Je kent ze wel, die driedimensionale puzzels: een kubus, bol, pyramide, zeppelin of iets dergelijks die je eerst uit elkaar moet halen (niet zo lastig) en dan weer in elkaar moet zetten. Aan het begin van de vorige eeuw bedachten de wiskundigen Hausdorff, Banach en Tarski een paar puzzels waar je nog meer hoofdpijn van zult krijgen. De eerste puzzel werd uit het oppervlak van een bol met straal 1 (zeg maar een pingpongbal) gemaakt: je kunt dat oppervlak in tien stukken P1, …, P10 verdelen en wel zo dat je P1, P2, P3 en P4 weer tot een pingpongbal met straal 1 kunt samenvoegen en de overgebleven zes stukken ook! Een puzzel met twee oplossingen dus. De tweede puzzel doet iets dergelijks, maar dan met een massieve bol met straal 1: die kun je in veertig stukken verdelen zó dat je weer een puzzel met twee oplossingen krijgt. Je kunt die stukken weer tot de oorspronkelijke bol samenvoegen maar je kunt die bol ook uit maar zestien van die stukken maken en uit de overgebleven 24 stukken nog een: uit één bol met straal 1 kun je twee bollen met straal 1 maken.
Niet te koop
De reden dat je de puzzels niet in de winkel kunt vinden, is dat je ze niet met een scherp mes of een nauwkeurige freesmachine kunt maken. Het zijn zuiver theoretische puzzels die met behulp van wat algebra en kennis van oneindige verzamelingen gemaakt kunnen worden. De puzzels van Hausdorff, Banach en Tarski zijn wat lastig te beschrijven. Er zijn echter eenvoudigere versies die niet zo spectaculair zijn, maar wel redelijk kort te beschrijven.
De verzameling {1, 2, 3, …}
Een heel eenvoudig voorbeeld is het volgende: we kunnen de verzameling N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} in twee stukken verdelen, die we dan weer zo neer kunnen leggen dat we in feite M = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} over houden: P1 bestaat uit alle 3-vouden en P2 bestaat uit de rest van N. Laat P2 liggen waar het ligt en schuif P1 drie eenheden naar rechts, dan krijgen we {1, 2, 4, 5, 3, 7, 8, 6, …} en dat ziet er net zo uit als M. In het plaatje hieronder wordt dit geïllustreerd.
Cirkel en een punt
Er is een puzzel die uit drie stukken bestaat en die je op twee manieren in elkaar kunt leggen: je kunt er een cirkel van maken of een cirkel en één extra punt. Je maak hem als volgt: neem de cirkel x2 + y 2 = 1 in het platte vlak en neem het punt p met coördinaten (1, 0). Ons eerste puzzelstuk Q1 bestaat uit alleen het punt p. Het tweede stuk Q2 maak je door p over 1, 2, 3, … radialen te roteren, dus Q2 = {(cos n, sin n) : n = 1, 2, 3, 4, …}. Het derde stuk Q3 bestaat uit alle overgebleven punten op de cirkel. Het is duidelijk dat we met Q1, Q2 en Q3 precies de cirkel overdekken. Als we het stuk Q2 over 1 radiaal met de klok mee draaien, hebben we de cirkel ook precies overdekt, maar dan alleen met de stukken Q2 en Q3; het stuk Q1 blijft dan over. De reden dat dit werkt, is dat de punten (cos n,sin n) allemaal verschillend zijn (in het bijzonder zit p niet in Q2). Hierdoor kan Q2 de rol spelen van het stuk P2 uit de vorige puzzel. Aan deze puzzel kun je zo zien dat hij nooit in de winkel kan komen: er is geen mes scherp genoeg om de verzameling Q2 uit de cirkel los te peuteren. Probeer Q2 maar eens met de grafische rekenmachine te plotten, bijvoorbeeld de punten (cos 1, sin 1) tot en met (cos 100, sin 100); je zult zien dat Q2 overal dicht op de cirkel ligt. We kunnen het ook zo regelen dat Q2 gemist kan worden. Dat doen we door Q3 in twee stukken Q3a en Q3b te verdelen. Q3a maken we door Q2 over √2, 2√2, 3√2, … radialen te roteren en Q3b bestaat uit wat van Q3 overblijft. Nu hebben we de cirkel met Q1, Q2, Q3a en Q3b overdekt, maar het kan ook met Q1, Q3a en door Q3a √2 radialen met de klok mee te draaien; Q2 is dan niet meer nodig. Je ziet dat bij sommige puzzels bepaalde stukken weggelaten kunnen worden. Bij de cirkel is dat het beste dat je kunt verwachten; de reden is dat daar niet genoeg speling in zit: er is in feite maar één draairichting. Bij de bal en de bol is dat anders, daar kun je door twee draairichtingen te mixen de puzzelstukjes van Hausdorff, Banach en Tarski creëren.
Geen tegenspraak?
Je zou denken dat er toch ergens een fout in de redenering moet zitten omdat we zomaar een volume verdubbeld hebben. De 40 stukken waarin we de bol hebben verdeeld, geven samen 4π/3 (het volume van één bol), maar ze geven ook 8π/3 (het volume van twee bollen). Er zit geen fout in de redenering, maar in het argument ertegen: daarin wordt stilzwijgend aangenomen dat onze puzzelstukken een inhoud hebben. En dat is nou net waar het Hausdorff, Banach en Tarski om te doen was: laten zien dat die stilzwijgende aanname niet deugt. De juiste conclusie is dat de puzzelstukken zo raar zijn dat er met goed fatsoen geen volume aan toe te kennen is. Als je ze, in gedachten, in een glas water doopt, lijken ze allemaal inhoud 4π/3 te hebben. Maar als je ze, in gedachten, met water zou willen vullen, blijkt er niets in te kunnen.
Literatuur
Robert M. French, The Banach-Tarski Theorem, The Mathematical Intelligencer, 4 (1988), 21-28. Stan Wagon, The Banach-Tarski Paradox, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Volume 24, Cambridge University Press, 1985.