Het vermoeden van Hodge

René Descartes.

Wikimedia Commons

Al eeuwenlang bestuderen wiskundigen allerlei objecten: tweedimensionale en driedimensionale vormen, maar ook hogerdimensionale vormen waarvan we ons geen voorstelling kunnen maken.

In 1637 was er een wiskundige die de vertrouwde objecten in twee en drie dimensies abstraheerde. Deze wiskundige was René Descartes. Hij zei dat meetkunde in feite hetzelfde is als algebra.

Descartes bedoelde daarmee dat je meetkundige dingen zoals een lijn, een cirkel of een bol algebraïsch kunt beschrijven. Descartes voerde een coördinatensysteem in dat tegenwoordig naar hem vernoemd is: het cartesisch coördinatenstelsel. Dat is niks anders dan het vertrouwde assenstelsel zoals elke middelbare scholier heeft geleerd, met horizontaal de x-as en verticaal de y-as.

Descartes zag een lijn als een verzameling punten in zo’n assenstelsel. De lijn door de punten (0, 2) en (2, 6) zijn alle punten (x, y) die voldoen aan y = 2x + 2, et voilà: daar is de lijn algebraïsch beschreven. Elke lijn kan met algebra worden geschreven als de verzameling oplossingen van een vergelijking die de vorm y = ax + b heeft. En een cirkel kun je ook algebraïsch beschrijven: bijvoorbeeld de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1 is de verzameling van oplossingen van x² + y² = 1.

De Franse wiskundige René Descartes wordt gezien als de grondlegger van de analytische meetkunde. De meetkundige vormen die in rood zijn weergegeven in bovenstaande assenstelsels, zijn analytisch als volgt te beschrijven: y = x² (parabool), x² + y² = 1 (cirkel) en d = √(x² + y² + z²) (afstand tot oorsprong).

Alex van den Brandhof

In drie dimensies krijgt het cartesisch coördinatenstelsel er een z-as bij. Een bol met middelpunt (0, 0, 0) en straal 1 kun je dan algebraïsch beschrijven als oplossingen van x² + y² + z² = 1. Deze vergelijking in drie variabelen definieert de zogeheten 2-sfeer: het oppervlak van een bol in onze driedimensionale wereld. Wat een 3-sfeer is, kun je lezen in het onderstaande kader.

Wat is een 3-sfeer?

De 1-sfeer is hetzelfde als de cirkel; de cirkel is de rand van de cirkelschijf. De 2-sfeer is het oppervlak van een (driedimensionale) bol. In feite kun je de 1-sfeer ook opvatten als een rechte lijn, die naar links en naar rechts oneindig ver doorloopt, met ‘in het oneindige’ een extra toegevoegd punt. Je kunt je dat voorstellen als je kijkt naar het bovenste plaatje in onderstaande figuur. Stel dat zich in het bovenste punt van de cirkel (N) een lichtbron bevindt. Elk punt van de cirkel heeft een schaduw op de lijn. Er is één uitzondering en dat is het punt N zelf. Het extra toegevoegde punt aan de lijn correspondeert met punt N op de cirkel. Dat toegevoegde punt is als het ware het punt dat de lijn sluit tot een cirkel.

Op dezelfde manier kun je de 2-sfeer opvatten als een vlak, dat naar links en naar rechts, en naar voor en naar achter oneindig ver doorloopt. Maar ook daaraan moet één punt worden toegevoegd. Dat kun je weer snappen met het onderste plaatje hiernaast. In de ‘noordpool’ N van de bol bevindt zich een lichtbron. Elk punt van het boloppervlak heeft een schaduw in het vlak, behalve punt N zelf en dat verklaart het extra toegevoegde punt.

Nu is het niet meer zo moeilijk om een idee te krijgen van de 3-sfeer: dat is onze volledige driedimensionale ruimte (die naar links, rechts, voor, achter, boven en beneden oneindig ver doorloopt), met daaraan toegevoegd een ietwat mysterieus punt ‘ergens in het oneindige’.

In het algemeen definieert een vergelijking in n variabelen een zogeheten hyperoppervlak in n – 1 dimensies. Als je een stelsel van k vergelijkingen (in n variabelen) hebt, dan is de oplossingsverzameling van dit stelsel precies de doorsnede van de k hypervlakken. De dimensie van die doorsnede is ten minste n – k. Dat is allemaal erg abstract, maar dat is nu juist de kracht van algebra: de meetkunde heeft zijn beperkingen omdat je je bij tiendimensionale bollen niets kunt voorstellen, maar de algebra functioneert in tien dimensies in wezen hetzelfde als in drie dimensies.

Variëteiten

Alle vormen die je algebraïsch kunt beschrijven, heten met een sjiek woord ‘variëteiten’, in het Engels: manifolds. Er zijn twee groepen wiskundigen die variëteiten elk op hun eigen manier bestuderen. De eerste groep bestaat uit de topologen. Zij classificeren variëteiten volgens bepaalde ‘invariante eigenschappen’; een invariant is een ‘onveranderd blijvende grootheid’.

Om te begrijpen wat dat betekent, doen we een smakelijk gedachte-experiment: met glazuur tekenen we vormen op donuts. Op de foto hieronder is links een driehoek getekend op de donut en in het midden een cirkel. Een topoloog ziet in feite het verschil tussen deze twee niet. De driehoek kun je vervormen tot de cirkel zonder dat je de donut kapot hoeft te maken. Alle vormen die op een ‘gladde’ manier in elkaar zijn over te voeren, zitten in dezelfde klasse. Wiskundigen zeggen ook wel: al die vormen hebben dezelfde homologie (net zoiets als de Eulerkarakteristiek, iets wat ook voor niet-wiskundigen goed te snappen is).

Een torus is het oppervlak van een donut. Op een torus kun je verschillende vormen tekenen. De driehoek (links) en de cirkel (midden) hebben dezelfde homologieklasse. De cirkel die door het gat van de donus gaat (rechts) zit in een andere homologieklasse, want de cirkel op de middelste torus en de cirkel op de rechter torus zijn niet in elkaar over te voeren zonder de donut kapot te maken.

Alex van den Brandhof

Geheel rechts is opnieuw een cirkel getekend, maar deze cirkel gaat – in tegenstelling tot de cirkel op de middelste donut – door het gat van de donut. In de topologie is dat een belangrijk verschil. Vormen die door het gat van de donut gaan, vormen een aparte klasse. Je kunt de cirkel op de middelste donut niet vervormen tot de cirkel op de rechter donut, zonder de donut geweld aan te doen. De glazuurcirkel op de rechter donut heeft een andere homologieklasse dan de glazuurtekeningen op de eerste twee donuts.

De tweede groep wiskundigen zijn de algebraïci. Zij beginnen met de verzameling van oplossingen van een zekere vergelijking. Die verzameling beschrijft een zekere variëteit. Algebraïci delen variëteiten niet in op grond van de vorm van objecten, maar op grond van vergelijkingen.

Net als Descartes deed in de zeventiende eeuw, komen hier de topologie en de algebra bij elkaar. Wat de topologen met vormen doen, is in feite hetzelfde als wat de algebraïci met vergelijkingen doen. Het probleem is alleen: als je op een hogerdimensionale variëteit een bizarre, niet voor te stellen vorm tekent, hoe weet je dan zeker dat je die dan zodanig kunt vervormen zodat hij mooi algebraïsch te beschrijven is? Met andere woorden: hoe kun je weten dat van alle vormen op een variëteit die dezelfde homologie hebben, er ten minste één is die algebraïsch te beschrijven is?

William Hodge.

De Schotse wiskundige William Hodge (1903-1975) had hier diepgaande ideeën over. Rond 1950 vond hij een manier waarmee je kon bepalen welke homologieklassen op een gegeven variëteit equivalent zijn met een zogeheten algebraïsche cykel.

Wat dat precies betekent, en wat die manier is, laat zich niet eenvoudig beschrijven. Dat het om uiterst ingewikkelde materie gaat, blijkt wel uit het feit dat Hodge zélf een fout maakte in zijn formulering.

Die fout werd opgemerkt door Alexandre Grothendieck. In 1969 schreef deze Franse wiskundige een artikel met de dramatische titel ’Hodge’s General Conjecture is False for Trivial Reasons’ (“Het algemene vermoeden van Hodge is fout om triviale redenen”). Grothendieck paste de formulering van Hodge aan.

Stand van zaken

Of het vermoeden wáár is, is een vraag waar tot op de dag van vandaag niemand een antwoord op heeft weten te geven. Het is eigenlijk al decennialang stil op het gebied van het Hodge-vermoeden. Dat betekent niet dat geen enkele wiskundige zich met deze materie bezighoudt, het zegt vooral iets over het feit dat het Hodge-vermoeden tot de allermoeilijkste open problemen hoort die er zijn.

Op de website arXiv zetten veel wiskundigen hun nog niet geaccepteerde publicaties. Ook een bewijs- of weerlegpoging van het Hodge-vermoeden komen we daar wel eens tegen, maar die krijgen van serieuze wiskundigen doorgaans weinig aandacht: vaak is na een paar minuten bladeren al duidelijk dat die ‘oplossingen’ niet serieus te nemen zijn. De laatste bewijspoging is van 9 mei 2010. In januari 2011 verscheen a note on the Hodge conjecture: een aanzet tot het weerleggen van het Hodge-vermoeden.

Is er de laatste decennia dan helemaal geen vooruitgang geboekt? Jawel: het Hodge-vermoeden hangt vast in een heel wiskundig bouwwerk van resultaten, theorieën en vermoedens. Zo is het Hodge-vermoeden bijvoorbeeld een belangrijke schakel is in de zogeheten theorie der Motieven. Juist die theorie is enorm aan het bloeien, met onder andere een Fieldsmedaille voor Vladimir Voevodsky in 2002. In die zin is de vooruitgang beslist indrukwekkend geweest.

Wie het lukt om het Hodge-vermoeden te bewijzen of te weerleggen, is een miljoen dollar rijker. Het prijzengeld is beschikbaar gesteld door het Clay Mathematics Institute.

Zie ook:

Oeps: Onbekende tag `feed’ met attributen {"url"=>"https://www.nemokennislink.nl/kernwoorden/millenniumprobleem.atom", “max”=>"10", “detail”=>"minder"}