Je leest:

Kanonskogels stapelen

Kanonskogels stapelen

Auteur: | 1 december 1998

Op 9 augustus 1998 kondigde de Amerikaanse wiskundige Tom Hales van de Universiteit van Michigan per e-mail aan dat het hem gelukt was om een bewijs te geven voor het vermoeden van Kepler. Als dit bewijs correct is heeft hij de dichtst mogelijke bolstapeling in de ruimte bepaald en daarmee een van de oudste problemen uit de wiskunde opgelost.

De vraag naar hoe je bollen zo dicht mogelijk op elkaar kunt stapelen is al heel oud. De vroegste discussie over dit probleem die we in de literatuur kunnen vinden lijkt zo’n vierhonderd jaar oud. Sir Walter Raleigh was een Engels zeevaarder, avonturier en gunsteling van koningin Elizabeth I. Misschien ken je zijn naam wel uit de verhalen over zeeslagen en kapers uit die tijd. Door zijn beroep was hij geïnteresseerd in het netjes opstapelen van kanonskogels. Hij vroeg in 1591 zijn wis- en sterrenkundig adviseur, Thomas Harriot, formules te ontwikkelen om het aantal kogels in een stapel met kanonskogels te bepalen.

Stapelen

Je zou dit zelf als volgt kunnen proberen. Een stapel van één hoog is eenvoudig: daar heb je maar één kanonskogel voor nodig. Voor een stapel van twee hoog begin je met drie kogels in een driehoek tegen elkaar. Er past er dan precies één op, dus in een stapel van twee hoog passen vier kogels. Voor een stapel van drie hoog begin je met een driehoek van zes kogels. Op deze driehoek past precies de stapel die we daarnet hadden, van twee hoog. We krijgen zo een stapel van drie hoog met 6 + 3 + 1 = 10 kogels. Zo kun je verder gaan, en in het algemeen heb je dan voor een stapel van n hoog n(n + 1)(n + 2)/6 kogels nodig. Je kunt ook nog een ander soort stapel maken door in elke stapel de bollen in een vierkant te leggen. Een stapel van drie hoog heeft dan 1 + 4 + 9 = 14 kogels nodig. Kun je hier, net als Harriot, een formule voor vinden?

Kepler

Na het oplossen van het probleem van de Engelse admiraal dacht Harriot nog wat door. Hij voerde een briefwisseling met Johannes Kepler, de eerste astronoom die durfde te beweren dat niet de aarde, maar de zon in het centrum van ons zonnestelsel staat. Kepler beschreef in 1609 een stapeling die eigenlijk de stapeling van de kanonskogels van Harriot was. Hij merkte, zonder bewijs, op dat een dichtere stapeling niet mogelijk is.

Zoals in die tijd gebruikelijk was deed hij dat in het Latijn: ’ Coaptatio fiet arctissima: ut nullo praeterea ordine plures globuli in idem vas compingi queant’ (deze stapeling is de dichtste: op geen enkele manier kunnen meer bollen in dezelfde ruimte worden geplaatst). Hierdoor is het bolstapelingsprobleem zijn naam gaan dragen.

Het bleek een echt probleem te zijn, want hoe logisch Kepler het ook vond, het lukte geen enkele wiskundige om dit te bewijzen. In de wetenschappelijke wereld sprak men er snel schande van dat het probleem nog niet was opgelost.

Guldens

Waarom is het probleem van Kepler zo lastig? Laten we eerst eens naar de situatie in het platte vlak kijken. Daar zijn ‘bollen’ gewoon cirkels, bijvoorbeeld guldens dus. Door wat te schuiven met guldens op een tafel zie je al snel dat er precies zes guldens om één gulden passen. Vervolgens ligt het erg voor de hand hoe je nu verder moet. Door telkens nieuwe guldens tegen de ‘kuiltjes’ te leggen wordt de hele tafel tenslotte op een regelmatige manier gevuld.

Het is overduidelijk dat het ook niet beter kan. Meer guldens krijg je er echt niet op. Toch werd dit pas zo’n honderd jaar geleden bewezen door de Noorse getaltheoreticus Thue, om precies te zijn in 1892.

Welk gedeelte van het vlak wordt nu door de guldens bedekt? Om dit uit te rekenen kun je om elke gulden een gelijkzijdige zeshoek tekenen, zodanig dat de zeshoeken samen de hele tafel opvullen. De vulverhouding is dan gewoon de oppervlakte van een gulden gedeeld door de oppervlakte van een zeshoek. Als je dit doet vind je een verhouding van ongeveer 0,906899. De guldens bedekken dus bijna 91% van het vlak.

Kussende bollen

In de ruimte lijkt de situatie ook zo klaar als een klontje. Je begint in het vlak en legt de bollen zo goed mogelijk neer, alsof het guldens zijn. Met een tweede laag doe je hetzelfde en legt die vervolgens zó op de eerste dat z’n bolletjes precies in de kuiltjes van de eerste laag vallen. Zo kun je een stapeling maken die in vaktermen de face-centered-cubic (fcc) stapeling heet. In deze stapeling raakt elke bol aan twaalf andere en de dichtheid is pi / wortel 18 = 0,74048… Dat wil zeggen, ongeveer 74% van de ruimte wordt nu gevuld met bollen.

De face-centered-cubic stapeling

Als we willen bewijzen dat het niet beter kan duiken er onverwachte problemen op. Hoeveel bollen passen er eigenlijk om een bol? In vaktaal heet dit the kissing number. Al in 1694 lag de Schotse astronoom David Gregory over deze kwestie overhoop met de bekende Engelse wetenschapper Isaac Newton.

Newton beweerde dat het er twaalf zijn, terwijl volgens Gregory dertien ook mogelijk zou moeten zijn. Twaalf is in ieder mogelijk, want in de ‘piramidestapeling’ die we al kennen heeft elke bol precies twaalf buren. Als je echter een bol bekijkt met zijn twaalf directe buren, dan liggen hun posities niet vast zoals dat met de guldens het geval was. Je zou ze allemaal nog wat kunnen verschuiven, terwijl ze toch aan de middelste blijven raken. Zou deze vrijheid niet net voldoende kunnen zijn om genoeg ruimte voor een extra bol te maken?

In 1874 werd bewezen dat Newton gelijk had. Voor dertien bollen is er niet genoeg ruimte. Wat het bewijs erg moeilijk maakt is dat de bollen nog verplaatst kunnen worden en niet zoals bij de guldens vast liggen.

Regelmatige stapelingen

Gauss was de eerste die iets bewees over het bolstapelingsprobleem. In 1840 toonde dat als je er vanuit gaat dat de stapeling regelmatig is, de dichtheid nooit groter kan zijn dan pi / (wortel 18).

Het blijft nog altijd denkbaar dat met een misschien ingewikkelde stapeling, die niet regelmatig is, een hogere dichtheid kan worden gehaald. Andere wiskundigen zijn bezig geweest om een bovengrens voor de stapelingsdichtheid te vinden. De meest recente bovengrens (uit 1993) is 0,773055 maar die is nog ver verwijderd van de echte waarde: 0,74048…

Suiker

Vanwege het praktische belang hebben ook veel experimentatoren zich op de bepaling van maximale stapelingsdichtheid geworpen. Ze hebben talloze proeven werden gedaan met hagelkorrels en plastic balletjes, die in een pot werden geschud of aangestampt, om maar een zo hoog mogelijke dichtheid te bereiken. Er zijn zelfs een paar biologen geweest die dit met erwten deden, deze dan hard aanstampten, en ze vervolgend weer uit elkaar pulkten om het aantal vlakjes te tellen die de platgedrukte erwten hadden gekregen.

Als je een grote hoeveelheid kleine bolletjes (denk bijvoorbeeld aan suikerkorrels) in potje doet, dan krijg je een zogenaamde random loose packing die een dichtheid heeft van ongeveer 0,60. Uit ervaring (denk aan een suikerpot die net gevuld is) weet je waarschijnlijk dat je er altijd nog wel wat meer in kunt krijgen door eerst hard met het potje op een tafel te stampen. De random close packing die je zo krijgt blijkt een dichtheid van ongeveer 0,64 te hebben.

Helaas is dit nog altijd akelig ver verwijderd van de optimale waarde 0,74048. Een reden hiervoor is dat de bolletjes groepjes met een kristalstructuur gaan vormen en deze groepjes zijn door schudden haast niet meer uit elkaar te krijgen. Je weet nu dus wat je moet zeggen als je moeder weer eens moppert omdat niet het hele pak suiker in de suikerpot past. Door de suikerkorrels netjes te stapelen kan er tien procent meer suiker in de pot!

Klopt het bewijs?

Terug naar het bolstapelingsprobleem. Hebben we nu eindelijk een bewijs? Er kleeft een klein bezwaar aan het bewijs dat Tom Hales nu heeft aangekondigd. Het is zo’n walgelijk ingewikkeld bewijs dat het een boekwerk is geworden van 250 pagina’s. Helaas is dat nog niet alles, want een belangrijk deel van het bewijs bestaat uit het controleren van een heleboel ingewikkelde situaties met behulp van computers. De programmatuur voor de computer, samen met de gegevens die de computer nodig heeft en oplevert, beslaan ook nog eens zo’n 3 Gigabytes aan computergeheugen, dit komt neer op zo’n drie miljoen pagina’s tekst. Je kunt je voorstellen dat het hierdoor niet eenvoudig voor andere wiskundigen is om dit bewijs te controleren, en pas een gecontroleerd bewijs geldt als echt.

De wiskundige wereld heeft een groot vertrouwen in Thomas Hales, want hij heeft de afgelopen jaren regelmatig delen van zijn werk gepubliceerd, en dat zag er allemaal uitstekend uit. Het ziet er dus naar uit dat we dit bewijs wel kunnen vertrouwen.

In het bewijs van Hales wordt aan elke bol een cel toegewezen waar de bol in ligt, zodanig, dat al deze cellen de hele ruimte vullen. Dit lijkt een beetje op de zeshoeken die we bij de guldens hebben gebruikt. Het bewijs bestaat uit het controleren van een hele hoop (zo’n 5000) mogelijke situaties, waarbij telkens door een computer het maximum van een hele ingewikkelde functie moet worden gevonden, een functie met zo’n 150 variabelen. Zulk soort problemen zijn in het algemeen erg lastig. Eén geval bleek extra moeilijk te zijn. Aan de behandeling hiervan is het proefschrift van Samuel Ferguson gewijd, een student van Hales. Dit werk is ook onderdeel van het bewijs. En wat nu? Op naar de dichtste bolstapeling in vier dimensies!

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 december 1998

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.