vierdimensionaal lichaam, in onze driedimensionale ruimte. Op een landkaart van de aarde zijn de landen platte, gesloten vlakken. In de octacube bestaan de projecties uit gesloten, driedimensionale octahedrons”.

Het was nog een hele klus om de octacube echt te bouwen. Ocneanu schreef software voor het ontwerp van de Octacube. Hieruit kwamen de instructies voor de technici. Zij hebben op aanwijzingen van Ocneanu 96 verschillende vormen gesneden uit platen roestvrij staal en zijn vervolgens bijna een jaar bezig geweest met het buigen en in elkaar lassen van alle verschillende stukjes. Alle stukjes komen bij elkaar in een ingewikkelde puzzel. Er zijn 23 kruisingen van assen en bij elke kruising komen maar liefst 12 stukken samen. En eigenlijk is er ook nog een 24ste kruising in het oneindige..

Vierdimensionale sinaasappels stapelen!

Een bekende wiskundige vraag is hoe je bollen het beste kan stapelen. In twee dimensies zijn bollen gewoon cirkels. Met een stapeltje euro’s is snel te zien, dat er precies zes cirkels om een andere cirkel van dezelfde grootte passen. In drie dimensies komt het probleem neer op hoe je sinaasappels het beste kan stapelen. Er is plek voor twaalf bollen rond elke bol, maar de stapeling is minder netjes dan in tweedimensionale geval. Er is bijna genoeg ruimte voor een dertiende bol.

In vier dimensies kunnen maar liefst 24 vierdimensionale bollen netjes dicht tegen elkaar worden gestapeld rond een eenheidsbol in het midden. En de octacube laat zien hoe: Door ballen op de vierentwintig kruisingen van de assen in de octacube te plaatsen, kun je deze stapeling verwezenlijken!

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 27 oktober 2005

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.