Je leest:

Kansen en niet-transitiviteit

Kansen en niet-transitiviteit

Auteur: | 15 mei 2008

In de kansrekening kom je soms erg tegenintuïtieve verschijnselen tegen. In dit artikel geven we daarvan drie voorbeelden.

Voor een proefwerk heeft Arie een lager cijfer dan Bert en Bert heeft een lager cijfer dan Cees; dan weten we zeker dat Arie een lager cijfer heeft dan Cees.

Katja staat vroeger op dan Leonie en Leonie staat vroeger op dan Marscha; dan staat Katja dus vroeger op dan Marscha.

Peter is langer dan Quirijn en Quirijn is langer dan Robert; dan is Peter dus langer dan Robert.

In de voorgaande drie zinnen heb je voorbeelden van transitieve relaties gezien. In de wiskunde is een relatie de abstractie van wat in het algemeen een verband of betrekking tussen dingen aangeeft. Enkele veelvoorkomende relaties in de wiskunde zijn < (kleiner dan), = (is gelijk aan) en ⇒ (implicatie). Omdat uit a < b en b < c volgt dat tevens a < c, noemen we de relatie < transitief. Ook = en ⇒ zijn transitief. Als we de relatie ∝ definiëren als ‘verschilt minder dan 10 van’, dan is 1 ∝ 7 (1 verschilt minder dan 10 van 7) en 7 ∝ 16 (7 verschilt minder dan 10 van 16), maar er geldt niet dat 1 ∝ 16 (1 verschilt immers 15 van 16). De relatie ∝ is daarom niet transitief.

In dit artikel draait het om kansspelletjes, waarbij we de relatie 〉〉 definiëren als ‘heeft een grotere winstkans dan’. We zullen enkele verrassende vondsten doen op het gebied van de transitiviteit van deze relatie.

Een spel met negen kaarten

Negen kaarten uit een kaartspel, aas en 2 tot en met 9, worden in drie setjes gelegd; elk setje bevat drie kaarten. Twee spelers kiezen elk één set kaarten, waarna elke speler blindelings een kaart uit zijn eigen set trekt. Winnaar is degene met de hoogste kaart (hierbij staat aas voor 1).

Figuur 1 Drie sets van drie kaarten

Stel dat de verdeling van de kaarten is zoals in figuur 1. Als speler 1 voor set A kiest en speler 2 voor set B, dan is de kans dat speler 1 wint gelijk aan 1/3 ⋅ 0 + 1/3 ⋅ 2/3 + 1/3 ⋅ 1 = 5/9. Bij de eerste term is de eerste factor de kans dat speler 1 de aas trekt, in welk geval hij het spelletje zeker verliest. Bij de tweede term in de eerste factor de kans dat speler 1 de 6 trekt, in welk geval hij het spelletje met kans 2/3 wint (speler 2 moet de 3 of de 5 trekken). In de derde term is de eerste factor de kans dat speler 1 de 8 trekt, in welk geval hij het spelletje zeker wint.

Vergelijken we de setjes A en B met elkaar, dan zien we dat set A gunstiger is: met kans 5/9 win je het spelletje met set A. Er geldt dus dat A 〉〉 B.

Als speler 1 voor set B kiest en speler 2 voor set C, dan kunnen we de winstkans voor speler 1 op soortgelijke wijze berekenen: 1/3 ⋅ 1/3 + 1/3 ⋅ 2/3 + 1/3 ⋅ 2/3 = 5/9. Er geldt dus dat B 〉〉 C.

Kunnen we nu uit A 〉〉 B en B 〉〉 C concluderen dat A 〉〉 C? Het antwoord is: nee. Als speler 1 voor set A kiest en speler 2 voor set C, dan is de winstkans voor speler 1 gelijk aan 1/3 ⋅ 0 + 1/3 ⋅ 2/3 + 1/3 ⋅ 2/3 = 4/9.

Als we de setjes A en C met elkaar vergelijken, dan zien we dat A ongunstiger is dan C! Er geldt A 〉〉 B 〉〉 C 〉〉 A, waarmee we het kringetje rond zijn!

Een spel met vier dobbelstenen

Een spel dat bekend staat als de niet-transitieve dobbelstenen van Bradley Efron gaat als volgt. We hebben vier bijzondere dobbelstenen: steen A heeft twee vlakken met elk een 0 en vier met elk een 4; Steen B heeft op elk vlak een 3; Steen C heeft twee vlakken met elk een 6 en vier met elk een 2; Steen D heeft drie vlakken met elk een 1 en drie met elk een 5. Speler 1 kiest een steen. Daarna kiest speler 2 uit de overgebleven stenen een steen. Ieder werpt nu eenmaal zijn steen. Degene met het hoogste aantal ogen wint.

Figuur 2 De niet-transitieve dobbelstenen van Bradley Efron

Speler 2 kan altijd winnen met kans 2/3, door een geschikte keuze te maken. Probeer dit zelf met een berekening na te gaan. Als je er niet uitkomt, kun je kijken op een van onderstaande links.

Meer over de dobbelstenen van Bradley Efron:

Een serie muntworpen

Twee spelers kiezen elk een rijtje van drie achtereenvolgende muntworpen, bijvoorbeeld ‘kop-kop-kop’ (KKK), ‘kop-munt-kop’ (KMK), ‘munt-munt-kop’ (MMK), enzovoorts. Er wordt met een munt geworpen, net zolang totdat een van de twee gekozen rijtjes een keer voorkomt. Stel dat speler 1 kiest voor ‘kop-kop-munt’ en speler 2 voor ‘kop-munt-kop’. Het spel kan al na drie worpen afgelopen zijn, namelijk als er meteen KKM of KMK wordt gegooid. Maar als de eerste worp M is, is er op zijn minst nog een vierde worp nodig. Als bijvoorbeeld het rijtje MMKMMMKKKM optreedt, dan zijn er tien worpen nodig geweest en wint speler 1.

Hoe bereken je de kans dat speler 1 (KKM) wint van speler 2 (KMK)? Op het eerste gezicht denk je misschien dat beide spelers kans gelijke kans hebben om te winnen; in drie worpen is de kans dat KKM optreedt immers gelijk aan 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 = 1/8, maar de kans op KMK (of een willekeurig ander rijtje van drie) is eveneens 1/8.

Toch is speler 1 in het voordeel. Dit kun je als volgt inzien. Sowieso moet er gewacht worden tot er een keer K wordt geworpen. Als er na de eerste K meteen nog een K wordt geworpen, heeft speler 1 al gewonnen, ongeacht het moment waarop de eerste M (na die twee achtereenvolgende K’s) optreedt: bij KKM wint speler 1, maar bij KKKKKKKM wint speler 1 eveneens. Maar als er na de eerste K een M wordt geworpen, kunnen allebei de spelers nog winnen: als na KM een K wordt geworpen, heeft speler 2 gewonnen, maar als na KM een M optreedt, moet het spel als het ware weer opnieuw beginnen.

Martin Gardner legt in zijn boek Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988) uit hoe je dergelijke kansen exact kunt berekenen.

Martin Gardner schrijft in zijn boek Time Travel and Other Mathematical Bewilderments uitgebreid over ‘niet-transitieve kansen’.

Voor alle rijtjes van drie muntworpen zijn de winstkansen weergegeven in figuur 3. Daaruit blijkt dat in het genoemde voorbeeld speler 1 (KKM) met kans 2/3 van speler 2 (KMK) wint. Dat er géén sprake is van transitiviteit, blijkt uit de cykel KKM 〉〉 KMM 〉〉 MMK 〉〉 MKK 〉〉 KKM. De juistheid hiervan volgt uit figuur 3.

Bij elke keuze van de ene speler is er een keuze voor de andere speler te vinden, die de grootste winstkans heeft. Als jouw tegenspeler eerst een combinatie mag kiezen, kun jij altijd een betere combinatie kiezen! En andersom natuurlijk.

Figuur 3 Tabel met winstkansen voor speler 1

Meer over kansrekening en muntworpen:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 15 mei 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.