Je leest:

Fundamentele lemma Langlandsprogramma in Time toptien

Fundamentele lemma Langlandsprogramma in Time toptien

Auteur: | 2 januari 2010

Het Amerikaanse tijdschrift Time stelt aan het eind van elk jaar toptien-lijstjes samen in allerlei categorieën. In 2009 eindigde in de categorie wetenschap op de zevende plaats een wiskundige stelling die dertig jaar lang op een bewijs moest wachten: het zogeheten ‘fundamentele lemma’ uit het Langlandsprogramma.

Stel, je leest morgen in de krant dat wetenschappers ontdekt hebben dat er een diep verband bestaat tussen de schilderijen in het Rijksmuseum en de schilderijen in het Van Gogh Museum: elk schilderij in het Rijksmuseum heeft een ‘spiegelbeeld’ in het Van Gogh Museum. Op Rembrandts Nachtwacht blijken net zo veel personen te staan als zonnebloemen op De Zonnebloemen van Van Gogh. En de verhouding tussen het aantal belichte en onbelichte personen op de Nachtwacht komt precies overeen met de verhouding tussen lichte en donkere zonnebloemen van Van Gogh. Verder staan ook de ruimtelijke verdeling van de personages en het perspectief exact in verband tot die van de zonnebloemen. Bovendien toont computeralyse van beide schilderijen een verband aan tussen hun licht- en kleurverhoudingen. Dergelijke verbanden zijn ook paarsgewijs gevonden tussen alle andere schilderijen in het Rijksmueum en het Van Gogh Museum.

De Fermatvergelijking en elliptische krommen

Een voorbeeld van twee ogenschijnlijke onafhankelijke wiskundige werelden die in het Langlandsprogramma bij elkaar komen, zijn de hypothetische oplossingen van de Fermatvergelijking (wereld A) en de elliptische krommen (wereld B). De Fermatvergelijking is an + bn = cn met a, b en c geheel en groter dan 0, en n geheel en groter dan 2. Elliptische krommen zijn objecten uit de algebraïsche meetkunde. Elk object uit wereld A heeft een ‘spiegelbeeld’ in wereld B: in 1984 liet Gerhard Frey zien dat uit elke hypothetische oplossing (a, b, c, n) van de Fermatvergelijking een elliptische kromme gemaakt kan worden. Dit inzicht bleek essentieel voor het bewijs van Fermats Laatste Stelling: de Fermatvergelijking heeft geen oplossingen.

De metafoor van de schilderkunst gebruikt Sebastian de Haro in zijn artikel Robert Langlands als revolutionair om het zogeheten Langlandsprogramma te duiden. Robert Langlands is een Canadese wiskundige (geboren in 1936) die in 1967 begon met het opstellen van een serie vermoedens die gezamenlijk bekend werden onder de naam Langlandsprogramma. Het betreft vermoedens die gaan over verbanden tussen getaltheorie, analyse, algebraïsche meetkunde en groepentheorie – verbanden tussen takken van wiskunde die op het eerste gezicht mijlenver uit elkaar staan (zie het kader hierboven voor een voorbeeld). Pas in het eerste decennium van de 21ste eeuw kregen wiskundigen echt vat op de inhoud van het Langlandsprogramma. Een van de onderdelen van het programma betreft het zogeheten fundamentele lemma dat Langland in 1979 formuleerde.

In de tweede helft van de jaren zestig van de twintigste eeuw formuleerde de Canadees Robert Langlands een serie vermoedens over verbanden tussen zeer uiteenlopende gebieden in de wiskunde. Langlands bracht getaltheorie en symmetrie op een heel diepe manier met elkaar in verband en gaf er bovendien een meetkundige draai aan. Langlands wist dat hij zijn ideeën niet allemaal zelf kon uitwerken, maar dat het werk voor meerdere toekomstige generaties zou zijn.

Na 30 jaar een bewijs

Speciale gevallen van het fundamentele lemma wisten Langlands en een aantal van zijn studenten vrij spoedig zelf te bewijzen. Maar het algemene geval bleek hardnekkiger dan ze dachten. Pas een paar jaar geleden werd een bewijs gevonden en wel door de Vietnamese wiskundige Ngô Bao Châu (geboren in 1972), die tegenwoordig werkt aan de Université Paris-Sud en het Institute for Advanced Study in Princeton. De verificatie ervan heeft even geduurd: in 2009 waren experts het erover eens dat het bewijs geen fouten bevat. Het Amerikaanse tijdschrift Time zette Châu’s prestatie op de lijst van beste wetenschappelijke ontdekkingen van 2009.

Prof. Ngô Bao Châu was al vroeg zeer getalenteerd: tweemaal won hij als middelbare scholier een gouden medaille bij de Internationale Wiskunde Olympiade. Op 37-jarige leeftijd werd hij beroemd om zijn bewijs van het fundamentele lemma van het Langlandsprogramma.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 02 januari 2010

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.