Je leest:

Is democratie wiskundig onmogelijk?

Is democratie wiskundig onmogelijk?

Bij de Britse lagerhuisverkiezingen op 5 mei 2005 won Labour 55% van de zetels met slechts 35% van de stemmen. In 2000 won Bush de Amerikaanse presidentsverkiezingen met 500.000 stemmen minder dan Gore. Bij veel referenda is het voor ‘voor’-stemmers beter om thuis te blijven dan om te gaan stemmen. Fraude? Omkoperij? Intimidatie? Nee, nog erger: simpele wiskunde.

Rare verschijnselen zoals hierboven worden in de wiskunde verkiezingsparadoxen genoemd. Door de manier waarop de verkiezingen georganiseerd zijn, kan de uitkomst van de verkiezingen anders zijn dan je zou verwachten. In het geval van Groot-Brittanië en Amerika is de oorzaak het districtenstelsel. Het is geen groot nieuws dat dit soort stelsels tot verkiezingsparadoxen kunnen leiden. Schokkender is het dat in ieder kiessysteem dit soort paradoxen kunnen voorkomen. In 1951 bewees ene Kenneth Arrow dat geen enkel kiessysteem helemaal eerlijk is. (Of meer precies: dat geen enkel kiessysteem tegelijk alle eigenschappen kan hebben die je van een eerlijk kiessysteem zou verwachten.) Dit schokkende feit was (samen met ander werk van Arrow) goed voor een Nobelprijs economie.

Small
Kenneth Arrow, mede-winnaar van de Nobelprijs voor de Economie in 1972.

Omdat er altijd wel ergens verkiezingen zijn, is het interessant om te kijken wat voor paradoxen er zoal mogelijk zijn. Dit artikel bevat een groot aantal (vereenvoudigde) voorbeelden. Ook zal ik uitleggen wat de stelling van Arrow precies zegt. Wie meer wil weten over het bewijs van deze stelling of over de kiessystemen die in de echte wereld gebruikt worden, verwijs ik naar de links onderaan dit artikel. Speciaal voor scholieren/docenten is er een verkorte versie van dit artikel beschikbaar met vragen en opdrachten.

Het gaat om het spel

Een grote fabrikant van speelgoed looft bij wijze van reclamestunt een prijs uit aan landen die ook op wereldschaal hun motto ‘samen spelen eerlijk delen’ in de praktijk brengen. Dit jaar gaat de prijs naar de Alpenstaten Liechtenstein, Oostenrijk en Zwitserland – volgens het juryrapport ‘al decennia een toonbeeld van voorspoed en harmonie in een gebied dat tot diep in de 15e eeuw het toneel was van bloedige broedertwisten’.

Als prijs krijgen alle 16 miljoen inwoners van de drie betrokken landen een aardigheidje uit het assortiment van de speelgoedreus: een knikker, een kleefhandje of een gum in de vorm van een muzieknoot. Omdat het te veel gedoe is iedereen apart te vragen welk van de drie prijzen hij wil, wordt er besloten iedereen dezelfde prijs te geven. De eerste ministers van Oostenrijk, Zwitserland en Liechtenstein komen bijeen om democratisch te beslissen welke prijs dat wordt.

Oostenrijk, de kleefhandjesmoord uit 1987 nog vers in het geheugen, stemt voor de knikker (een gum is immers zo’n saai en praktisch cadeau). Zwitserland en Liechtenstein menen echter dat in deze tijd van smartphones en ov-chipkaarten een knikker als te ouderwets zal worden gezien en stemmen daarom voor het kleefhandje (een gum is immers zo’n saai en praktisch cadeau). Met twee tegen een lijkt het kleefhandje gewonnen te hebben.

“Maar ho eens even,” roept de bondskanselier van Oostenrijk, “ik vertegenwoordig wel 8,4 miljoen mensen, tegenover slechts 7,6 miljoen mensen in Zwitserland en 36 duizend in Liechtenstein. Mijn stem zou dus 233 keer zo zwaar moeten tellen als die van Liechtenstein, en de stem van Zwitserland 211 keer zo zwaar.” Zo gezegd, zo gedaan. Er komt een nieuwe stemming waarbij de stemmen van de drie landen met de gewichten 233, 211 en 1 meetellen en met een overweldigende meerderheid van 233 tegen 212 wint de knikker.

“Leuk en aardig,” werpt de bondspresident van Zwitserland tegen, “maar op deze manier maakt het helemaal niet uit wat Liechtenstein en wij vinden, de stem van Oostenrijk is altijd doorslaggevend! Dat noem ik geen samen spelen eerlijk delen!” Omdat hij het toch wel terecht vindt dat bevolkingsomvang een rol speelt, stelt hij voor de stem van Oostenrijk 10 keer te tellen, de stem van Zwitserland 9 keer en de stem van Liechtenstein 2 keer. Met een nipte overwinning van 11 tegen 10 wint nu weer het kleefhandje.

“Hier klopt iets niet.” bromt Oostenrijk. “Het líjkt wel of onze stem zwaarder telt, maar in werkelijkheid wint het speelgoed dat twee van de drie landen achter zich krijgt, ongeacht welke twee dat zijn. We zijn dus weer terug in de situatie uit het begin toen alle stemmen nog even zwaar telden.”

In uiterste wanhoop besluiten de politici dan maar hun bevolking te raadplegen. Inderdaad stemt geen van de 8,4 miljoen Oostenrijkers voor een kleefhand en zestig procent voor de knikker, maar een verrassende veertig procent kiest voor de gum. In Zwitserland is iets vergelijkbaars aan de hand: zestig procent is het met de bondspresident eens dat de kleefhand de beste keus is, maar de overige veertig procent heeft liever een gum in de vorm van een muzieknoot. Zonder ons verder druk te maken over de handvol inwoners van Liechtenstein (of over de vraag welke van de vier manieren van stemmen het eerlijkst is) kunnen we concluderen dat bij deze manier van stemmen de gum de winnaar is.

Op zoek naar het perfecte kiessysteem

Nu we weten dat verschillende kiessystemen tot verschillende uitslagen leiden, kunnen we ons afvragen: wat is het beste kiessysteem? Bij welk kiessysteem komt de uitslag het best overeen met de meningen van de kiezers? Deze vraag is nogal moeilijk te beantwoorden, omdat ‘de mening van de kiezers’ een begrip is waarvan we niet goed weten wat het is. Iedere kiezer heeft zo zijn eigen mening.

Wat we bijvoorbeeld wel kunnen zeggen over wat er mis is met het Nederlandse kiessysteem, is dat er geen rekening wordt gehouden met wat de kiezers vinden van de partijen op wie ze niet stemmen. Als de meerderheid van de kiezers liever partij A heeft dan partij B, dan zouden we willen dat A ook meer zetels haalt dan B. Ook als een groot deel van die kiezers op partij C stemt. In het Nederlandse systeem is dit niet altijd het geval. Laten we kijken naar het volgende vereenvoudigde voorbeeld.

Een pasopgerichte politieke partij, moet een kleur kiezen. Rood, blauw en groen zijn al geclaimd, paars is ook geen optie en dus gaat de keus tussen geel, oranje en turquoise. Op het congres dat deze belangrijke beslissing moet nemen zijn 31 leden aanwezig. De voorkeuren zijn als volgt verdeeld:

Large

Net als bij de echte verkiezingen mogen de leden hun eerste keus op een briefje schrijven. De uitslag wordt dus:

1. Geel met 12 stemmen 2. Turquoise met 10 stemmen 3. Oranje met 9 stemmen

Als we echter de kleuren per twee zouden vergelijken krijgen we een heel andere uitslag: meer dan de helft van de leden (16 namelijk) heeft liever Oranje dan Turquoise, en ook meer dan de helft (ook 16) heeft liever Oranje dan Geel. Het lijkt er dus op dat Oranje veruit de populairste kleur is. Bovendien hebben 16 leden liever Turquoise dan Geel. Geel kunnen we dus wel aanmerken als de grote verliezer. Deze uitslag:

1. Oranje (Want populairder dan zowel Turquoise als Geel) 2. Turquoise (Want populairder dan Geel, maar minder populair dan Oranje) 3. Geel (Want minder populair dan zowel Oranje als Turquoise)

is echter precies tegengesteld aan de vorige. Welke is nou eerlijker?

Meeste stemmen gelden versus paarsgewijs vergelijken

‘Paarsgewijs vergelijken’, wat tot de tweede uitslag leidde, betrekt meer informatie over de meningen van de kiezers in de uitslag dan ‘de meeste stemmen gelden’ (wat leidde tot de eerste uitslag). Je zou de tweede uitslag dus eerlijker of betrouwbaarder kunnen noemen. Er is nog een andere reden om paarsgewijs vergelijken te verkiezen boven ‘de meeste stemmen gelden’, namelijk dat paarsgewijs vergelijken aan een aantal redelijke eisen voldoet, waaraan de meeste stemmen helaas niet altijd kan voldoen. De eerste eis is al besproken: als een meerderheid van de kiezers liever A dan B heeft, dan willen we dat A ook hoger eindigt dan B.

De tweede eis wordt duidelijk uit het volgende voorbeeld. Stel dat de zeven kiezers die als volgorde ‘1. Geel, 2. Oranje, 3. Turquoise’ hadden, zich op het laatste moment bedenken en besluiten dat ze Turquoise eigenlijk mooier vinden dan Oranje (maar Geel nog steeds mooier dan de andere twee). Je zou redelijkerwijs mogen verwachten dat zo’n aardverschuiving in ‘de mening van de kiezers’ van grote invloed is op de uitslag van de verkiezingen. Dit is bij de meeste stemmen gelden echter helemaal niet het geval!

Wat is met de nieuwe voorkeuren:

Large

de ‘nieuwe’ uitslag als ieder lid zijn 1e keus op een briefje schrijft? En wat is de ‘nieuwe’ uitslag bij paarsgewijs vergelijken? ‘Uw mening telt’ geldt dus meer bij paarsgewijs vergelijken dan bij ‘De meeste stemmen gelden’!

Iets meer in het algemeen is het bezwaar tegen het systeem dat in Nederland gebruikt wordt, dat het geen rekening houdt met wat de kiezers vinden van de partijen waar ze niet op stemmen, zoals we al schreven. Paarsgewijs vergelijken is niet de enige manier om hier wat aan te doen. Er zijn talloze andere kiessystemen te bedenken en bedacht die op dit punt ‘eerlijker’ lijken dan het gewone Nederlandse systeem. Ik roep van harte op zo’n systeem te bedenken.

Medium
Verkiezingen in Afghanistan. Naast de verschillende mankementen van kiesstelsels an sich, had de bevolking hier ook nog eens te maken met de dreiging van Taliban-aanslagen…

Ik heb getwijfeld over België

Er is zelfs nog een derde punt waarop paarsgewijs vergelijken beter scoort dan de meeste stemmen gelden, genaamd Onafhankelijkheid van Irrelevante Alternatieven. Bekijk het volgende voorbeeld. Een schoolklas gaat een weekje op kamp en mag kiezen uit drie bestemmingen: China, Japan en België. De meningen van de 20 leerlingen zijn als volgt verdeeld:

Large

Er wordt gestemd op de gebruikelijke manier en de uitslag is als volgt:

1. België (met 16 stemmen) 2. Japan (met 1 stem) 3. China (met 0 stemmen)

De klas besluit naar België te gaan. ’s Avonds is echter op het nieuws dat in België oorlog is uitgebroken. De ouderraad acht het niet verantwoordelijk om in deze omstandigheden naar België te gaan, en de klas kiest voor zijn (volgens de verkiezingen) tweede keus: Japan. Dit is natuurlijk niet helemaal eerlijk. Als de oorlog een dag eerder was uitgebroken en er meteen tussen alleen China en Japan gestemd was, had China overtuigend met 16 tegen 4 gewonnen.

Dit mankement van het kiessysteem nodigt natuurlijk uit tot vreselijke fraude. Stel dat de keus oorspronkelijk alleen tussen China en Japan ging. Piet voelde al aankomen dat hij vreselijk ging verliezen, en zat danig met de handen in het haar. Toen hoorde hij opeens een piepje in zijn broekzak. Zijn sms-nieuwsdienst vertelde hem als eerste en als enige over de oorlog in België die zojuist begonnen was. Prompt lanceerde hij het ‘Irrelevante Alternatief’ België als derde vakantiebestemming. Hij gaf hoog op van de goede keuken en de frisse boslucht en al zijn klasgenoten gingen voor de bijl.

België won de verkiezingen als hierboven, met als goede tweede Japan. ‘s Avonds zag iedereen het nieuws en de volgende dag besloot de klas naar Japan te gaan, in plaats van het logischer lijkende China. We zeggen dat dit de meeste stemmen gelden systeem niet ’onafhankelijk van irrelevante alternatieven’ is.

Ga na dat paarsgewijs vergelijken wel onafhankelijk van irrelevante alternatieven is, dat wil zeggen: het toevoegen en achteraf weer weghalen van een extra keuzemogelijkheid verandert niks aan de verhoudingen tussen de andere mogelijkheden.

Paarsgewijs vergelijken in de praktijk

Dit alles roept twee vragen op: ‘merken we nou ook wat van in het echt?’ en ‘als paarsgewijs vergelijken dan zoveel beter is dan de meeste stemmen gelden, waarom doen we dat dan niet?’

Het antwoord op de eerste vraag is waarschijnlijk ja. Op grond van opiniepeilingen is dit berekend voor een aantal Nederlandse Tweede-Kamerverkiezingen (zie de links onderaan het artikel). In de verkiezingen van 1994 won D66 bij paarsgewijs vergelijken van de PvdA, van het CDA en van de VVD, maar al deze partijen haalden meer zetels dan D66. Overigens zijn er in de praktijk grote verschillen tussen kamerverkiezingen enerzijds, waarbij meerdere zetels te verdelen zijn en de partijen die als tweede of derde eindigen ook nog wat te vertellen hebben en bijvoorbeeld presidentsverkiezingen anderzijds waarbij één kandidaat wint en de rest afvalt.

Alle voorbeelden in dit artikel zijn van het presidentsverkiezingen-type: steeds wordt er maar één ding (speelgoed, vakantiebestemming, kleur) gekozen. Wel houden we steeds bij wie als tweede en derde eindigen omdat de paradoxen soms juist in dit stuk van de uitslag optreden.

Dan de vraag waarom paarsgewijs vergelijken niet wordt toegepast. De reden is vrij eenvoudig: er is niet altijd een uitslag. Het probleem duikt op bij situaties als de volgende: drie kiezers (I, II en III) kiezen uit drie opties A, B en C. Hun voorkeuren zouden als volgt verdeeld kunnen zijn:

Large

Bij paarsgewijs vergelijken wint A van B met tweederde meerderheid (kiezers I en III) en wint B van C, eveneens met een indrukwekkende tweederde meerderheid (kiezers I en II). Als A zoveel populairder is dan B en B op zijn beurt weer C met de grond gelijk maakt zou je verwachten dat C geen schijn van kans maakt tegenover A. Niks is echter minder waar: als de keus tussen A en C zou gaan wint C met een ruime voorsprong. Paarsgewijs vergelijken geeft misschien het best de ‘mening van de samenleving als geheel’ weer, maar de samenleving als geheel denkt niet altijd logisch na.

We zouden natuurlijk een van de drie vergelijkingen niet kunnen houden, maar in dat geval worden de partijen niet gelijkwaardig behandeld. Als extra eis aan het perfecte kiessysteem zouden we willen toevoegen dat alle partijen of dingen waartussen gekozen moet worden, gelijk behandeld worden.

Soms zijn er gewoon maar twee mogelijkheden om uit te kiezen. In dat geval kan het probleem dat ‘de samenleving als geheel’ mogelijkheid A boven B verkiest, mogelijkheid B boven C maar mogelijkheid C boven A niet optreden en kunnen we met een gerust hart ‘paarsgewijs vergelijken’, bijvoorbeeld in een referendum. Ook hierbij kunnen vreemde verschijnselen optreden zoals uit de volgende twee voorbeelden blijkt.

Verkiezingen versus referenda

In de Gemeente Zwaanhoven zijn twee partijen: Zwaanhoven Belangen en Leefbaar Zwaanhoven. Bovendien draaien de verkiezingen geheel om drie thema’s: de bouw van een parkeergarage in een park, een fusie met de nabijgelegen gemeente Oest en de privatisering van het Zwaanhovens Vervoerbedrijf. Op al deze drie punten zijn de partijen het met elkaar oneens. Als de een voor is, is de ander tegen en andersom.

De meningen van de kiezers zijn verdeeld. Ze zijn in te delen in 4 groepen Hieronder staat aangegeven hoe deze groepen het per vraagstuk met de verschillende partijen eens zijn en hoe groot ze zijn. We gaan er vanuit dat alle kiezers de drie thema’s even belangrijk vinden. De kiezers uit groep A zijn het op twee punten (de parkeergarage en de fusie met Oest) eens met Leefbaar Zwaanhoven en slechts op een punt met Zwaanhoven Belangen. Deze kiezers stemmen dus op Leefbaar Zwaanhoven. Op dezelfde manier kiezen de andere kiezers voor de partij met wie ze het op 2 van de 3 punten eens zijn.

Large

Bij de verkiezingen wint Leefbaar Zwaanhoven met 60% van de stemmen tegen 40% voor Zwaanhoven Belangen kan dus in op alle drie de punten zijn zin doordrukken. Maar als er referenda gehouden zouden worden zou juist Zwaanhoven Belangen op alle drie de punten zijn zin krijgen (steeds met een meerderheid van 60% tegen 40%) en zou Leefbaar Zwaanhoven achter het net vissen.

Oh, was ik maar bij moeder thuisgebleven!

In de nabijgelegen gemeente Oest is de situatie een beetje anders dan in Zwaanhoven. Hier draait alles om de aanleg van een snelle metroverbinding tussen Oest-Oost en Oest-West. Het gemeentebestuur is voor, evenals 60% van de inwoners van Oest (om precies te zijn de inwoners Oest-West en Oest-Oost, ieder goed voor 30% van de bevolking). De inwoners van het oude centrum van Oest zijn tegen, omdat ze geen zin hebben in alle graafwerkzaamheden onder hun antieke dorpskern. Deze mensen vormen de overige 40% van de Oestse bevolking. (Oest-Noord bestaat geheel uit industrieterrein en Oest-Zuid bestaat om onduidelijke redenen niet.)

Het gemeentebestuur van Oest besluit een referendum over de kwestie uit te schrijven. “Zo hebben de burgers niet het gevoel dat ze niks te zeggen hebben”, redeneert het gemeentebestuur, “en bovendien hebben we niets te verliezen met 60% voorstanders.” Als de opkomst bij het referendum 50% of meer is, is het referendum bindend en zal de gemeente zich houden aan de uitslag. Als de opkomst lager is dan 50% is het referendum ongeldig en mag het gemeentebestuur doen wat ze wil, in dit geval dus de metrolijn aanleggen.

Hier zien we een mooi voorbeeld van de ‘Paradox van de thuisblijver’. Door een lokale regenbui regent het in Oest-Oost en in het oostelijke deel van Oest-centrum. De 30% voorstemmers in Oest-Oost denken “ja, zeg ik ga niet helemaal door de regen lopen voor een metrolijn die er pas in 2030 ligt” en blijven thuis. De 40% tegenstemmers in Oest-Centrum denken: “Een verkoudheid duurt misschien een week, maar die graafwerkzaamheden zullen als we niet uitkijken 25 jaar in beslag nemen”, en trotseren dus weer en wind om tegen te stemmen.

De vraag is nu wat de inwoners van het zonovergoten Oest-West moeten doen. Als rechtgeaarde democraten snellen ze natuurlijk massaal naar de stembus om hun voorstem te laten klinken, maar eigenlijk is dat niet in hun belang. Als de 30% inwoners van Oest-West vóór stemmen is het referendum rechtsgeldig met een opkomst van 70%, maar de tegenstanders winnen met 4/7 oftewel 57% van de stemmen.

Als de Oest-Westenaren daarentegen massaal waren thuisgebleven hadden ze hun zin gekregen: met een opkomst van slechts 40% hoeft het gemeentebestuur geen rekening met de uitslag van het referendum te houden, ook al is in dat geval 100% van de stemmen tegen. De voorstemmers moeten dus eigenlijk zorgen dat ze óf allemaal wel óf allemaal niet gaan stemmen Maar ja, zie maar eens met zoveel mensen tot een handige afspraak te komen…

Small
De Tweede Kamer: 150 vertegenwoordigers van de Nederlandse kiezer. Moeten we natuurlijk wel zorgen dat ze zo eerlijk mogelijk worden gekozen…

Eisen aan je kiessysteem en de stelling van Arrow

Na deze voorbeelden van hoe een kiessysteem tot een vreemde of zelf ‘oneerlijke’ uitslag kan leiden, kunnen we bekijken welke eisen we aan ons kiessysteem zouden willen opleggen, om hem maar zo eerlijk of redelijk mogelijk te maken. We zijn in de tekst tot nu toe 5 eisen tegengekomen waarvan we zouden willen dat een kiessysteem eraan voldeed:

Neutraliteit: alle partijen worden gelijk behandeld (Dit gebeurt bijvoorbeeld niet bij het referendum in Oest).

Meerderheidsprincipe: als de meerderheid partij A boven partij B verkiest moet A ook boven B eindigen (dit gebeurt niet in het voorbeeld van de kleuren).

Monotonie: als iemand van gedachten verandert en partij A hoger waardeert dan eerst, dan moet A er ook in de uitslag op vooruit gaan, of in elk geval niet op achteruitgaan (dit gebeurt niet bij het referendum in Oest: als een voorstander besluit tóch maar te gaan stemmen, kan hij daarmee juist net voorkomen dat de metro er komt).

Onafhankelijkheid van irrelevante alternatieven: toevoegen en weer verwijderen van partijen heeft geen invloed (dit ging mis in het voorbeeld van de schoolklas).

Transitiviteit: als A eindigt boven B en B boven C dan eindigt A automatisch ook boven C (dit is niet haalbaar bij paarsgewijs vergelijken).

De uitdaging is nu: kunnen we een kiessysteem bedenken dat aan alle vijf deze eisen voldoet?

Het antwoord is nee. Er zijn een hoop verschillende kiessystemen denkbaar maar uiteindelijk blijken ze elk hun eigen paradoxen hebben. Met een logische redenering kun je (met een beetje moeite) laten zien dat de eisen elkaar tegenspreken, hoe je de verkiezingen ook organiseert. Dit is op zich al een verrassend resultaat: elk voor zich klinken de eisen heel redelijk, maar samen zijn ze kennelijk te veel gevraagd.

De situatie is echter nog iets bizarder. Nu we dit weten zouden we bijvoorbeeld kunnen zeggen dat het meerderheidsprincipe en monotonie (achteraf gezien) buitensporig hoge eisen zijn. (‘Als de meerderheid partij A beter vindt dan partij B, moet A ook hoger eindigen? Wat een onzin!’.) Laten we daarom monotonie gewoon afschaffen als eis en het meerderheidsprincipe vervangen door een afgezwakte versie, de (onbetwistbaar redelijke) ‘Pareto eis’:

Als iedereen partij A boven B verkiest, moet A ook boven B eindigen in de verkiezingen.

Is er een systeem dat aan deze eis voldoet, transitief is, onafhankelijk van irrelevante alternatieven en alle partijen gelijk behandelt? Het antwoord is ja, en dit systeem heet dictatuur. Met dictatuur wordt in dit geval bedoeld dat alle kiezers een mening hebben over hoe de uitslag eruit zou moeten zien, maar deze uitslag per definitie altijd gelijk is aan de mening van één van hen, de dictator. Het is duidelijk dat dit systeem aan alle vier deze eisen voldoet.

Dit wil niet zeggen dat dictatuur wiskundig gezien het eerlijkste systeem is. We kunnen namelijk gewoon een eis aan ons idee van een eerlijk kiessysteem toevoegen, bijvoorbeeld dat alle stemmen even zwaar moeten meetellen. (Ga na dat deze eis in een districtensysteem zoals in Engeland ook niet geldt.) Wanneer we dit doen, lopen we weer tegen ons oude probleem aan: er is geen kiessysteem dat tegelijk aan al deze eisen kan voldoen. Wat in 1951 door Keneth Arrow bewezen is, is het volgende.

Er is geen systeem dat:

  • niet dictatoriaal is (niet iedereen hoeft gelijk behandeld te worden, maar je moet het niet te bont maken: minstens twee mensen moeten iets te zeggen hebben),
  • neutraal is (alle partijen worden gelijk behandeld),
  • aan de Pareto-eis voldoet (als iedereen A beter vindt dan B moet A ook beter uit de bus komen dan B),
  • transitief is (Uitslagen van het type ‘A is beter dan B die beter is dan C die beter is dan A’ mogen niet voorkomen).

Een verrassend resultaat. Elk voor zich klinken de eisen helemaal niet onredelijk maar samen blijken ze, door logisch redeneren, geen haalbare kaart te zijn. Wiskunde is soms verrassend.

En nu?

Wiskunde is soms verrassend, maar als je in de echte wereld woont en verkiezingen wilt organiseren, lijkt bovenstaande slecht nieuws. Wat moeten we doen met deze kennis? Allereerst: niet bij de pakken neerzitten! Om op de vraag uit de titel terug te komen, is democratie wiskundige onmogelijk? Nee, natuurlijk niet! Het enige wat wiskundig onmogelijk blijkt, is een soort gedroomde democratie die tegelijkertijd aan alle in de tekst beschreven eisen voldoet.

Maar met democratie is het net als met het leven zelf: als je niet alles kunt krijgen wat je wilt, moet je bedenken wat je het liefste wil en zien dat je dat krijgt. In andere woorden: bedenk welke eisen belangrijker zijn dan andere, gooi de minst belangrijke eisen weg (of zwak ze af) en probeer een systeem te bedenken dat wél aan de overgebleven eisen voldoet. Zelfs als geen enkel land of organisatie jouw stemsysteem wil gebruiken, is het nog steeds een leuke, uitdagende en leerzame puzzel.

De echte kracht van de stelling van Arrow zit in de manier van denken: in plaats van je verkiezingen te organiseren op de manier ‘waarop dat nou eenmaal altijd gaat’ kun je je ook éérst afvragen welke eigenschappen je wilt dat het stemsysteem heeft en vervolgens een stemsysteem ontwerpen dat aan dat ideaalbeeld voldoet. Het schijnt dat dat ook is wat Arrow probeerde te doen toen hij ontdekte dat zijn gewenste eigenschappen elkaar uit blijken te sluiten. Dus: kom achter de computer vandaan en bedenk het ideale stemsysteem!

Tot slot

De keus voor welke eisen je wel en niet aan je stemsysteem oplegt is natuurlijk subjectief. De meeste dictators zullen bijvoorbeeld van mening zijn dat ‘niet-dictatoriaalheid’ wel kan worden afgeschaft terwijl de meeste andere mensen juist menen dat dat de belangrijkste eis is om te behouden. Toch is er onder mensen die veel over dit soort dingen hebben nagedacht een soort consensus dat het het meest voor de hand ligt om ‘onafhankelijkheid van irrelevante alternatieven’ uit je lijstje met eisen te gooien. Enerzijds omdat afhankelijkheid van irrelevante alternatieven gevoelsmatig niet zo’n heel groot probleem is (wanneer zie je nou nog eens een echt irrelevant alternatief?) en anderzijds omdat de eis van onafhankelijkheid van irrelevante alternatieven nogal een grote rol speelt in het bewijs van de stelling van Arrow.

Daarnaast moet worden opgemerkt dat de in de tekst genoemde eisen die je aan een kiessysteem kunt stellen niet de enige zijn die je kunt verzinnen. De beschreven eisen hebben allemaal betrekking op de vraag: hoe vertaal je de menig van de kiezers zo betrouwbaar mogelijk naar de uitslag van de verkiezingen? Er zijn ook andersoortige eisen denkbaar, die bijvoorbeeld te maken hebben met wat er vervolgens met die uitslag gebeurt (je kan je voorstellen dat je aan een presidentsverkiezing andere eisen stelt dan aan een parlementsverkiezing) of met aardrijkskunde. In verschillende landen en werelddelen geldt bijvoorbeeld de eis dat de kiezer alleen kan stemmen op mensen/partijen die in hetzelfde kiesdistrict/staat/land wonen als hij. Als een meerderheid (of een slim over de kiesdistricten verdeelde minderheid) vindt dat dit belangrijker is dan bijvoorbeeld het meerderheidsprincipe, dan is dat ook zo.

Voor wie meer wil lezen

Meer leuke voorbeelden van verkiezingsparadoxen (en een hoop andere leuke wiskunde) is te lezen in De wraak van Archimedes (Archimedes’ revenge) van Paul Hoffman. Nog veel en veel meer informatie over verkiezingsparadoxen met wiskundige achtergronden en voorbeelden uit de ‘echte’ politiek is te vinden in Verkiezingen, een web van paradoxen door H. de Swart, A van Deemen, E van der Hout en P. Klop, deel 8 uit de Zebrareeks van Epsilon Uitgaven. Verkiezingsparadoxen bij echte Nederlandse verkiezingen zijn te vinden in het artikel ‘Emperical evidence of paradoxes of voting in Dutch elections’, door A. van Deemen en N. Vergunst, in Public Choice, 97, blz 475-490, 1998. Keneth Arrow beschreef zijn stelling in zijn boek Social Choice and Individual Values uit 1951.

Links

Met dank aan Thomas Colignatus, Tristan Cranendonk, Jeroen Sijsling, Arjen Stolk en anderen dankzij wiens reacties op eerdere versies van dit artikel mijn inzicht in deze materie aanzienlijk verscherpt is.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 16 juni 2005

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE