Je leest:

Gebogen oppervlakken verrassend eenvoudig

Gebogen oppervlakken verrassend eenvoudig

Auteur: | 9 oktober 2008

De gecompliceerde vorm van een kromgetrokken blad of de oren van een mens kun je wiskundig tamelijk eenvoudig beschrijven. Dat blijkt uit een nieuwe studie van twee onderzoekers uit Frankrijk.

In Physical Review Letters van deze week geven Julien Dervaux en Martine Ben Amar van de Ecole Normale Supérieure (ENS) in Parijs een wiskundige analyse van hoe een ronde schijf kan vervormen tot de vorm van chips, een puntmuts of een kraag die we kennen van afbeeldingen van Willem van Oranje. Hiermee kan verklaard worden hoe dergelijke vormen spontaan ontstaan in de natuur, zoals de holtes in bladeren.

Als je uit een cirkelvormig stuk papier een wig knipt en de twee uiteinden vervolgens aan elkaar plakt, krijg je een kegel. Je kunt dit opvatten als een cirkel waarvan de omtrek te klein is in verhouding tot de straal. Door de ‘te kleine omtrek’ trekt het oppervlak krom tot een kegelvormig object, zoals een puntmuts. Dervaux en Ben Amar hebben de omgekeerde situatie onderzocht: hoe vervormt een cirkel als de omtrek te groot is in verhouding tot de straal?

Overtollige hoek

Met een stuk papier kun je experimenteren: knip een wig uit een cirkel en plak in deze ruimte een grotere wig. Als je een wig met een hoek van bijvoorbeeld 45 graden wegknipt en je plakt er een wig met een hoek van 60 graden in, dan krijg je ‘overschot’ van 15 graden. De onderzoekers noemen dit de ‘overtollige hoek’ (in het Engels: excess angle). De ontstane vorm doet denken aan een zadel. Maar anders dan bij een werkelijke zadelvorm, geldt hier dat alleen de omtrek is kromgetrokken; van elk punt op de rand is de afstand tot het middelpunt gelijk.

Bekijk het filmpje onderaan dit artikel om te zien hoe het oppervlak verandert naarmate het groene stuk groter wordt

De twee onderzoekers geven een wiskundige analyse van deze vorm. Zij menen dat deze vorm terug te vinden is in de natuur: Acetabularia acetabulum zijn algen die in bepaalde fasen van hun groei deze vorm aannemen.

Acetabularia acetabulum

Er zijn oneindig veel manieren om een cirkel krom te trekken. Elke manier correspondeert met een andere golving van de omtrek. Als de ‘overtollige hoek’ klein is, zijn er twee opwaartse en twee neerwaartse buigingen. Als de ‘overtollige hoek’ groter wordt, neemt op een zeker het aantal buigingen toe. Dat kan zo ver gaan, dat je heel veel plooien krijgt, zoals in de kraag die te zien is op de afbeeldingen van Willem van Oranje.

Willem van Oranje en Maria van Maaike van Oranje-Nassau, de oudste dochter van Willem van Oranje, beiden met een kraag waarvan de vorm nu wiskundig is geanalyseerd

Filmpje

Als je uit een cirkelvormig stuk papier (blauw) een wig knipt (tot aan het middelpunt van de cirkel) en het lege stuk opvult met een groter wigvormig stuk (groen), neemt de omtrek van de cirkel toe, terwijl de straal gelijk blijft. Als de ‘overtollige hoek’ toeneemt van 0 tot 360 graden, krijg je een kromgetrokken oppervlak met twee plooien. Als de overtollige hoek nog groter wordt (niet te zien in dit filmpje), neemt het aantal plooien verder toe.

(X-msvideo 2.61MB)
Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 09 oktober 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.