Sommige geheimen van de getaltheorie kunnen worden ontraadseld met behulp van zogeheten elliptische krommen. Een spectaculair voorbeeld is het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat, dat in de jaren negentig van de vorige eeuw door de Brit Andrew Wiles (1953) werd gegeven en daarmee de voorpagina’s van alle toonaangevende kranten ter wereld haalde.
Fermats Laatste Stelling zegt dat de vergelijking an + bn = cn voor gehele getallen a, b en c (ongelijk aan 0) en n groter dan 2 geen oplossingen heeft.
In 1984 – Fermats probleem was toen dus nog onopgelost – liet de Duitser Gerhard Frey (1944) zien dat de Fermatvergelijking nauw verbonden is met elliptische krommen, objecten uit de algebraïsche meetkunde. Frey had sterke aanwijzingen om te vermoeden dat uit elke hypothetische oplossing (a, b, c, n) van de Fermatvergelijking een elliptische kromme gemaakt kan worden die niet modulair is. Maar reeds sinds 1957 werd vermoed dat dat onmogelijk is: het vermoeden van Taniyama en Shimura zegt dat élke elliptische kromme modulair is.
De Laatste Stelling van Fermat werd aanvankelijk gezien als een geïsoleerd probleem in de wiskunde, maar nu was er plotseling een verband gelegd met een veel algemenere aanpak. Ken Ribet en Jean-Pierre Serre bewezen dat Frey inderdaad gelijk had: uit het vermoeden van Taniyama en Shimura volgt Fermats Laatste Stelling. Andrew Wiles droomde er als jongen al van om ooit Fermats stelling te bewijzen. Toen hij over het bewijs van Ribet en Serre hoorde, kwamen zijn jongensdroom en zijn kennis van modulaire vormen en elliptische krommen – daarover ging zijn promotie-onderzoek – bij elkaar.
In 1993 kondigde Wiles aan dat hij het geval van het vermoeden van Taniyama en Shimura dat hij nodig had om af te rekenen met Fermats Laatste Stelling, had bewezen. Er bleek toen nog een gat in het bewijs te zitten, maar dat wist hij samen met Richard Taylor (1962) een jaar later alsnog te dichten.
Congruente getallen
Een ander voorbeeld waarin getaltheorie en algebraïsche meetkunde samenkomen, is de vraag hoe je kunt vaststellen of een getal congruent is. Congruente getallen zijn gehele getallen die de oppervlakte kunnen zijn van rechthoekige driehoeken waarvan de lengtes van de drie zijden rationale getallen zijn. De kleinste congruente getallen zijn 5, 6 en 7; de bijbehorende driehoeken zie je hiernaast.
In dezelfde periode waarin Frey het verband tussen de Fermatvergelijking en elliptische krommen legde, deed de Amerikaanse wiskundige Jerrold Tunnell iets soortgelijks: hij koppelde de theorie over congruente getallen aan elliptische krommen. Hij vond een criterium waarmee je kunt bepalen of een gegeven getal al dan niet congruent is. Het probleem is echter dat de waarheid van dat criterium afhangt van een nog onopgelost probleem in de wiskunde: het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer.
Elliptische krommen zijn geen ellipsen
Elliptische krommen zijn een onderdeel van de algebraïsche meetkunde en danken hun naam aan hun relatie met elliptische integralen. Elliptische functies werden ontdekt als de inverse functies van elliptische integralen. Elliptische krommen zijn geparametriseerde elliptische functies. Waarom hebben al deze begrippen het bijvoeglijk naamwoord ‘elliptisch’? Omdat met behulp van elliptische integralen de lengte van planeetbanen kan worden berekend. En planeetbanen, díe hebben de vorm van een ellips.
Elliptische krommen
Een elliptische kromme is een vergelijking van de vorm y2 = x3 + ax + b. Hierbij zijn x en y variabelen, terwijl a en b gegeven, gehele getallen zijn. Bovendien eist men dat 4a3 + 27b2 ongelijk aan 0 is, om zogeheten singulariteiten uit te sluiten. Hieronder zie je vijf elliptische krommen.
Oneindig hoog op de y-as bevat elke elliptische kromme nóg een punt, dat met O wordt genoteerd. Het linkerplaatje geeft een indruk van dit ietwat mysterieuze extra punt.
Een van de wonderlijke eigenschappen van een elliptische kromme is dat je twee punten op de kromme kunt ‘optellen’. Hieronder zie je tweemaal de elliptische kromme y2 = x3 – x. In het linker plaatje zijn twee punten P en Q op de kromme gekozen. Een rechte lijn door P en Q snijdt deze kromme, zoals we kunnen bewijzen, in een derde punt. Dit snijpunt spiegelen we in de x-as en het resulterende punt noemen we de som P + Q.
Ook kun je een punt P bij zichzelf optellen. Om P + P (= 2P) te berekenen, teken je de raaklijn aan de elliptische kromme in het punt P. Deze raaklijn snijdt de kromme in een ander punt en de spiegeling van dat punt in de x-as is dan 2P, zie het rechter plaatje.
Met deze definitie van P + Q en van P + P kunnen wiskundigen goed uit de voeten, vanwege een aantal mooie eigenschappen. Als we bijvoorbeeld vanuit P een lijn naar O tekenen, dan moeten we wel een verticale lijn door P tekenen. Deze verticale lijn snijdt de kromme in een uniek punt. Om de som P + O te krijgen, moeten we dit punt nog spiegelen in de x-as. We zien dat P + O = P, ofwel: O is een soort ‘nulelement’ (ook wel neutraal element geheten) voor de optelling. Ook geldt dat P + Q = Q + P en (P + Q) + R = P + (Q + R). Hoewel het optellen van punten op een elliptische kromme iets heel anders is dan het optellen van natuurlijke getallen, zijn de eigenschappen van beide ‘optelwetten’ hetzelfde. Wiskundigen zeggen nu dat de punten op een elliptische krommen een (abelse) groep vormen.
Rationale punten
Wiskundigen die zich met elliptische kromme bezighouden, vragen zich af hoeveel rationale punten – dat will zeggen: punten waarvan beide coördinaten rationale getallen oftewel breuken zijn – een elliptische kromme heeft. Hoewel een vergelijking van de vorm y2 = x3 + ax + b er betrekkelijk overzichtelijk uitziet, is het aantal rationale punten in veel gevallen moeilijk te berekenen.
Met behulp van onze optelwet kunnen we uitgaande van een rationaal punt op een elliptische kromme een nieuw rationaal punt op de kromme vinden. Bijvoorbeeld het punt P = (1, 2) ligt op y2 = x3 – 5x + 8. Bereken nu 2P = P + P = (-7/4, -27/8). En 3P = P + P + P = (553/121, -11950/1331). En op dezelfde manier 4P = (45313/11664, 8655103/1259712).
De Amerikaanse wiskundige Louis Mordell (1888-1972) bewees in 1922 dat alle rationale punten van een elliptische kromme worden verkregen door een eindig aantal (zeg k) basispunten P1, P2, P3, …, Pk. Dat wil zeggen dat elk punt geschreven kan worden als de som van een aantal van die basispunten (bijvoorbeeld P1 + P3 + P3 + P8 + P17 = P1 + 2P3 + P8 + P17).
Als we bij een basispunt P zichzelf optellen (en daarmee 2P krijgen), daar vervolgens nogmaals P bij optellen (dan krijgen we 3P), en dan nog een keer, en nog eens en nog eens, dan ontstaat de rij P, 2P, 3P, 4P, 5P, … Ergens in deze rij zou eventueel het nulelement O kunnen opduiken. En dan begint de rij weer van voren af aan, omdat O + P = P. Een basispunt waarvoor dat geldt (dus waarvoor nP = P voor een zekere gehele waarde van n groter dan 1) heet ‘van eindige orde’. Als élk basiselement van eindige orde is, dan bevat de elliptische kromme slechts eindig veel rationale punten.
Een voorbeeld van een elliptische kromme met eindig veel rationale punten is y2 = x3 – x; deze bevat slechts drie rationale punten, namelijk (0, 0), (1, 0) en (-1, 0). En y2 = x3 – 2 is een voorbeeld van een elliptische kromme met oneindig veel rationale punten, zie het onderstaande kader.
De formule van Bachet
Elliptische krommen waarvan de parameter a gelijk is aan 0 hebben de vorm y2 = x3 + b. Al in 1621 bewees Claude Gaspar Bachet dat dit speciale type kromme voor diverse waarden van b oneindig veel rationale punten bevat. Bachets stelling zegt dat áls (x, y) een oplossing is van y2 = x3 + b, het punt ((x4 – 8bx)/(4y2), (-x6 – 20bx3 + 8b2)/(8y3)) óók een oplossing is. Dat betekent, dat als je één oplossing weet, je een volgende oplossing kunt vinden door de waarden van die ene oplossing in te vullen in deze formule. Deze nieuwe oplossing kun je op zijn beurt weer gebruiken om een volgende oplossing te vinden, enzovoorts.
Neem bijvoorbeeld het geval waarbij b = -2, dus y2 = x3 – 2. Met een beetje proberen vind je al gauw de oplossing (3, 5). Met de formule van Bachet vind je (129/100, 383/1000) als volgende oplossing. En (2340922881/58675600, 113259286337279/(76603)) vind je als daaropvolgende oplossing. Zo kun je eindeloos doorgaan.
Je ziet: de oplossingen zien er al gauw ingewikkeld uit, maar het is duidelijk, dat de getallen altijd rationaal blijven.
Het aantal basispunten van oneindige orde heet de rang van de elliptische kromme. De stelling van Mordell zegt dus dat een elliptische kromme eindig veel rationale punten heeft indien de rang gelijk is aan nul, en oneindig veel indien de rang groter is dan nul. Bijvoorbeeld de elliptische kromme y2 = x3 – 4 heeft rang 1: alleen met het basispunt (2, 2) worden oneindig veel rationale punten op deze kromme vastgelegd.
L-functies
Om de vraag of een elliptische kromme eindig danwel oneindig veel rationale punten bevat te beantwoorden, moet dus worden vastgesteld of de rang van de kromme nul danwel positief is. En daarvoor geeft het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer, kortweg BSD-vermoeden, een criterium.
In de jaren zestig van de vorige eeuw voerden de Britse wiskundigen Bryan Birch (1931) en Peter Swinnerton-Dyer (1927) een omvangrijk, door de computer ondersteund, onderzoek uit. Zij kwamen op het idee om het aantal rationale punten op een elliptische kromme in verband te brengen met het gedrag van zogeheten L-functies. L-functies werden in de negentiende eeuw geïntroduceerd door Gustav Lejeune Dirichlet. Het abstractieniveau van dergelijke functies is zeer hoog; voor dit verhaal volstaat het om te weten dat bij elke elliptische kromme E een L-functie hoort die we noteren met LE.
Elliptische krommen toegepast
Elliptische krommen zijn niet alleen onderwerp van zuiver wiskundig onderzoek. Ook in de dagelijkse werkelijkheid heeft iedereen, zij het onbewust, met elliptische krommen te maken: elke mobiele telefoon bevat namelijk een elliptische kromme en een punt P op deze kromme. Concreet betekent dit dat er een paar getallen in een chip gebrand zijn. Dankzij die elliptische kromme kan niemand anders op jouw kosten bellen. Lees er meer over in het artikel De elliptische kromme in je telefoon. Ook bij bijvoorbeeld internetbetalingen worden elliptische krommen gebruikt.
Het BSD-vermoeden zegt dat de functie LE uitsluitsel geeft over het aantal rationale punten van E: eindig of oneindig. Voor alle door Birch en Swinnerton-Dyer onderzochte gevallen geldt dat een elliptische kromme E precies dan oneindig veel rationale punten heeft indien LE(1) = 0. Zij vermoeden dat dit algemeen geldt. Dus als de functie LE in het punt 1 een nulpunt heeft, dan zou de elliptische kromme E oneindig veel rationale punten hebben, en als LE in 1 ongelijk aan nul is, dan zou E slechts eindig veel rationale punten hebben.
Met behulp van het eerder geïntroduceerde begrip ‘rang’ kan het BSD-vermoeden exacter worden geformuleerd: de elliptische kromme E heeft precies dan rang r, indien LE(s) in het punt s = 1 een r-voudig nulpunt heeft.
De successen die tot nu toe geboekt zijn, hebben betrekking op enkele speciale gevallen van het BSD-vermoeden. Een bewijs van het algemene geval heeft nog niemand kunnen vinden. In de wiskunde beginnen sommige stellingen met ‘Als het BSD-vermoeden waar is, dan…’ Bijvoorbeeld het probleem van de congruente getallen aan het begin van dit artikel: ‘Als het BSD-vermoeden waar is, dan kan met de methode van Tunnell worden vastgesteld of een getal congruent is of niet.’
Zodra het BSD-vermoeden is bewezen, kan het zinsdeel ‘Als het BSD-vermoeden waar is’ bij dergelijke stellingen worden geschrapt. En mocht het BSD-vermoeden onjuist blijken te zijn, dan kunnen de stellingen die beginnen met ‘Als het BSD-vermoeden waar is, dan…’ de prullenbak in. Maar het lijkt erop, dat we op een bewijs danwel weerlegging nog lang moeten wachten.
Het Vermoeden van Tunnell
Gegeven is een kwadraatvrij natuurlijk getal n (‘kwadraatvrij’ wil zeggen dat het niet deelbaar is door een kwadraat; bijvoorbeeld 15 is kwadraatvrij, maar 18 niet, want 18 is deelbaar door 9 = 32). Als n oneven is, defineer dan L(n) als het aantal geheeltallige tripels (x, y, z) waarvoor geldt dat n gelijk is aan 2x2 + y2 + 32z2, en R(n) als de helft van het aantal geheeltallige tripels (x, y, z) waarvoor geldt dat n gelijk is aan 2x2 + y2 + 8z2. En als n even is, defineer dan L(n) als het aantal geheeltallige tripels (x, y, z) waarvoor geldt dat n/2 gelijk is aan 4x2 + y2 + 32z2, en R(n) als de helft van het aantal geheeltallige tripels (x, y, z) waarvoor geldt dat n/2 gelijk is aan 4x2 + y2 + 8z2.
Bij gegeven n is het meestal eenvoudig om L(n) en R(n) te berekenen. Jerrold Tunnell heeft een criterium bedacht waarmee bepaald kan worden of een gegeven getal congruent is. Het Vermoeden van Tunnell zegt dat een kwadraatvrij natuurlijk n een congruent getal is, indien L(n) = R(n). De omgekeerde bewering (als n een kwadraatvrij, congruent getal is, dan is L(n) = R(n)) werd al in 1977 bewezen door John Coates en Andrew Wiles.
Zie ook:
- Doorbraak congruente getallen (Kennislinkartikel)
- De elliptische kromme in je telefoon (Kennislinkartikel)
- Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (Engelse Wikipedia)
- Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (Clay Mathematics Institute)