Goldbach-vermoeden: een stap verder?

Het vermoeden van Goldbach is een van de grote onopgeloste problemen uit de getaltheorie. Dit vermoeden, dat iets zegt over alle even getallen, is nu geverifieerd tot 1.000.000.000.000.000.000.

door en

In de getaltheorie is een van de grote onopgeloste problemen het vermoeden van Goldbach: elk even getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen. De maand april bracht twee nieuwtjes. Ten eerste: het vermoeden is waar voor alle even getallen tussen 2 en 1018. Ten tweede: een Indiase wiskundige kwam met het sterke verhaal misschien wel een bewijs te hebben gevonden.

Het vermoeden van Goldbach

Op 18 maart 1690 werd de wiskundige Christian Goldbach (1690-1764) geboren in Königsberg (toen in Pruisen, nu heet het Kaliningrad en ligt het in Rusland). Hij werkte vooral in de getaltheorie en correspondeerde met de veel beroemdere wiskundige duizendpoot Leonhard Euler (1707-1783). In de afbeedling hieronder zie je de brief die Goldbach op 7 juni 1742 aan Euler schreef.

Brief van Goldbach aan Euler, d.d. 7 juni 1742 (klik op de afbeelding voor een vergroting)

In moderne taal komt Goldbachs boodschap hierop neer: het lijkt erop dat elk geheel getal groter dan 5 geschreven kan worden als de som van drie priemgetallen en hij vraagt Euler of deze weet of die uitspraak inderdaad in het algemeen geldig is. Hier is het begin van een lijstje dat Goldbach ongetwijfeld zelf ook gemaakt heeft om te controleren of het klopt:

6 = 2 + 2 + 2
7 = 2 + 2 + 3
8 = 2 + 3 + 3
9 = 3 + 3 + 3
10 = 2 + 3 + 5
11 = 3 + 3 + 5
12 = 2 + 3 + 7
… = …

Euler antwoordde dat hij ook geen bewijs had, maar dat je het probleem ook op de volgende manier kunt formuleren: elk even getal groter dan 2 is de som van twee priemgetallen. Daar hoort ook een lijstje bij. Dat begint zo:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 7 + 7
16 = 5 + 11
… = …

Eulers formulering lijkt wat overzichtelijker, en dat is dan waarschijnlijk ook de reden dat Eulers versie bekend is geworden als het vermoeden van Goldbach. Dat Eulers versie inderdaad hetzelfde is als Goldbachs oorspronkelijke versie, wordt bewezen aan het eind van dit artikel.

Dat het vermoeden van Goldbach waar is, wordt aannemelijk gemaakt door de onderstaande plaatjes, waarin het aantal manieren om een even getal als som van twee priemgetallen te schrijven wordt getoond. Deze grafiek suggereert dat voor grote waarden van n er meerdere manieren zijn om n als som van twee priemgetallen te schrijven. Maar hoe hoopgevend zo’n plaatje ook is, een bewijs is het allerminst!

Aantal manieren om een even getal n als som van twee priemgetallen te schrijven. Links: 4 ≤ n ≤ 1.000. Rechts: 4 ≤ n ≤ 1.000.000. (Klik op de afbeelding voor een vergroting.)

Verificatie van het Goldbach-vermoeden

De bewering van Goldbach klinkt eenvoudig, maar toch is het nog nooit iemand gelukt om dit vermoeden te bewijzen. Je kunt natuurlijk proberen om even getallen te schrijven als som van twee priemgetallen, maar er blijven er – hoeveel je er ook controleert – altijd oneindig veel over waarvoor je het niet gecontroleerd hebt. Toch worden er zware computers ingezet om verificatie uit te voeren. Niet omdat dat een stap richting een bewijs is, maar omdat er misschien wel een tegenvoorbeeld wordt gevonden. Want ook al denken de meeste wiskundigen dat het vermoeden waar is, het is niet uitgesloten dat zij het bij het verkeerde eind hebben!
Op 25 april 2007 was men zover dat alle even getallen tot 1018 zijn gecontroleerd. Een even getal dat niet te schrijven is als som van twee priemgetallen, werd niet aangetroffen.

Bewijzen

Half april verscheen een artikel op internet waarin wordt gemeld dat de Indiase wiskundige Bichitra Kalita van het Assam Engineering College uit India mogelijk het Goldbach-vermoeden heeft bewezen. Dit nieuwsbericht heeft weinig stof doen opwaaien, waaruit we misschien moeten concluderen dat hier een charlatan aan het werk is geweest. Het komt vaker voor dat mensen denken een bewijs te hebben gevonden voor een beroemd vermoeden, dat achteraf zo lek als een mandje blijkt te zijn.
Als Kalita toch gelijk blijkt te hebben, dan is hij voor het binnenhalen van een miljoen dollar vijf jaar te laat: de Britse uitgever Tony Faber loofde in het jaar 2000 – als reclamestunt voor hun uitgave van het boek Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture van Apostolos Doxiadisone – een beloning uit van $ 1.000.000 voor een bewijs van Goldbachs vermoeden; deze beloning liep tot april 2002.

Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture verscheen ook in het Nederlands: Oom Petros en het vermoeden van Goldbach

De versie van Goldbach en de versie van Euler zijn equivalent

Tot besluit geven we Eulers bewijs dat zijn formulering equivalent is met die van Goldbach. Neem eerst aan dat Goldbachs bewering waar is dat elk getal groter dan 5 de som is van drie priemgetallen, en stel dat N een even getal groter dan 2 is. Dan is N + 2 = p1 + p2 + p3 voor zekere priemgetallen p1, p2 en p3 met p1 ≤ p2 ≤ p3. Die kunnen niet allemaal oneven zijn, want dan zou N + 2 ook oneven zijn en dat is niet zo. Maar 2 is het enige even priemgetal, dus p1 = 2 en N = p2 + p3.
Omgekeerd, als de formulering van Euler waar is, en als N een willekeurig getal groter dan 5 is, dan zijn er twee mogelijkheden.
1. N is even. Dan is ook N – 2 even en groter dan 2, en dus de som van twee priemgetallen: N – 2 = p1 + p2. Dit betekent dat N = 2 + p1 + p2, zoals bewezen moest worden.
2. N is oneven. Dan is N – 3 even en groter dan 2, en dus de som van twee priemgetallen N – 3 = p1 + p2, dat wil zeggen N = 3 + p1 + p2.

_Een deel van de inhoud van dit artikel verscheen eerder in Pythagoras 45-3 (januari 2006), in het artikel ‘Spookgetallen’ van Jan van de Craats en Janina Müttel.