Op 22 augusutus 2006 werden tijdens het Internationaal Wiskundig Congres in Madrid de winnaars van de prestigieuze Fields Medal bekendgemaakt. Het zijn de Russen Andrei Okounkov en Grigori Perelman, de Australiër Terence Tao en de Fransman Wendelin Werner. Okounkov kreeg de prijs voor zijn werk waarin hij kansrekening, representatietheorie en algebraïsche meetkunde met elkaar verweeft. Perelman werd door de jury geprezen vanwege zijn diepe inzichten in de structuur van de Ricci flow, die hebben geleid tot het bewijs van het Poincaré-vermoeden. Tao heeft baanbrekende resultaten geboekt in de partiële differentiaalvergelijkingen, combinatoriek en getaltheorie. Werner ten slotte heeft onderzoek gedaan op het gebied van de kansrekening en complexe analyse, met moderne toepassingen in de natuurkunde.

De vier winnaars werden enkele weken voor de uitreiking benaderd om bij het Internationaal Wiskundig Congres aanwezig te zijn. Perelman bedankte echter voor de eer en was daarom niet aanwezig bij de feestelijkheden. Hij is wars van media-aandacht en heeft geen interesse in prijzen. De laatste tijd beantwoordt hij geen e-mails meer. In december 2005 nam hij ontslag bij het Steklov Institute of Mathematics in St. Petersburg, het onderzoeksinstituut waar hij werkzaam was. Vakgenoten hebben ieder contact met de schuwe Perelman verloren.

Het is niet de eerste keer dat een winnaar van de Fields Medal afwezig was bij de uitreiking. In 1966 weigerde de Duitse wiskundige Alexander Grothendieck om zijn prijs op te komen halen in Moskou, om zo te protesteren tegen de militaire interventie van het Sovjetleger in Oost-Europa. Uiteindelijk accepteerde hij de prijs wel.

Het Poincaré-vermoeden

In 1904 formuleerde de Franse wiskundige Henri Poincaré een stelling, die in wiskundige taal als volgt luidt:

Een gesloten, samenhangende, en enkelvoudig samenhangende driedimensionale variëteit M³ is homeomorf met de driedimensionale sfeer S³.

Deze zin is alleen voor specialisten in het vakgebied te begrijpen. Het volgende is een citaat uit een artikel van Dirk van Delft in de bijlage `Wetenschap en Onderwijs’ van NRC Handelsblad van zaterdag 19 april 2003.

Het Poincaré-vermoeden behoort tot de topologie, een tak van meetkunde die zich bezighoudt met eigenschappen van objecten die onveranderd blijven bij vervorming: uitrekken, draaien, pletten – alles mag zolang ze maar niet scheuren of anderszins ‘kapot’ gaan. De grootte van een voorwerp doet dus in de topologie niet ter zake. Wel hoeveel gaten er in zitten, of het begrensd is, en het aantal dimensies. In de topologie zijn een theekopje met oor en een hoelahoep hetzelfde: plet het kopje, ‘verdeel’ het over het oor, rek het zaakje uit en voilà. Het Poincaré-vermoeden gaat over bollen. Neem in gedachten een (niet-vervormbare) voetbal en leg er de lus van een lasso op. We kunnen nu, hoe de lus ook ligt, probleemloos de lasso aanstrakken tot een ‘punt’ zonder dat de (krimpende) lus het contact met de bal verliest of knapt. Met een hoelahoep gaat dat niet als de buis van de hoelahoep door de lassolus steekt. De truc met de lasso is dus geschikt om soorten topologische objecten van elkaar te onderscheiden. Overigens: in de topologie zijn voetballen dus identiek aan eieren, bakstenen of piramides. Was, zo vroeg Poincaré zich af, het bij hogere dimensies ook zo dat, wanneer de lassolus op een oppervlak steeds helemaal samentrekbaar was, het om een ‘bol’ moest gaan? Want waar een gewoon mens zich slechts tweedimensionale oppervlakken kan voorstellen, draait de wiskundige zijn hand niet om voor meer dimensies.

Poincaré kon zijn stelling niet bewijzen. En zo is het de geschiedenis ingegaan als het Poincaré-vermoeden. In 1960 werd een deel van het vermoeden bewezen: voor alle dimensies groter dan 4 bewees Stephen Smale de juistheid van het vermoeden. Hiervoor ontving hij in 1966 de Fields Medal. Twintig jaar later bewees Michael Freedman het Poincaré-vermoeden voor de vierde dimensie. Alleen de vertrouwde derde dimensie bleef halsstarrig weerstand bieden. In 2000 loofde het Clay Mathematics Institute een miljoen dollar uit voor degene die een van de zeven zogenaamde millennium problems, waaronder het Poincaré-vermoeden, weet op te lossen. In 2002 meende de Brit Martin Dunwoody een bewijs te hebben gevonden. Zijn idee bleek echter niet waterdicht, zodat het prijzengeld aan zijn neus voorbij ging. In november van hetzelfde jaar verscheen een preprint op het internet van de Rus Grigori Perelman. Het vermoeden van Poincaré wordt nergens in het artikel genoemd, maar het was wiskundigen zonder meer duidelijk wat de implicaties waren van Perelmans stuk.

In Pythagoras, jaargang 45 nr. 4 (febr. 2006), schreef Roland van der Veen het artikel ‘De vorm van de ruimte’, waarin hij het Poincaré-vermoeden uitlegt. Het volgende citaat is afkomstig uit dat artikel.

Perelman pakt het Poincaré-vermoeden aan door te laten zien dat je iedere driedimensionale ruimte in een aantal eenvoudigere meetkundige stukken kunt snijden. Binnen al deze stukken kun je (bijna) net zo ruimtemeetkunde doen met lijnen, afstanden, hoeken, vlakken enzovoort, als we gewend zijn. Het was al langer bekend dat het Poincaré-vermoeden waar is voor ruimten die zich zo gemakkelijk laten verdelen, maar het leek onwaarschijnlijk dat ook de ingewikkeldste geknoopte ruimten op deze manier te verdelen waren. Wat het nog moeilijker maakt, is dat er niet één meetkunde is die werkt op alle meetkundige ruimten. In twee dimensies is dit net zo: op een bol is prima meetkunde te doen, maar dat is niet de bekende vlakke meetkunde. Een driehoek tekenen met drie rechte hoeken is op een bol bijvoorbeeld geen enkel probleem; in het vlak lukt het niet. Voor driedimensionale ruimten spelen naast de ruimtemeetkunde die we kennen nog niet minder dan zeven andere typen meetkunde een rol. Perelmans bewijs lijkt op het opblazen van een ballon. Geleidelijk blaast hij de ruimte op met de zogenaamde Ricci flow. Zo creëert hij gebieden die steeds meer op bekende typen meetkundige ruimten gaan lijken. Wat er mis kan gaan, is dat twee aangrenzende gebieden naar verschillende types meetkundige ruimte streven. In dat geval barst de ruimte op de grens uiteindelijk uit elkaar. Met technisch heel subtiele chirurgie kan dit probleem voorkomen worden door de ruimte vlak voor het moment van barsten bij de grens open te snijden en er aan beide kanten massieve bollen of torussen in te naaien. Vervolgens wordt de Ricci flow opnieuw gestart en gaat de vorming van meetkundige stukken verder. Perelman laat zien dat je zo eindeloos door kunt gaan met opblazen en opereren, en dat je uiteindelijk inderdaad alleen maar bekende meetkundige stukken overhoudt, zodat het Poincaré-vermoeden dan bewezen is.

Perelman geeft een volstrekt nieuwe kijk op het samenspel tussen topologie en meetkunde. Drie jaar lang hebben wiskundigen zich het hoofd gebogen over Perelmans verhaal. Inmiddels zijn ze zover dat ze Perelman volledig begrijpen. Fouten hebben ze niet ontdekt. Als Perelmans bewijs in een gerenommeerd vaktijdschrift wordt gepubliceerd, kan hij – twee jaar na verschijning – aanspraak maken op het miljoen van het Clay Mathematics Institute. Maar of hij dat zal doen, is zeer de vraag. Het zou niemand verbazen als de geniale excentriekeling het miljoen, net als de Fields Medal, afslaat.