Wiskundedocent Iris van Gulik-Gulikers deed onderzoek naar de vraag hoe de geschiedenis van de wiskunde op een zinvolle manier kan worden ingepast in het onderwijs. De 17de eeuwse landmeter en de worsteling van wiskundigen uit de 19de eeuw met de niet-Euclidische meetkunde, geven het vak van getallen en formules een menselijk gezicht. Iris van Gulik promoveert op 9 december aan de Rijksuniversiteit Groningen.

In haar proefschrift staat een foto waarop de verbazing op het gezicht van Tom, 5 vwo’er, goed is af te lezen. Hij kijkt naar een tennisbal in zijn hand die de aardbol voorstelt. Met een viltstift zijn er lijnen op getekend: de evenaar en twee meridianen (lengtecirkels) die samenkomen in een pool. De meridianen snijden de evenaar beide met een hoek van negentig graden, terwijl er aan de pool ook nog een derde hoek is. Conclusie: in een driehoek op een gekromd oppervlak is de som van de drie hoeken groter dan 180 graden. Oftewel: de bekende stelling uit de Euclidische vlakke meetkunde ‘de som van de hoeken van een driehoek is 180 graden’ gaat hier niet op.

Meer inzicht met een praktische insteek

Verbazing wekt betrokkenheid, en dat is precies wat Iris van Gulik wil bereiken met historische onderdelen in het wiskunde-onderwijs. ‘Het behandelen van de geschiedenis van de wiskunde haalt de menselijke kant van het vak naar voren.’ Vakdidactici veronderstellen bovendien dat leerlingen meer inzicht krijgen als ze weten hoe delen van de wiskunde ontstaan zijn en waarom er in die tijd behoefte aan was.

In de vakliteratuur wordt al lange tijd gesproken over de motivatie die uit kan gaan van geschiedenisonderdelen. ‘Mijn insteek is praktisch,’ zegt Van Gulik. ‘Het ging er mij niet niet zozeer om waarom je het zou moeten doen, maar veel meer hoe het kan.’ Daarom heb ik twee onderwerpen uitgewerkt tot lesmateriaal dat ik in de klas heb getest. Het eerste, ‘De 17de eeuwse landmeter’, is bedoeld voor 2de en 3de klassen havo en vwo; het tweede, ‘Niet-Euclidische meetkunde’, voor 5 en 6 vwo.

De jacobsstaf

Landmeter was in de 17de eeuwse een beroep dat snel in aanzien steeg en meer inhoud kreeg. Voor het oplossen van rechtsgeschillen en voor militaire doeleinden moeten betrouwbare kaarten worden gemaakt. Het lesmateriaal dat Van Gulik ontwierp bevat teksten in het oud-Nederlands en beschrijvingen van de instrumenten die door de landmeters werden gebruikt om de hoogte van gebouwen te meten. De jacobsstaf (twee meetlatten loodrecht op elkaar, een ervan kan op en neer geschoven worden) is de eenvoudigste. De staf kan ook gemakkelijk worden nagebouwd door scholen.

‘De leerlingen kunnen ermee aan de slag, bijvoorbeeld bekende bouwwerken uit de stad nameten,’ vertelt Van Gulik. Het enthousiasme voor dit veldwerk bleek groot. Sommige leerlingen zetten alles op video, andere bleekten de bladzijden van hun verslag om het geheel een 17de eeuws aanzien te geven. Het was echter vooral de praktische opdracht die veel veel waardering oogstte. ‘Het oud-Nederlands bleek echter struikelblok. Dat was bedoeld om samenwerking met het vak Nederlands mogelijk te maken, maar veel leerlingen vinden het moeilijk.’

Meesterwerk

Drie eeuwen voor Christus stelde de Griekse wiskundige Euclides de oudste systematische verhandeling over de vlakke meetkunde op. Een wiskundig en een filosofisch meesterwerk, waarbij een hele theorie wordt opgebouwd uit een twintigtal definities, vijf axioma’s en vijf postulaten. Eeuwenlang was dit hét standaardwerk. Pas in de 19de eeuw ontdekte men dat er ook andere meetkundes mogelijk zijn: de niet-Euclidische meetkunde, opgebouwd volgens met eenzelfde strakke redeneertrant, maar gebaseerd op net iets andere grondslagen.

Herontdekking

‘Niet-Euclidische meetkunde is niet eenvoudig, maar je kunt er wel elementen uitpikken, waardoor leerlingen er iets van meekrijgen’, zegt de onderzoekster. De som van de hoeken van een driehoek in een gekromd oppervlak is daar een voorbeeld van. In het lesmateriaal dat zij ontwikkelde wordt de theoretische denkwijze en de manier waarop wiskundigen daar in de loop der eeuwen mee bezig zijn geweest, benadrukt. Van Gulik: ‘Uit de geschiedenis wordt duidelijk dat verschillende echte wiskundigen er lang veel moeite voor hebben moeten doen. Dat is bemoedigend voor de leerlingen. En ze maken het proces van herontdekking mee, een levendig leerproces dat leidt tot een grotere motivatie. Dat geeft kleur aan de meetkunde, wiskunde komt ermee tot leven.’

Curriculum vitae

Drs. Iris van Gulik-Gulikers (Zwolle, 1975) studeerde wiskunde in Groningen. Ze verrichtte haar onderzoek bij de vakgroep Wiskunde van de RUG. Ze promoveert tot doctor in de Wiskunde en Natuurwetenschappen bij prof.dr. H.W. Broer en prof.dr. A. van Streun. Haar co-promotor is dr. J.A. van Maanen. De titel van het proefschrift is: De meetkunde opnieuw uitgevonden. Van Gulik-Gulikers werkt als wiskundedocent aan de Van der Capellen Scholengemeenschap in Zwolle.