Je staat in de finale van een spelshow. Je wordt meegenomen naar een wand met drie gesloten deuren. Achter één van de deuren staat een prachtige auto, achter de andere twee deuren staat niets. De quizmaster vraagt je voor een van de deuren te gaan staan. Om de spanning op te voeren, opent de quizmaster, die weet achter welke deur de auto staat, een van de twee overgebleven deuren waarachter niets staat. Vervolgens geeft de quizmaster jou de mogelijkheid om over te lopen naar de andere dichte deur. Wat doe je: verander je van keus of blijf je staan?
Een rijke geschiedenis
In de wiskunde zijn weinig problemen die zoveel stof hebben doen opwaaien als deze vraag. In het Amerikaanse tijdschrift Parade Magazine van 9 september 1990 schreef Marilyn Vos Savant erover in haar column ‘Ask Marilyn’. Zij schreef dat de kans om de auto te winnen twee keer zo groot is als de kandidaat wisselt van deur. Haar redenering is schematisch weergegeven in figuur 1.
Vos Savant, die in het Guinness Book of Records wordt vermeld als de vrouw met het hoogste IQ: 228, maakte met haar redenering een storm van protest los. Bij de redactie van Parade Magazine kwam de ene brief na de andere binnen, onder andere van hoogleraren wiskunde. De meest lezenswaardige brieven werden geplaatst in volgende nummers van Parade Magazine. Het merendeel van de brievenschrijvers was van mening dat wisselen van deur niets uithaalt: blijven staan voor je eerste keus of wisselen van deur zouden allebei kans 1/2 hebben op het winnen van de auto. Lezers maakten Vos Savant uit voor stommeling en stelden dat het er niets toe deed of de kandidaat zou wisselen van deur. “Maybe women look at math problems differently than men,” was een van de reacties.
Al voordat Marilyn Vos Savant het probleem in haar column beschreef, werd dezelfde vraag in een andere context aan de orde gesteld in Martin Gardners column van het oktobernummer van Scientific American in 1959. In 1975 schreef Steven Stelvin erover in The American Statistician, naar aanleiding van het spelprogramma Let’s make a deal dat toentertijd op de Amerikaanse televisie was te zien. In dat programma waren de drie deuren een vast spelonderdeel. Het probleem wordt wel het ‘Monty-Hall-problem’ genoemd, naar de presentator van deze spelshow. In Nederland spreek men ook wel van het ‘drie-deuren-probleem’.
Pas nadat Marilyn Vos Savant het Monty-Hall-problem aan de orde stelde, kreeg het probleem grote bekendheid. Op 21 juli 1991 kopte The New York Times op de voorpagina met ‘Behind Monty Hall’s doors: Puzzle, debate and answer?’. The American Statistician besteedde er in 1991 opnieuw aandacht aan. In de jaren die volgden verschenen regelmatig artikelen over het Monty-Hall-problem. Niet alleen in populair-wetenschappelijke bladen bedoeld voor een breed publiek, maar ook in serieuze wiskundetijdschriften.
Het drie-deuren-probleem in Nederland
Ook in Nederland was het probleem met de drie deuren op de televisie te zien en wel in de Willem Ruis Show die in de jaren 1980 werd uitgezonden. Toen NRC Handelsblad op 18 mei 1995 een artikel wijdde aan het drie-deuren-probleem, riep dat, net als vijf jaar daarvoor in Amerika, een golf van reacties op. Naast verontrustende telefoontjes en e-mails ontving de redactie zo’n 150 brieven – van zeer knappe inzendingen tot bekentenissen van mensen die er niets meer van snapten.
“U hebt mij met uw artikel vannacht uit de slaap gehouden. […] “In tegenstelling tot wat u Marilyn Vos Savant laat beweren doet het er niets toe of je voor deur no. 1 of deur no. 2 staat. De kans op de prijs is 50%. Het is dus onzin onverwijld de andere nog ongeopende deur te kiezen.”
“Ik meen dat zij [Vos Savant] in haar kansrekening met de drie deuren een evidente denkfout maakt. […] zij realiseert zich niet, dat wanneer de quizmaster een deur heeft geopend waarachter het cadeau niet te voorschijn komt, een geheel nieuwe situatie ontstaat. Er is geen enkele reden om aan te nemen dat de 2/3 kans van die twee deuren dan naar de overgebleven ene deur gaat. Er zijn op dat moment nog slechts twee alternatieven over met precies gelijke kansen.”
“De op Marilyn toegepaste intelligentietest zal waarschijnlijk enkele kapitale blunders bevatten.”
Deze citaten komen uit NRC Handelsblad van 1 juni 1995. Toen werd een hele pagina ingeruimd voor lezersbrieven, waarna de redactie opnieuw werd overdonderd door een stortvloed aan reacties. Een week later plaatste de krant weer een aantal brieven, met daarbij de mededeling “Stop, stop, stop met brieven sturen. Het onbegrip tussen het gezond verstand en de wiskundigen is kennelijk onoverbrugbaar.”
Wisselen, waarom zou je?
Sommige mensen vinden wisselen van deur onnodig op grond van een – foutieve – redenering, zoals de volgende. “Het eerste geval is: de prijs staat achter deur A – een enkelvoudig gedefinieerde mogelijkheid. De beide andere gevallen zijn: de prijs staat achter deur B/C en de quizmaster opent deur C/B – op twee kenmerken gedefinieerde mogelijkheden. Voor de gelijkwaardigheid is vereist dat de eerste mogelijkheid op dezelfde wijze gedefinieerd wordt: de prijs staat achter deur A en de quizmaster opent deur B, danwel deur C. Die eerste mogelijkheid […] bestaat dus uit twee mogelijkheden die gelijkwaardig zijn aan beide andere mogelijkheden. Er zijn dus vier gelijkwaardige mogelijkheden waarvan bij twee wisselen tot winst leidt en bij twee blijven staan. En zo blijkt dat blijven staan wel degelijk even veel kans geeft als wisselen.”
Dit is een citaat uit een van de brieven uit NRC Handelsblad van 8 juni 1995. De fout die de briefschrijver maakt, is dat hij gelijke kansen toekent aan de verschillende mogelijkheden. In figuur 1 zijn inderdaad vier paden te onderscheiden: scenario 1 valt nadat de kandidaat zijn eerste keus heeft gemaakt uiteen in scenario 1a en scenario 1b. De vier paden hebben echter geen gelijke kans. Scenario 1a en 1b hebben elk kans 1/3 × 1/2 = 1/6 (nadat de kandidaat zijn keus voor deur A heeft gemaakt, opent de presentator met kans 1/2 deur B en met kans 1/2 deur C), terwijl scenario 2 en 3 elk kans 1/3 hebben (nadat de kandidaat zijn eerste keus heeft gemaakt, ligt het spelverloop vast). De kans op scenario 1 is dus 1/6 + 1/6 = 1/3 en de kans op scenario 2 of 3 is 1/3 + 1/3 = 2/3.
Ook psychologische aspecten spelen een rol bij de vraag of je moet wisselen van deur. ‘De eerste keus is meestal de beste’ of ‘wisselen van deur en niet winnen is érger dan niet wisselen terwijl dat wel had gemoeten’ zijn voor sommige mensen goede redenen om niet van deur te wisselen.
Voorkennis van de quizmaster
In de formulering van het drie-deuren-probleem wordt expliciet vermeld dat de quizmaster weet achter welke deur de auto staat. De quizmaster handelt dus met voorkennis: van de twee overgebleven deuren opent hij bewust een deur waarachter niets staat. Voor de strategie die de kandidaat volgt, is dit een belangrijk gegeven. Stel dat de quizmaster geen idee heeft achter welke deur de auto staat en op goed geluk een van de overgebleven deuren opent. Als hij een deur opent waarachter niets staat, geeft deze informatie dan eveneens een verdubbeling van de winstkans als de kandidaat wisselt van deur? Uit figuur 2 blijkt dat dat niet zo is.
In figuur 2 zijn er zes mogelijke spelverlopen.
Ten eerste kan het spel voortijdig worden beëindigd (scenario 2a en 3a in figuur 2). Dat gebeurt wanneer de kandidaat voor een deur zonder prijs gaat staan en de presentator de deur opent waarachter de auto staat. De spelregels zeggen dat de kandidaat alléén naar de overgebleven gesloten deur mag overlopen. Zowel wisselen van deur als blijven staan achter de deur van de eerste keuze heeft natuurlijk geen zin: het spel is al afgelopen.
In het tweede scenario dat mogelijk is, staat de kandidaat voor een deur zonder prijs en opent de presentator de andere deur zonder prijs. Als de kandidaat daarna wisselt van deur, wint hij de auto (scenario 2b en 3b in figuur 2).
Ten slotte kan het gebeuren dat de kandidaat voor de deur met de auto gaat staan. De presentator opent vervolgens een deur waarachter niets staat. Als de kandidaat wisselt van deur, gaat de auto aan zijn neus voorbij (scenario 1a en 1b in figuur 2).
Deze drie scenario’s zijn even waarschijnlijk, elk heeft kans 1/3 × 1/2 + 1/3 × 1/2 = 1/3. Opent de presentator na de eerste keus van de kandidaat een deur en blijkt dat daar niets achter staat, dan is dat toevallig en is het om het even of de kandidaat wisselt van deur. Op dat moment is de kans 1/2 om de auto te winnen als hij gewoon blijft staan waar hij staat.
Veronderstellingen
Het feit dat de quizmaster weet welke deur winnend is, is van belang voor de berekening van de winstkans. In de formulering van het probleem wordt dit daarom expliciet vermeld. De vraag is of de kandidaat weet of de quizmaster weet waar de auto staat. Als er al een hele serie afleveringen achter de rug is, kan de kandidaat – mits hij elke keer heeft gekeken – op grond daarvan een conclusie trekken. Opent de quizmaster keer op keer een deur waarachter niets staat, dan mag de kandidaat gevoeglijk aannemen dat de quizmaster met voorkennis handelt.
Bij de berekening van de winstkans worden ook andere aannames gemaakt. Een van die aannames is dat de auto niet wordt verreden nadat de presentator een deur heeft geopend. Hoewel dit een evidente zaak lijkt, is het voor het wiskundig model van cruciaal belang: als de auto tussentijds misschien wordt verplaatst, leidt wisselen van deur niet tot een verdubbeling van de winstkans.
Een andere gemaakte veronderstelling is dat de auto willekeurig achter één van de drie deuren wordt geplaatst. Als de kandidaat geen historische gegevens heeft kunnen verzamelen, is er geen reden om niet elke deur kans 1/3 op het winnen van de auto te geven. Als uit informatie van eerdere afleveringen blijkt dat de auto in 35% van de gevallen achter deur A staat, in 25% van de gevallen achter deur B en in 40% van de gevallen achter deur C, kan hij bij de bepaling van zijn strategie – wisselen of niet – de drie deuren kans 0,35, 0,25 respectievelijk 0,4 op het winnen van de auto geven. Ook dit is van belang om te bepalen welke strategie voor de kandidaat het gunstigst is.
Internet, tijdschriften en boeken
Op het internet zijn talloze websites over het drie-deuren-probleem te vinden. Dat blijkt als je met Google zoekt op “monty-hall-problem” of “drie-deuren-probleem”. De officiële Let’s Make a Deal-website en andere interessante pagina’s staan hieronder bij de links. Ook zijn er applets van het drie-deuren-probleem, zodat je het spel kunt simuleren.
In tijdschriften werd het probleem onder meer aan de orde gesteld in Parade Magazine (9 september 1990, 2 december 1990, 17 februari 1991), Scientific American (oktober 1959), The American Statistician (februari 1975, augustus 1975, november 1991), The College Mathematics Journal (maart 1993), The American Mathematical Monthly (januari 1992), Mathematical Scientist (nr. 17, 1992) en Journal of Recreational Mathematics (vol. 27(1), 1995).
Ook in boeken kun je meer over het probleem lezen. In november 2004 verscheen The Monty Hall Problem & Other Puzzles van Ivan Moscovich. In 2003 won Mark Haddon de ‘Whitbread Book of the Year’-onderscheiding voor zijn boek The curious incident of the dog in the night-time. Het is een van de belangrijkste prijzen die in Groot-Brittannië worden toegekend aan jeugdliteraire werken. In dit boek, dat in het Nederlands is vertaald onder de titel Het wonderbaarlijke voorval met de hond in de nacht, wordt een heel hoofdstuk besteed aan het drie-deuren-probleem, inclusief citaten uit Parade Magazine van brievenschrijvers die het oneens waren met Marilyn Vos Savant.