Je leest:

Franklin-vierkant van 12 bij 12 onmogelijk

Franklin-vierkant van 12 bij 12 onmogelijk

Auteurs: en | 5 juni 2007

Met behulp van een computerprogramma is aangetoond dat een Franklin-magisch vierkant van orde 12 niet bestaat.

Waar lange tijd naar werd gezocht, een Franklin-magisch vierkant van 12 bij 12, blijkt niet te bestaan. Dat heeft Cor Hurkens van de TU Eindhoven ontdekt. Hij schreef een C-programma van 600 zo’n regels en schakelde enkele tientallen computers in, die na anderhalve dag rekenen alle mogelijke configuraties hadden doorlopen. Het gezochte vierkant zat er niet tussen.

De magie van Benjamin Franklin

De Amerikaanse politicus en wetenschapper Benjamin Franklin (1706-1790) maakte enkele supermagische vierkanten, zoals het vierkant van 8 bij 8 hieronder. In dit vierkant staan de getallen 1 tot en met 64 zó, dat de som van alle getallen in iedere rij en in iedere kolom gelijk is aan 260. Verder geldt de zogeheten ‘halve rij eigenschap’: de som van alle getallen in iedere halve rij of kolom (van de rand af gerekend) is gelijk aan 130. Ook heeft elk van de vier ‘gebroken’ diagonalen, zoals die gevormd door de getallen 52, 3, 5, 54, 10, 57, 63, 16, als som 260. Maar er is meer: ook alle parallelle gebogen diagonalen, zoals die gevormd door de getallen 61, 62, 12, 43, 23, 56, 2, 1, hebben als som 260. Dan nog is niet alle magie beschreven: ook hebben alle 2 × 2-deelvierkanten de eigenschap dat de som van hun getallen gelijk is aan 130.

Benjamin Franklin en een van zijn magische vierkanten

Een vierkant van 12 bij 12

In maart van dit jaar haalden drie middelbare scholieren uit Nijmegen alle tv-journaals met een magisch vierkant van 12 bij 12. Dit vierkant heeft alle bijzondere eigenschappen van het vierkant van Franklin, op één na: aan de halve rij en halve kolom eigenschap wordt niet voldaan.

Het ‘HSA-vierkant’ van de drie middelbare scholieren Jesse Hoekstra, Willem Schilte en Petra Alkema. Het vierkant voldoet aan de volgende eisen:

in het vierkant zitten alle getallen 1 tot en met 144; elke rij en elke kolom heeft som 870; de gebogen diagonalen hebben som 870; de parallelle gebogen diagonalen hebben som 870; elk 2 bij 2 vierkant heeft som 290.

De ontbrekende eigenschap: elke halve rij en halve kolom heeft som 435 (hier is dat 436 (rood) of 434 (groen) voor de rijen, en 423 en 447 voor de kolommen)

Sinds de scholieren hun vondst hebben gepresenteerd, zijn veel amateurwiskundigen, maar ook beroepswiskundigen, de zoektocht naar een écht Franklin-magisch vierkant van orde 12 gestart. Een van die wiskundigen was Cor Hurkens van de TU Eindhoven. Hij realiseerde zich dat het met brute kracht uitrekenen van alle mogelijkheden voor een 12 × 12 Franklin-vierkant te lang zou duren. Hij voerde daarom eerst een aantal vereenvoudigingen uit waardoor de rekentijd drastisch beperkt zou worden. Hij merkte op dat het vierkant helemaal vast ligt als je zijn eerste kolom en zijn eerste rij kent. Dat komt door de eis dat elk 2 bij 2 vierkant som 290 heeft. Verder kwam hij erachter dat de voorwaarde die over de gebogen diagonalen gaat, voor de eerste kolom en eerste rij neerkomt op de zogenaamde ‘alternerende someigenschap’: de som van de getallen op de oneven plaatsen in de eerste helft van de eerste kolom is gelijk aan de som van de getallen op de oneven plaatsen in de tweede helft van de eerste kolom en net zo voor de getallen in de eerste rij. Hurkens maakte nog een aantal vereenvoudigingen en uiteindelijk bleven er zo’n zeventig gevallen over die onderzocht moesten worden. Hiervan waren er twintig eenvoudig op te lossen. Voor de vierkanten die hun geheimen niet zonder slag of stoot prijs gaven, deden computers het werk. Het eindresultaat: een Franklin-magisch vierkant van orde 12 bestaat niet!

Computerbewijs

Het komt vaker voor dat de computer wordt ingeschakeld bij het bewijzen van wiskundige stellingen. Dit gebeurde voor het eerst in 1976, toen twee wiskundigen, Kenneth Appel en Wolfgang Haken, de ‘Vierkleurenstelling’ met behulp van een computerprogramma bewezen. Sceptici keurden dit computerbewijs af, want wie zegt dat het computerprogramma dat de gecompliceerde berekeningen uitvoerde, zélf geen fouten bevatte?

Andere afmetingen

Franklin maakte zelf supermagische vierkanten van orde 8 en van orde 16. Arno van den Essen, wiskundige van de Radboud Universiteit Nijmegen, geeft in zijn vorig jaar verschenen boek Magische vierkanten: van Lo-Shu tot Sudoku een methode om willekeurig grote Franklin-magische vierkanten te maken, zolang de afmeting van het vierkant maar een veelvoud van 8 is. Terwijl Cor Hurkens in Eindhoven zijn wiskundige vereenvoudigingen bedacht en zijn computers aan het werk zette, was in Malden, een plaatsje vlakbij Nijmegen, de elektrotechnisch Ingenieur Huub Reijnders met pen en papier op zoek naar een 12 × 12 vierkant, natuurlijk ook uitgedaagd door de publiciteit rond het HSA-vierkant. Natuurlijk lukte het hem niet om zo’n vierkant te maken. Hij kwam er echter dat het met zijn methode wél mogelijk moest zijn een 20 × 20 vierkant te produceren. Hij schreef een computerprogramma en op 30 april werd het eerste 20 × 20 vierkant gevonden! Met Reijnders’ methode is het ook mogelijk Franklin-vierkanten van orde 28, 36, 44, enzovoorts, te maken. Een maand na Reijnders’ vondst lukte het Hurkens ook om met zijn methode Franklin-vierkanten van deze ordes te maken.

Het is niet moeilijk om aan te tonen dat een vierkant waarvan de afmeting oneven of geen veelvoud van vier is, niet Franklin-magisch kan zijn. Een Franklin-magisch vierkant van orde 4 bestaat ook niet, zoals je makkelijk kunt checken. Met het werk van Hurkens en Reijnders kan nu de volgende stelling worden geformuleerd:

Franklin-magische vierkanten van orde n bestaan precies dan als n een viervoud is, behalve als n = 4 of n = 12.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 05 juni 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.