Legpuzzel
In een familie willen de twee opgroeiende kinderen allebei een legpuzzel krijgen voor Sinterklaas. Er is echter slechts geld voor één puzzel. Ze maken een afspraak over de verdeling van de stukken. Jan krijgt alle kantstukken en Maria de rest. Dat is heel makkelijk, maar het moet ook eerlijk zijn. Hoeveel rijen en kolommen moet een rechthoekige legpuzzel hebben, zodat Jan en Maria hetzelfde aantal stukken krijgen?
Lootjes trekken
Willem Cornelisz Bril houdt van pakjesavond en alle gedoe eromheen. Toen hij alleen woonde lukte het lootjes trekken voor geen meter. Hij besloot daarom om snel te trouwen. Toen lukte het wel, maar de uitkomst was zelfs voor een buitenstaander te voorspellen. Er zat niks anders op dan kinderen krijgen. Met één kind was de uitkomst voor een buitenstaander niet te raden, maar voor de drie leden van het gezin wel. Het was even doorzetten, maar nu met vijf kinderen zit de spanning er heel goed in. Wat is de kans dat lootjes trekken in één keer lukt in een gezin van zeven mensen?
Inpakken
In de Volkskrant van 12 april 2003 schrijft Theo Jansen over twee speciale manieren om een touwtje om een doos te binden. Een van die manieren zie je in de onderstaande figuur.
Een Sinterklaaspakje wordt op deze manier ingepakt. Als de lengtes van de zijden van dit pakje a cm, b cm en c cm zijn, hoe lang is dan het touwtje? Ervaring leert dat deze methode niet werkt bij zeer langwerpige pakjes. Hoe kun je van de afmetingen van een pakje berekenen of het op deze wijze vast te binden is of niet?
Afmetingen van een pakje
Piet heeft een hoofd voor cijfers en doet er graag iets mee. Hij heeft de volgende statistieken over zijn Sinterklaaspakje verzameld. De som van de lengte, breedte, en hoogte is 69 cm. De totale oppervlakte is 2880 cm2 en de inhoud is 9072 cm3. Wat waren de afmetingen van dit pakje?
Pak de chocoladeletters, taai-taai poppen en pepernoten er maar bij! Hieronder komen de oplossingen…
Oplossing Legpuzzel
Noem het aantal rijen r en het aantal kolommen k. De vergelijking wordt (r – 2)(k – 2) = 2r + 2k – 4. Dit is te herschrijven als (r – 4)(k – 4) = 8. Het zoeken naar factoren van 8 levert de twee oplossingen: 6 bij 8 en 5 bij 12.
Oplossing Lootjes trekken
Een geslaagd trekken van loten is te beschrijven als een aantal cyclussen van groepen mensen die elkaar hebben gekozen. Bijvoorbeeld (abc) betekent dat a kiest b, b kiest c en c kiest a. Je mag je eigen naam niet kiezen en dus moet er geen cyclus van 1 letter voorkomen. De mogelijke cyclussen zijn:
1. één cyclus van 7; 2. één cyclus van 5 en één cyclus van 2; 3. één cyclus van 4 en één cyclus van 3; 4. één cyclus van 3 en twee cyclussen van 2.
De kans om in één keer loten te trekken in een familie van 7 personen is:
Dit is gelijk aan 103/280, wat nog maar weinig afwijkt van de limietwaarde 1/e (ongeveer 0,368), wat je krijgt bij een groep van n lootjestrekkende personen, waarbij n naar oneindig gaat.
Oplossing Inpakken
Het touwtje is √2 (a + b + c) cm lang. In de tekening hieronder is het netwerk van de doos geplaatst in een xy-assenstelsel.
Het touwtje wordt voorgesteld door de vetgedrukte lijn. De vergelijking van deze lijn is van de vorm y = x + k met k een constante. Deze lijn moet boven 3 hoekpunten, en onder 3 andere hoekpunten gaan. Dit levert 6 ongelijkheden voor k, a, b en c op. Hieruit volgt dat geen van de drie zijden van het pakje langer mag zijn dan de som van de twee andere zijden.
Oplossing Afmetingen van een pakje
De vergelijking is x3 – 69x2 + 1440x – 9072 = 0, waar de oplossingen voor x de zijden van het pakje zijn. De afmetingen van het pakje zijn 21 bij 36 bij 12 cm.
Zie ook:
- De homepage van Sinterklaas
- Zie de Sint schuift van de daken (Kennislinkartikel)
- Sinterklaas leert kleuters eerlijk delen (Kennislinkartikel)