Iedereen leerde over de kubus, over een gelijkzijdige piramide met driehoekig grondvlak, en later kwam er al eens een dodecaëder bij. Maar er zijn nog veel meer regelmatige driedimensionale geometrische lichamen met vlakke zijvlakken en rechte ribben. In 1996 kregen de Brit Walter Kroto en de Amerikanen Robert Curl en Richard Smalley de Nobelprijs voor chemie voor de ontdekking van het Buckminsterfullerene, de C60-molecule. Het werd genoemd naar de architect Buckminster Fuller, bekend van zijn Fuller domes.
Benaderende bolvormen met regelmatige veelhoeken spreken niet alleen meetkundigen, fysici en chemici aan, maar ook architecten en kunstenaars. De Nederlandse kunstenaar Rinus Roelofs is bekend voor zijn veelvlakken. Als specialist in 3D-printen (zie ‘Printen in Beton’, Eos nr. 5, 2011) en in het computergestuurd lasersnijden, stelt hij nu modellen voor waarmee iedereen zelf de klassieke veelvlakken kan nabouwen. Het plooiwerk met papier is een verademing in het tijdperk van muisklikken en iPadschuiven. Het is bovendien instructief en nuttig om allerhande fouten te vermijden.
Platonische liefde
Wiskundigen houden al eeuwenlang van de Platonische lichamen. Het zijn driedimensionale objecten opgebouwd uit allemaal dezelfde regelmatige veelhoeken die perfect passen in en op een bol. Er zijn er slechts vijf. De tetraëder is opgebouwd uit vier gelijkzijdige driehoeken, de octaëder uit acht, en de icosaëder uit twintig.
De kubus bestaat uit zes vierkanten (en wordt daarom soms ook hexaëder genoemd), terwijl de dodecaëder twaalf regelmatige vijfhoeken verenigt. Plato (ca. 427-347 v. Chr.) beschreef als eerste de regelmatige veelvlakken in zijn boek Timaeus en ze dragen dan ook met recht zijn naam. Plato’s bewondering voor hun wiskundige eigenschappen was zo groot dat hij er mythische verklaringen aan gaf.
Hij associeerde hen met de ‘basiselementen’: de tetraëder stond voor vuur, de octaëder voor lucht, de icosaëder voor water, en de kubus voor aarde. Op die manier had hij wel nog een veelvlak over, en zo stelde hij het twaalfvlak dan maar symbool voor het hele universum. Duizenden jaren lang zouden de alchemie en allerhande sektarische verenigingen deze symboliek blijven aanwenden.
Vandaag zijn het vooral chemici, ingenieurs en architecten die ze gebruiken, en gelukkig hoeven ze geen beroep te doen op mythische pseudowetenschappers, want 3D-tekenprogramma’s hebben voorgetekende versies. Archimedes (287-212 v. Chr.) beschouwde nog andere benaderingen van de bolvorm met verschillende regelmatige veelhoeken als zijvlakken. Hij eiste wel dat zijn ‘half-regelmatige’ lichamen in elk hoekpunt uit dezelfde combinaties van veelvlakken bestonden.
Een piramide met een vierkant grondvlak komt dan bijvoorbeeld niet in aanmerking. Toch bleven er nog dertien mogelijkheden over (en zelfs vijftien als ook twee spiegelbeelden in aanmerking worden genomen), en ze heetten voortaan de Archimedische lichamen. Soms wordt er nog één lichaam toegevoegd, de pseudo-rombische kuboctaëder, waarbij de ‘onderkant’ een slag wordt gedraaid. Maar omdat Archimedes die er zelf niet bij rekende, houden ook wij het bij de ‘klassieke’ dertien (of vijftien) gevallen.
Atomium
Wie om zich heen kijkt, herkent overal Platonische en Archimedische veelvlakken in voorwerpen en gebouwen. Zo imiteren de bollen van het Atomium bij Brussel een afgeknotte kuboctaëder. Die wordt gevormd door regelmatige vier-, zes- en achthoeken. Door tussen elk van deze veelhoeken lange rechthoekige stroken te plaatsen en de overgebleven ruimte met driehoeken op te vullen, bekom je een Atomiumbol. De totaalstructuur van negen kuboctahedrons op de hoekpunten en in het midden een kubus was een mooi eerbetoon aan de wiskunde.
Tot de restauratie van het monument in 2008. Sindsdien bevat dit toonbeeld van de Belgische ingenieurskunde een duidelijke fout: als je vanuit de hoogste bol, waar het restaurant in gevestigd is, neerkijkt op de bol in de richting van het Groentheater, blijkt de zeshoek helemaal bovenaan zeer onregelmatig. Bovendien zijn de rechthoekige stroken die ernaartoe leiden scheef: het zijn trapezia.
De zijden van de figuren zijn op zijn minst 40 centimeter, zodat niemand er echt kan naast kijken. Eos bracht deze fout al aan het licht in 2009 (zie ‘De scheve bol van het Atomium’, Eos nr. 11, 2009). Dat veroorzaakte een mediastorm, vooral dan omdat de directeur van het monument meende te begrijpen dat er een bol van het Atomium zou vallen. In paniek had hij zowat de volledige pers gealarmeerd.
Tegelijk blijft hij volhouden dat er helemaal geen fout zit in een van de bollen, en stelt hij dat ‘een diepgaandere analyse’ nodig is. Wat Archimedes tweeduizend jaar geleden al wist, en wat wiskundigen over de hele wereld al die tijd hebben onderzocht en beschreven volstaat dus niet.
Hij zou nochtans op algemeen begrip hebben kunnen rekenen als hij de fout had laten rechtzetten. Het gebeurt immers wel vaker dat architecten snel een bouwwerk moeten opleveren, en na de officiële opening enige herstellingen doen. Bij de restauratie van het Atomium werd de bewuste bol inderdaad te snel afgewerkt, dat gaf een technicus van het Atomium achteraf toe, ‘omdat politici absoluut snel het gerestaureerde monument wilden inhuldigen’.
Scheve voetballen
Ook de afgeknotte icosaëder is een Archimedisch veelvlak dat problemen stelt. Het is niets anders dan een simpele voetbal en die moet dus uit vijf- en zeshoeken bestaan. Meer dan één website verkoopt clipart-voetballen waarbij de zwarte vijfhoeken zeshoeken zijn.
Andere sites verkopen analoge matjes, al bieden sommigen tot tien dollar korting, misschien omdat ze ondertussen hun kleuterachtige fout hebben ingezien. Maar ook op publieke plaatsen zijn fouten te zien. De Nederlandse chemicus Jos Janssen merkte op dat een verkeersbord in Kinderdijk, bij Rotterdam, dat waarschuwt voor spelende kinderen, een voetbal toont met alleen zeshoeken.
Soms lijkt het zelfs alsof pedagogen kinderen met opzet een foute vorm willen aanleren. Zo staan in een boekje voor het educatief spel Mini-Loco (ontwikkelingsspel 1, Wolters-Noordhoff) ook met zeshoeken bedekte voetballen. Het zijn veeleer spelletjes voor onder-ontwikkeling … En ook de Champions League voetbal gaat in de fout: het logo zou volgens de wetten van de wiskunde een rode kaart moeten krijgen.
Toegegeven, de fout is moeilijker te zien omdat de vijfhoeken in een meer fantasievolle voorstelling worden gebruikt. Maar toch zag Rinus Roelofs dat het logo fout is. Al onze e-mails hieromtrent gericht aan de UEFA bleven onbeantwoord. Meer zelfs, op videospelletjes en op decoratiemateriaal die verwijzen naar de Champions League vind je tegenwoordig de creatiefste variaties om de bolvorm toch te doen kloppen.
Voetballen kunnen ook niet ontbreken in de Vlaamse tv- en stripreeks F.C. De Kampioenen. Op het album Oma Boma staat een erg twijfelachtige versie van een voetbal, maar er is hoop, want die onnauwkeurigheid wordt misschien hersteld. Dat gebeurde immers ook met een voetbal met zeshoeken op het eerste album, Zal ‘t gaan, ja?, dat bij de heruitgave van het album werd gecorrigeerd. Dat siert auteur Hec Leemans, en hij onderscheidt zich daarmee van de directie van het Atomium of van de UEFA. Wie had ooit kunnen denken dat F.C. De Kampioenen het beter zou doen dan de Champions League?
Komende zomer geeft de Britse Nobelprijswinnaar Walter Kroto een voordracht op het congres ‘Bridges Enschede 2013’. Het congres verenigt van 27 tot 31 juli mensen die zich kunnen vinden in de sleutelwoorden ‘wiskunde, muziek, kunst, architectuur en cultuur’.
Bron
Dit artikel verscheen eerder in het wetenschapstijdschrift EOS Magazine