János Bolyai: een geniale ellendeling

“Je mag de parallellen niet op die manier verzoeken. Ik ken die weg tot het einde – ook ik ben door die eindeloze nacht gegaan. Al het licht en al mijn levensvreugde zijn er in opgelost – ik bezweer je bij God: laat de leer van de evenwijdige lijnen met rust! Je moet er dezelfde afschuw van hebben als van liederlijk verkeer, het kan je van al je vrije tijd, je gezondheid, je rust en je hele levensgeluk beroven. Deze volslagen duisternis kan wel duizend reuzen als Newton verzwelgen. Nooit zal het op aarde licht worden en nooit zal het armzalige mensengeslacht iets zuivers bezitten, zelfs de meetkunde niet; het is in mijn ziel een diepe en eeuwige wond… Ikzelf had mij voorgenomen me voor de waarheid op te offeren. Ik was bereid martelaar te zijn als ik zó de meetkunde ontdaan van deze smet aan het mensengeslacht terug kon geven. Ik ben teruggekeerd toen ik inzag dat men vanaf de aarde het einde van deze nacht niet kan bereiken. Probeer het niet: het zal je nooit lukken. Er bestaat in deze materie een in zichzelf terugkerende cirkelbeweging – een labyrint waarbij iemand steeds naar binnen wordt gelokt. Wie er in gaat verarmt als een schatgraver en blijft onwetend… Het is daar dat de zuilen van Hercules opdoemen – _ga niet één stap verder of je bent verloren.”_

Het was voorjaar 1820, en de nadrukkelijke en tot het uiterste toe bewogen vermaning van zijn vader was – in de woorden van János Bolyai (spreek uit: Bó-jâ-i) – “geschikt om zelfs de dappersten voor altijd de moed te ontnemen.” Maar de uitwerking op de achttienjarige János was averechts. Zijn interesse in het probleem was nu pas goed gewekt, en zijn drang om er tot elke prijs in door te dringen werd steeds heftiger. Zelfs een tweede brief van zijn vader (“Ik ben langs alle klippen van deze helse dode zee gevaren en ben altijd teruggekeerd met een versplinterde mast en met gescheurde zeilen. Het is een slagveld waarop ik telkens ben verslagen. Ik zie mijn ongelukkige jeugd zich in jou herhalen.”) weerhield hem er niet van zich in het geschetste doolhof te wagen.

Euclides’ vijfde postulaat

Een doolhof van evenwijdige lijnen: toen de Griekse wiskundige Euclides omstreeks 300 v. Chr. de meet- en rekenkundige kennis van zijn tijd in dertien boeken samenvatte, baseerde hij zich op een aantal veronderstellingen (postulaten en axioma’s) die theoretisch onbewijsbaar waren, maar die noodzakelijk moesten. worden aanvaard om bepaalde feiten te kunnen begrijpen. Zo luidt het eerste postulaat: twee punten kunnen door middel van een rechte lijn met elkaar worden verbonden; en het vierde: alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk. De moeilijkheid school echter in het vijfde postulaat en daarmee samenhangend de drieëntwintigste definitie. Euclides’ manier om het vijfde postulaat te definiëren was nogal omslachtig, en al vroeg is hieraan een begrijpelijker omschrijving gegeven: door een gegeven punt p buiten een rechte lijn 1 gaat precies één rechte lijn evenwijdig met 1. En evenwijdige lijnen zijn volgens Euclides’ drieëntwintigste definitie: rechte lijnen die, liggend in hetzelfde vlak en onbeperkt in beide richtingen verlengd, elkaar niet snijden.

Euclides’ veronderstelling over evenwijdigheid van lijnen was van het begin af aan twijfelachtig. Zo wordt er in het parallellenpostulaat een beroep gedaan op het begrip oneindigheid (lijnen die onbeperkt worden verlengd), en in de loop der tijden zijn daar talloze bezwaren tegenin gebracht. Wat dus hard nodig was, was een bewijs voor het postulaat, en twintig eeuwen lang hebben wiskundigen getracht zo’n bewijs te vinden. Alle pogingen bleven echter vruchteloos, en langzamerhand ontwikkelde het parallellenpostulaat zich tot een hardnekkige vlek op de anders zo smetteloze mantel van de wiskunde.

Aan het begin van de negentiende eeuw werden de pogingen het parallellenpostulaat te bewijzen niets minder dan een manie. In Hongarije besteedde Farkas Bolyai een groot deel van zijn leven aan deze taak, en in zijn jeugd besprak hij het vaak met zijn Duitse vriend en collega wiskundige Carl Friedrich Gauss. Gauss en Bolyai hadden een gemeenschappelijke interesse in het grondslagenprobleem en Bolyai had zichzelf tot ‘offer voor de parallellen’ voorbestemd. Hij meende ook een bewijs voor het vijfde postulaat te hebben gevonden, maar deze eerste poging kon hij niet meer met Gauss bespreken omdat hij gedwongen door geldgebrek moest terugkeren naar Hongarije. Beide vrienden namen afscheid op een heuveltop in de Harz en spraken af op de laatste avond van elke maand een pijp te stoppen en tijdens het roken aan elkaar te denken. Bolyai keerde terug naar zijn geboortestreek Transylvanië en werd wiskundehoogleraar aan het college in Marosvásárhely. Aan Gauss schrijft hij: “Mooi zou het zijn als jij boven aan de spits van de trotse toren (van de wiskunde) werkt, en ik aan zijn grondslagen.” Maar de oplossing van het parallellenprobleem bleef uit: Bolyai’s voorgestelde oplossing werd door Gauss – die dan al algemeen wordt beschouwd als de ‘prins der mathematici’ – afgewezen. Voor Bolyai verandert het probleem daardoor steeds meer tot het ongeluk van zijn leven: “Het is een echte ziekte, een soort waanzin, een tiranniek idee.”

Levensloop

In 1802 wordt János geboren en naar de vader Gauss laat weten ontwikkelt het kind zich al spelenderwijs tot een echte wiskundige. Als János dertien is speelt hij viool als een virtuoos en bij het onderwijs in de wis- en sterrenkunde toont hij “Blitze von Genie”, schrijft Farkas aan Gauss. Farkas Bolyai is overtuigd van de wiskundige begaafdheid van zijn zoon en wil de verdere opleiding van dit talent slechts aan Gauss toevertrouwen. In 1816 vraagt hij Gauss of János niet drie jaar bij hem en zijn gezin mag in komen wonen en stuurt hem bij die gelegenheid een kostbare, meerschuimen pijp. Vader en zoon Bolyai wachten echter tevergeefs op antwoord. Gauss zwijgt in alle talen, heeft het kennelijk te druk met de bouw van zijn sterrenwacht in Göttingen, had zelf al vier kinderen en een vijfde was op komst. Bovendien was de toon van de brief van Bolyai niet helemaal geslaagd. Zo vraagt hij aan Gauss of diens vrouw wel een ‘uitzondering op haar geslacht is, is ze niet veranderlijk als een weerhaan en even onberekenbaar als de barometerstand?’ Gauss antwoordt niet op deze brief, en de correspondentie tussen de beide vrienden stokt, totdat Farkas Bolyai hem in 1831 pas opnieuw schrijft.

In de tussentijd acht Farkas de hoogleraren wiskunde aan de universiteiten van Pest en Wenen niet goed genoeg voor zijn zoon. In plaats van een universitaire studie te ondergaan wordt János daarom naar een militaire academie gestuurd – de Kaiserliche Ingenieur-Akademie in Wenen. Militaire academies waren in die tijd van hoog gehalte en het wiskunde-onderwijs deed er niet onder voor het universitair onderwijs. In de zomer van 1818 vertrekt János naar Wenen. Op de Ingenieur-Akademie heeft hij aanvankelijk grote moeite om zich aan de militaire tucht en onderwerping aan te passen, maar al snel behoort hij tot de besten van zijn klas. Ook worstelen en schermen wordt gedoceerd en dan blijkt pas goed zijn temperamentvolle aard. János is een uitstekend schermer en wordt maar al te vaak bij een duel betrokken. Op een dag daagt hij dertien officieren tegelijkertijd uit. Als voorwaarde stelt hij dat hij na ieder gewonnen duel voor zijn slachtoffer een stuk op zijn viool mag spelen, in plaats van het gebruikelijke oor af te hakken. Aan het einde van de dag heeft János nog zijn beide oren; de dertien officieren zijn – tot hun geluk figuurlijk – de oren van het hoofd gespeeld.

Dan, in 1820, herinnert János zich de woorden van zijn vader. Eens uitte hij dat diegene die een bewijs voor het parallellenprobleem zou vinden, een diamant verdiende die zo groot was als de aarde. Een andere keer zei hij: “Wie dat lukt richt – als sterfelijke – voor zichzelf een eeuwig gedenkteken op.” In het voorjaar vraagt hij zijn vader hem alles te schrijven wat deze over het parallellenpostulaat weet. Farkas Bolyai reageert geschrokken en probeert zijn zoon te bewegen er van af te zien. Toch kan hij geen weerstand bieden aan het verzoek: “Hier heb je dat waardeloze axioma, dat ik voor kinderen had bedacht. Omdat het slechts uit een paar regels bestaat, schrijf ik het voor je op.” János’ vroegste aantekeningen over de parallellenleer staan in zijn schoolschrift van de academie, tussen de uitwerking van zijn mechanica-opgaven. Het zijn vier figuren – drie van een cirkel met oneindige straal en een van een driehoek met een zijde die de asymptoot vormt voor de beide andere – met het opschrift A Parallelarum Theoria: leer van de evenwijdige lijnen.

Op 3 november 1823 is zijn onderzoek al zover gevorderd dat hij zijn vader schrijft: "Mijn voornemen staat vast: ik ben vastbesloten om een werk over de parallellen te publiceren zodra de zaak geordend is en is afgesloten en zich een gelegenheid voordoet. Op dit moment is het nog niet gelukt, maar de weg die ik ben ingeslagen belooft vrijwel zeker naar het doel te leiden, als dat al bereikt kan worden. Ik heb dat doel nog niet bereikt, maar ik heb zulke voortreffelijke ontdekkingen gedaan dat ik zelf verbijsterd was en het zou eeuwig jammer zijn als ze verloren zouden gaan. Als u, mijn dierbare vader ze zou zien, zou u het toegeven. Nu kan ik niets meer zeggen dan dat ik uit het niets een nieuwe, andere wereld heb geschapen. " En zo was het ook. De opwinding van de 21-jarige János was terecht: na meer dan twintig eeuwen had hij de problemen rond het parallellenpostulaat opgelost en daarbij een meetkunde ontworpen die afweek van de normale euclidische meetkunde, maar die evenveel recht van bestaan had.

János Bolyai putte zijn bewijs uit het ongerijmde. Hij ontkent de evenwijdigheid van lijnen en als die ontkenning tot tegenspraken leidt, dan staat vast dat die evenwijdigheid wél waar moet zijn en is het postulaat bewezen. In plaats van de veronderstelling dat door een punt buiten een rechte lijn slechts één lijn gaat die parallel is aan die rechte lijn zijn er twee mogelijke ontkenningen: men kan aannemen dat er door dat punt méér lijnen gaan die evenwijdig zijn aan de rechte lijn, of men kan aannemen dat er door dat punt géén lijn gaat die parallel loopt aan de rechte lijn. János Bolyai koos voor de eerste variant, en iedereen zou verwachten dat er in zijn meetkunde tegenspraken zouden optreden. Maar tot János’ eigen verbazing bleven die uit. Hij had dus uit het niets een geheel nieuwe meetkunde ontwikkeld, die tevoren onbekend was. Hij noemde zijn meetkunde de absolute meetkunde, omdat hij meende dat zijn stellingen de absolute ruimte beschreven. In deze algemene meetkunde is de euclidische (‘vlakke’) meetkunde een grensgeval. In het platte vlak is de som van de drie hoeken van een driehoek 180 graden. In de gekromde ruimte van János Bolyai is die som altijd kleiner dan 180 graden.

Niet-euclidische meetkunde

Farkas Bolyai spoorde zijn zoon ogenblikkelijk aan om de sensationele ontdekking te openbaren in een bijlage bij het boek waaraan hij werkte en dat spoedig zou verschijnen. “Als je er werkelijk in bent geslaagd, dan mag je geen tijd verliezen je ontdekking wereldkundig te maken, en wel om twee redenen: ten eerste omdat ideeën gemakkelijk van de een naar de ander kunnen gaan, die voorop kunnen lopen op een publicatie; en ten tweede: er ligt hierin ook enige waarheid dat veel dingen een tijdperk kennen waarin ze tezelfdertijd in meer plaatsen worden gevonden, net zoals de viooltjes elke lente overal te voorschijn komen. Ook is iedere wetenschappelijke strijd een regelrechte oorlog… Dus moeten we overwinnen als we daartoe in staat zijn, aangezien het voordeel altijd gaat naar diegene die het eerst komt.”

János’ korte meesterwerk ‘De absolute wetenschap van de ruimte’ werd gepubliceerd als Appendix bij het boek van Farkas Bolyai: het ‘Tentamen’. Ongelukkigerwijs werd de publicatie van het boek vertraagd tot 1832, en veel later bleek dat de Russische wiskundige Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevski hem verslagen had door al in 1829 exact dezelfde oplossing te publiceren in een Russisch wetenschappelijk tijdschrift.

Maar veel erger was de reactie van Gauss, aan wie Farkas Bolyai een exemplaar van het boek stuurde met het verzoek het werk van zijn zoon te becommentariëren. Uit de nalatenschap van de bode die het boek aan Gauss overdraagt weten we dat deze geschrokken reageert. Gauss vraagt hem of hij János persoonlijk kent, en als dat bevestigend wordt beantwoord, mompelt hij: “Hm, hm! Hij heeft een zeer briljante kop, ja werkelijk briljant.”

Maar als Gauss zijn oordeel aan Farkas schrijft, is dat voor János bijna vernietigend. “En nu iets over het werk van je zoon: als ik begin met te zeggen dat ik het niet kan prijzen, dan zul je wel een ogenblik versteld staan, maar ik kan niet anders. Hem loven betekent namelijk mijzelf loven: de gehele inhoud van het geschrift, de weg die je zoon is ingeslagen en de resultaten die hij heeft bereikt komen vrijwel voortdurend overeen met mijn eigen onderzoekingen, voor een deel al dertig tot vijfendertig jaar geleden ingesteld. Mijn voornemen was, hierover niets tijdens mijn leven te publiceren, omdat ik er de tijd nog niet rijp voor achtte. Daarentegen had ik mij voorgenomen te zijner tijd alles op papier te zetten, opdat het tenminste niet samen met mij verloren zou gaan. Ik ben ten zeerste verrast dat ik me deze moeite nu kan besparen…”

Op de toch al niet evenwichtige János – zijn moeder leed aan schizofrenie en was in 1821 in volkomen waanzin gestorven; latere psychiatrische onderzoekingen toonden aan dat ook János waarschijnlijk aan schizofrenie leed – had de brief van Gauss een desastreuze uitwerking. Hij verdacht Gauss van prioriteitsroof en beschuldigde zijn vader er zelfs van zijn resultaten aan Gauss te hebben verraden. (Na de dood van Gauss bleek uit zijn dagboek dat hij wel degelijk berekeningen had uitgevoerd die leidden tot een niet-euclidische meetkunde; veel wiskundigen werden aan de hand van dit dagboek alsnog van hun prioriteiten beroofd en János Bolyai was slechts één van hen.) Ook zonderde János zich steeds meer af, en werd in toenemende mate prikkelbaar en opvliegend. Nadat hij herhaaldelijk wegens ‘driftig gedrag’ was berispt, werd hij tenslotte uit de dienst ontslagen en op wachtgeld gezet.

In de zomer van 1833 keert de 31-jarige kapitein buiten dienst, na eerst nog onderweg een ruzie te hebben gemaakt met de Pruisische grensbeambten, terug naar het landgoed van zijn vader. Al snel ondervindt dan ook Farkas Bolyai dat zijn zoon op zijn minst onaangenaam is in de omgang. Als János zich op een dag niet ontziet zijn vader tot een duel uit te dagen moet deze hem vragen het huis te verlaten. Farkas en János Bolyai verbraken alle persoonlijke betrekkingen, maar bleven elkaar wel brieven schrijven over wiskundige kwesties. Deze brieven hadden geen aanhef, en werden niet ondertekend.

Farkas en János Bolyai hadden nog éénmaal een gemeenschappelijk wiskundig belang. In 1837 deden ze beiden mee aan een prijsvraag over complexe getallen van het Jablonov-genootschap in Leipzig, en beide mannen gaven een briljante verhandeling. Toen geen van beiden opnieuw niet die erkenning kreeg die ze hadden verwacht was hun desillusie des te groter. Maar terwijl János Bolyai steeds meer in afzondering ging leven bleef zijn vader een vooraanstaand landheer die geliefd was bij de bevolking en vaak bij technische kwesties werd geraadpleegd. Toen Farkas Bolyai in 1856 stierf werd hij op zijn eigen verzoek in een naamloos graf begraven onder een appelboom, ter herinnering aan de drie bekende appels uit de geschiedenis: de appel van Eva, de gouden appel die Paris aan Venus gaf tijdens een schoonheidswedstrijd, en de vallende appel die de inspiratie was van Isaac Newton.

Na de dood van zijn vader leefde János nog vier jaar in volledig isolement in Marosvásárhely. Hij werd veracht en gemeden door de plaatselijke bevolking, die wel op de hoogte was van zijn twijfelachtige militaire verleden, maar niet van zijn meesterlijke wiskundige jeugdprestatie. Pas na zijn dood kreeg hij de tijdens zijn leven zo ontbeerde wetenschappelijke erkenning, en tegenwoordig wordt hij in één adem genoemd met andere, grote wiskundigen zoals Gauss, Lobatsjevski en Riemann. Als János op 27 januari 1860 sterft volgen slechts drie of vier personen hem tot zijn graf. Het graf bleef naamloos en verzonk. In 1893 wordt het bij toeval herontdekt en van een kort opschrift voorzien: Bolyai János, 1802-1860. Zijn biograaf Stäckel, die dan ook de stad Marosvásárhely bezoekt, schrijft dat in zijn gesprekken met de bevolking nog voelbaar was hoe intens men János had gehaat.

Literatuur

L. v. Dávid: Die beiden Bolyai; Beihefte zur Zeitschrift ‘Elemente der Mathematik’ no. 11 Mai 1951, Verlag Birkhaüser Basel. D. Draaisma: János Bolyai en de absolute ruimte; in: Intermediair 17e jaargang 40, 2 oktober 1981. Martin Gardner: Mathematical Games – Euclid’s parallel postulate and its modern offspring; in: Scientific American, October 1981. K. Schaffer: Über den Geisteszustand der beiden Bolyai Vater und Sohn; Psychiatrisch-Neurologische Wochenschrift, no. 39 1936. Franz Schmidt und Paul Stäckel: Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolyai; Leipzig 1899. Paul Stäckel: Wolfgang und Johann Bolyai. Geometrische Untersuchungen; 2 vols., Leipzig 1913.