Je leest:

Geen piek te hoog

Geen piek te hoog

Auteur: | 2 juli 2009
Thema: Zomervakantie

Tegenwoordig lijkt het beklimmen van de hoogste bergen in de Himalaya een peulenschil: jaarlijks zwerven tientallen teams rond op het ‘dak van de wereld’. Aangemoedigd door al deze activiteiten wil ook Jaap Weifelaar van de Schaarwoudense Alpinistenvereniging (SAV) in de zomervakantie een expeditie gaan uitrusten. Hij heeft zijn oog laten vallen op de Annapurna, die een hoogte heeft van 8091 meter. Vanuit het Nepalese stadje Pokhara op een hoogte van 827 meter moet er dus 7264 meter geklommen worden.

Jaap wil de 8091 meter hoge Annapurna beklimmen. Zijn startpunt is het Nepalese stadje Pokhara, dat op een hoogte van 827 meter ligt. Er moet er dus 7264 meter worden geklommen. Jaap realiseert zich dat een goede planning voor het slagen van de expeditie zeer belangrijk is. Uit eerdere ervaringen opgedaan in het Zuid-Limburgse hooggebergte weet Jaap dat een bergbeklimmer voor elke honderd meter stijging gemiddeld één kilo aan materiaal, zoals touw en haken, nodig heeft. Elke klimmer kan maximaal twintig kilo aan materiaal meenemen. Een snel rekensommetje leert dat één alpinist met zijn materiaal maximaal 2000 meter omhoog kan klimmen, lang niet genoeg om de top te halen. Gelukkig weet Jaap hoe professionele expedities dit probleem oplossen. Ze richten tussentijds kampen in en gaan met een steeds kleinere groep verder omhoog. Maar waar moeten die kampen liggen en uit hoeveel leden moet de expeditie bestaan?

Een bergbeklimmer op de Annapurna

Kampen aanleggen

Jaap ziet vrijwel meteen in dat tussen twee kampen altijd minder dan 2000 meter hoogteverschil zal liggen. Immers, hoeveel bergbeklimmers ook uit een kamp vertrekken, 2000 meter hoger zijn ze allemaal door hun materiaal heen en kan niemand nog verder omhoog. Er zit dus niets anders op dan het met meer kampen te proberen, denkt Jaap. Laten we het eens proberen met twee kampen en drie klimmers. In het eerste kamp, dat op hoogte x ligt, blijft één klimmer achter. Er is dan 60 – 3x/100 kilo materiaal omhoog gebracht. In het beste geval is dit gelijk aan de maximale hoeveelheid materiaal waarmee twee klimmers verder kunnen, dus 40 kilo. Dit is zo als x = 666,66… meter.

Hoeveel hoger moeten deze twee klimmers een tweede kamp aanleggen? Optimaal is, als de laatste klimmer van daaruit met 20 kilo materiaal verder kan. In het tweede kamp komt 40 – 2x/100 kilo materiaal aan; dit is gelijk aan 20 als x = 1000. Dus het tweede kamp komt op 666,66 + 1000 = 1666,66 meter hoogte. Van daaruit komt de laatste klimmer nog 2000 meter hoger, tot 3666,66 meter.

Volgens Jaaps berekening kan de laatste klimmer via 20 kampen de top van de Annapurna bereiken. In dit systeem liggen de meeste kampen vrij laag, aan de voet van de berg, en komen 15 van de 21 teamleden niet eens tot halverwege de top.

Maar nu ontvouwt zich een patroon voor Jaap. Met meer klimmers laat je telkens één klimmer achter op het moment dat het resterende materiaal door de overige klimmers meegenomen kan worden. Als je met n klimmers start, is er op hoogte x in totaal 20n – nx/100 kilo materiaal over; dat moet gelijk zijn aan 20(n – 1). Dit klopt als x = 2000/n. Het eerste kamp moet dus op hoogte 2000/n liggen. Vanuit dit kamp gaan we verder met n – 1 klimmers, die volledig bepakt zijn. Dat betekent dat het tweede kamp 2000/(n – 1) meter hoger moet liggen, het derde weer 2000/(n – 2) meter hoger, enzovoort. De hoogte (in meters) die de laatste klimmer bereikt, is dus 2000(1/n + 1/(n-1) + … + 1/3 + 1/2 + 1/1).

Door een aantal waarden voor n in te vullen, vindt Jaap dat hij met een team van 21 SAV-leden een hoogteverschil van 7290 meter kan overbruggen, genoeg voor de Annapurna. Overigens is dit een wel heel simpel model om een hoge berg te beklimmen: Jaap gaat er bijvoorbeeld van uit dat zijn klimmers hun eigen voedsel niet mee omhoog (en deels ook weer omlaag) hoeven te nemen. Probeer zelf eens een model door te rekenen, waarbij elke klimmer ook nog, zeg, voor elke 1000 meter stijging en daling één kilo voedsel en drinken nodig heeft en gezond en wel terug wil komen in Pokhara.

Ook zullen de eerste paar klimmers met Jaaps systeem weinig voldoening aan de expeditie beleven: de eerste klimmer blijft al op 2000/21 ≈ 95 meter boven Pokhara achter, de tweede na 195 meter, de derde na 300 meter, enzovoort. De Annapurna is een van de hoogste bergen op aarde, dus veel meer teamleden zal Jaap niet nodig hebben om de allerhoogste, de Mount Everest, te bestijgen. Die is volgens de nieuwste metingen 8844 meter hoog, dus als we weer in Pokhara beginnen is dat 8017 meter klimmen. Daarvoor heb je aan 31 teamleden genoeg, leert enig verder rekenen.

De Sahara oversteken

Voor bergbeklimmen is Jaaps methode nog met een rekenmachientje te behapstukken. Maar stel, je vat het wilde plan op om met deze methode te voet de Sahara over te steken, een afstand van 1500 kilometer. In plaats van 2000 meter klimmen, kan elk teamlid nu met 15 kilo bepakking maximaal 30 kilometer lopen (in die hitte geen geringe prestatie). De afstand (in kilometers) die je dan met n expeditieleden aflegt, is 30(1/n + 1/(n-1) + … + 1/3 + 1/2 + 1/1).

Wanneer is n groot genoeg om 1500 kilometer ver te komen? Als je dit probeert uit te rekenen door telkens kleinere breuken 1/k aan het totaal toe te voegen, zul je al snel merken dat dit niet opschiet. Gelukkig heeft de beroemde wiskundige Leonhard Euler al in de achttiende eeuw een korte formule gevonden die voor grote waarden van n een heel nauwkeurige benadering van deze reeks geeft:

30(1/n + 1/(n-1) + … + 1/3 + 1/2 + 1/1) ≈ 30(ln(n) + γ + 1/(2n) + 1/(12n2)).

Te voet over de Sahara: is dat verstandig?

De eerste term, ln(n), geeft globaal aan hoe hard de som groeit. Dit is een logaritme, dus hij groeit heel langzaam naarmate n toeneemt, maar kan wel willekeurig groot worden. Dat betekent in theorie, dat elke afstand, hoe groot ook, zo te overbruggen is. De tweede term, γ, is de zogenaamde constante van Euler-Mascheroni, vaak ook kortweg ‘constante van Euler’ genaamd. Er geldt dat γ = 0,5772156… De laatste twee termen worden kleiner naarmate n groter wordt. Deze drie dienen om het resultaat nauwkeuriger te maken, maar de Sahara-expeditie heeft die niet eens nodig. Want hoe groot zou die expeditie ruwweg moeten zijn? Daarvoor moet de logaritme van n ongeveer 1500/30 = 50 zijn, ofwel: n is ongeveer e50 ≈ 1021: een veel en veel groter getal dan het aantal mensen op aarde! Je kunt echt beter gaan vliegen over de Sahara.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 02 juli 2009

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.