Je leest:

Gat in Eschers prentententoonstelling gevuld

Gat in Eschers prentententoonstelling gevuld

Auteur: | 23 augustus 2002

De Leidse getaltheoreticus Hendrik Lenstra heeft de wiskundige structuur achter Eschers bekende litho ‘Prentententoonstelling’ ontrafeld. Op de tekening staat een jongeman in een galerij naar een prent te kijken waarop de galerij zelf staat afgebeeld. Het midden van de prent heeft Escher open gelaten. Lenstra heeft laten zien dat Escher, die geen hogere wiskundige opleiding had dan de middelbare school, in deze prent op een unieke wiskundige structuur gestuit is, die de weg wijst naar de opvulling van het midden.

De wiskundige structuur achter Eschers prent blijkt die van een ‘elliptische kromme’ te zijn. Deze krommen spelen een essentiële rol bij het vinden van priemfactoren van grote getallen, cryptografie en het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat.

De wiskundige structuur achter Eschers prent blijkt die van een ‘elliptische kromme’ te zijn. Copyrights Cordon Art

Tussen colleges en onderzoek door is met programmeerwerk en bijdragen van grafici Eschers litho uitgebreid en zijn computeranimaties gemaakt. Het nieuwe wiskundige begrip leverde ook vele nieuwe varianten van Eschers prent op.

Eschers prent ingevuld door de Leidse wiskundigen.

Het gat in de prent uit 1956 heeft altijd al veel mensen geïntrigeerd, onder wie Douglas Hofstadter in zijn boek Gödel, Escher, Bach. Maar tot dusver werd voor het gat geen verklaring gevonden, noch kon het op een overtuigende manier worden ingevuld. In 2000 besloot Lenstra het mysterieuze gat te onderzoeken. Hij loste het wiskundige probleem in een paar dagen op, maar daarmee was de prent nog niet compleet.

Het werk van Escher kenmerkt zich door symmetrieën en andere wiskundige eigenschappen. In de litho Prentententoonstelling deelde Escher het vlak in vierkantjes in, die hij een voor een in het juiste perspectief invulde. Alleen miste Escher het wiskundige inzicht om de transformatie volledig door te voeren. Het midden van deze litho liet hij blanco, en plaatste daar zijn handtekening.

Met een computerprogramma berekenden de Leidse wiskundigen hoe de oorspronkelijke, ongetransformeerde afbeelding eruit moest zien. Grafici vulde het gat in het midden van het werk op dezelfde wijze als de rest van de litho is opgebouwd. Het computerprogramma transformeerde vervolgens de complete afbeelding naar een impressie van een volledige Prentententoonstelling.

Spinozaprijs-winnaar Hendrik Lenstra is hoogleraar wiskunde aan de Universiteit Leiden en de University of California in Berkeley (USA). Het project is in Leiden uitgevoerd met hulp van getaltheoreticus Bart de Smit en wiskunde- en informaticastudent Joost Batenburg.

Dit artikel is een publicatie van Natuurwetenschap & Techniek.
© Natuurwetenschap & Techniek, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 23 augustus 2002

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.