Prof dr Benoît Mandelbrot, IBM-wiskundige en Yale-professor, verwierf begin jaren tachtig wereldfaam met zijn boek The fractal geometry of Nature. Daarin introduceerde hij bij het grote publiek en bij veel wetenschappers de fractals, de complexe wiskundige functies en geometrieën die gelijkvormigheid op verschillende schalen beschrijven. Het heelal, een kustlijn of een sneeuwvlok – op diverse schalen herbergen ze dezelfde structuren. Al meer dan dertig jaar ontwikkelt Mandelbrot, inmiddels 74 jaar oud, wiskundige en computermodellen die inzicht bieden in de ingewikkelde patronen van de financiële wereld. Onlangs vatte hij de ontwikkelingen samen in een boek. Fractals voorspellen het gedrag van de beurs.
De financiële markten zijn veranderlijker dan het nuchtere verstand suggereert. In de eenvoudigste modellen variëren prijzen met de beweeglijkheid van een atoom. Natuurkundigen noemen dit de Brownse beweging, maar in de financiële wereld, waar schommelende prijzen alle aandacht opeisen, staat het bekend als the random walk down the street, ofwel het zwalken over straat.
Eenvoudig of verfijnd, willekeur is van zichzelf een moeilijk idee. Het lijkt te botsen met keiharde feiten of intuïties. In de natuurkunde botst het met het determinisme, terwijl het in de economie botst met momenten van heldere oorzakelijke verbanden. Een sterke koersverandering valt vaak samen met een renteverlaging, een seksschandaal of het uitblijven van een lening. Mijn onderzoek maakt niettemin duidelijk dat waarschijnlijkheid, statistiek en fractale vormen de gebeurtenissen op de markt kunnen beschrijven. Ze voorspellen de toekomst niet met zekerheid, maar ze kunnen wel helpen met uitpluizen wat er op Wall Street, het Damrak of de Beurs van Brussel kan gebeuren.
Analyse
Een accurate analyse is belangrijk in de wereld van financiën. De econoom probeert de regels van de markt te begrijpen, de verzekeraar tracht risico’s te beheersen en de belegger wil het maximale rendement uit zijn portfolio halen. Ieder uitgangspunt vraagt om kennis van gebeurtenissen in het verleden. Geen gedrag kan men bekend veronderstellen tenzij het goed kan worden nagebootst. Dat geldt ook voor het gedrag van de financiële wereld. Het is dan ook geen wonder dat men veel energie steekt in het zoeken naar modellen en naar manieren om de betrouwbaarheid daarvan te kunnen inschatten. Het evalueren en vergelijken van statistische gegevens en theorie is verre van gemakkelijk.
Het woord model is hier geen aanduiding van een wiskundige uitdrukking voor een economisch verband. Beleggen zou geen speculeren meer zijn. In plaats daarvan verwijst model naar een statistisch algoritme dat moet voldoen aan een door Einstein genoemde, ogenschijnlijk extravagante ambitie: het grote doel van alle wetenschap is het omvatten van zoveel mogelijk empirische feiten door logische deductie van zo min mogelijk hypothesen en axioma’s.
Grafieken
De ontwikkeling van mijn modellen laat zich het beste presenteren met grafieken. Sommige tonen de werkelijke veranderingen van aandelenprijzen en wisselkoersen. Andere zijn computersimulaties van statistische modellen die inzicht moeten bieden in een stukje werkelijkheid.
Computerafbeeldingen zijn zeer geschikt om te schatten in hoeverre werkelijkheid en namaak zo op het oog op elkaar lijken. Ik geef onmiddellijk toe dat het liegen met woorden of statistiek niet op kan tegen de expertise van liegen met plaatjes. Het kunnen onderscheiden van werkelijke en gesimuleerde koersgrafieken is nou niet bepaald de sterkste kant van het menselijk oog. De modellen die ik voorstel maken dat allemaal goed doordat, dankzij de huidige computers met hun grafische mogelijkheden, iedere lezer met de modellen kan spelen en de beweringen kan toetsen.
Modellen
We beginnen met een vergelijking van een reeks werkelijke koersverlopen met diverse modellen. In onze verzameling van diagrammen onderscheiden we drie categorieën: zeer eenvoudig, eenvoudig en gecompliceerd.
De grillige grafiek (DD) toont hoe de waarde van de Duitse Mark ten opzichte van de Amerikaanse dollar verandert. Fractale modellen moeten dergelijke turbulente patronen kunnen beschrijven.
Werkelijke gegevens over prijsveranderingen komen voor in het diagram aangeduid met DD. De horizontale as geeft het tijdsverloop weer. Verticaal zijn prijsstijgingen (positief) en dalingen (negatief) uitgezet. Dit diagram behoort tot de categorie gecompliceerd. Allereerst is er een achtergrond van normale, kleine veranderingen. Soms treden snelle veranderingen op, zelfs zeer abrupte, waarbij de achtergrond wegvalt. De grote veranderingen komen verdacht vaak als groepen voor. Bijna onvermijdelijk herkent het oog in een koersoverzicht een zeer onregelmatige afwisseling tussen kalme en turbulente perioden. Ik zal proberen te laten zien dat er een model bestaat dat, al lijkt dat ambitieus, deze waarnemingen in een keer kan genereren.
BO, M3 en M5: Bij een beurskoers die zich gedraagt volgens de Brownse beweging is een grafiek van de relatieve dagelijkse veranderingen (B0) nogal monotoon. Volgens Mandelbrots fractale model uit 1963 (M3) zijn de prijsveranderingen onafhankelijk van elkaar en zijn ze schaalbaar. Het eveneens fractale model uit 1965 (M5) is dynamischer en legt verbanden over langere perioden.
Dit doel is zeker niet haalbaar met het eenvoudige diagram B0. Dat toont een saai koersverloop, met een statische, normale achtergrond met een onveranderlijke mate van beweeglijkheid en geen spoor van discontinuïteit. Al verschillen de dagelijkse patronen in zo’n koersoverzicht, alle maanden zien er vrijwel hetzelfde uit.
Het eenvoudige diagram M3 is minder onrealistisch. Het laat grote prijsveranderingen zien die van het normale patroon afwijken. Deze prijsveranderingen zijn echter geïsoleerd tegen een achtergrond met constante veranderlijkheid. Het tweede eenvoudige diagram, M5, heeft met elkaar verweven voordelen en nadelen: de achtergrond is absoluut niet monotoon, maar grote prijsveranderingen ontbreken.
Fractals
Zo op het eerste gezicht zien de diagrammen B0, M3 en M5 er onrealistisch uit. Waar komen deze drie diagrammen vandaan? B0 illustreert een model dat in 1900 door de statisticus Louis Bachelier (1870-1946) is geïntroduceerd. Het is de random walk, ofwel de Brownse beweging. Bachelier introduceerde dit begrip nog voordat in 1905 Albert Einstein dit model gebruikte om er de beweging van kleine deeltjes mee te beschrijven. De kwantitatieve theorie van de Brownse beweging, door Bachelier geïntroduceerd in zijn proefschrift over het speculeren met staatsobligaties, vindt dus zijn oorsprong in de financiële wereld. Beroemd en rijk is Bachelier er niet mee geworden.
Bachelier stelde dat koersgrafieken nutteloos zijn, aangezien volgens hem de opeenvolgende prijsveranderingen statistisch onafhankelijk zijn. Alle beschikbare informatie is al in een koers verwerkt. Slechts nieuwe, per definitie onvoorspelbare informatie zorgt voor het lukraak heen-en-weer bewegen van een koers.
In de eerste benadering van Bacheliers model volgt een prijs een eendimensionale Brownse beweging. Het is als het gooien met een muntje waarbij kop een prijsstijging is, bijvoorbeeld met 1%, en munt een net zo’n grote prijsdaling. De grafiek toont, uitgezet tegen de tijd, het verschil tussen het aantal malen kop en het aantal malen munt. De ontstane lijn heeft veel weg van een landschap. Hoe hoog de pieken in zo’n wiskundig landschap ook zijn, steeds weer daalt de horizon naar de zeespiegel waarna de grafiek de grillige zeebodem volgt. In The fractal geometry of Nature beschrijf ik hoe daarbij de doorsnijdingen van de zeespiegel onregelmatig als groepen voorkomen. De wiskundige functies die dergelijke patronen beschrijven, noemde ik fractals, afgeleid van het Latijnse woord fractus dat zowel ‘gebroken’ als ‘onregelmatig’ kan betekenen. Bij veel fractals is er sprake van een breuk als exponent. 19e-eeuwse wiskundigen beschouwden dergelijke functies als monsters, ze weken af van de vertrouwde regelmatige structuren van Euclides en de dynamica volgens Newton. Een dergelijke Brownse fractal kwam van pas toen ik begin jaren zestig het optreden van fouten bij het versturen van computerinformatie per telefoonlijn onderzocht. De fouten ontstonden door ruis in de verbinding en kwamen onregelmatig en in groepen voor. Dat was de eerste maal dat ik met een fractale functie een praktisch proces kon beschrijven.
Invarianties
Bij de Brownse beweging hoort het begrip onveranderlijke eigenschappen ofwel invarianties. Invarianties zijn een bekend begrip uit de harde wetenschap en zeer geliefd door natuurkundigen en wiskundigen zoals ik. We zijn het gelukkigst met modellen die aantrekkelijke invariantie-eigenschappen voorstellen. Klassieke geometrie begint bijvoorbeeld met onderzoeken wat men kan doen als men de vormen terugbrengt tot onveranderlijke lijnen, vlakken en ruimten. De simpelste natuurkunde ontstaat wanneer een hoeveelheid dichtheid, temperatuur, druk of snelheid gelijkmatig is verdeeld. De lijn, het vlak, de ruimte of de homogene verdeling daarop zijn onveranderlijk onder zowel verplaatsing als verandering van schaal of, in technische termen, ze zijn stationair en schaalbaar. Beide eigenschappen, stationair zijn en schaalbaarheid, strekken zich ook uit tot de toepassing van de Brownse beweging in een financieel model. Bij het stationair zijn van een proces passen gelijke delen van een rechte lijn precies op elkaar. Bij het financiële model is dat niet mogelijk. Twee even lange delen van een weergave van een kansproces zoals de Brownse beweging kunnen echter wel statistisch stationair zijn, zodat we ze mogen verwisselen.
Schaalbaarheid
Een eenvoudige functie verdeelt een lijnstuk in drie delen. Deze functie is vervolgens op de afzonderlijke delen toepasbaar. In een aantal stappen ontstaat een grafiek die de grilligheid van de beurskoersen benadert. De oorspronkelijke functie blijft herkenbaar. Bij fractale modellen is de gelijkenis van een functie op diverse schalen een cruciaal uitgangspunt.
Schaalbaarheid houdt in dat een stukje van de grafiek van de Brownse beweging statistisch uitwisselbaar is met niet-overlappende tijdstoenamen van uiteenlopende lengte. We kunnen de variatie over een maand statistisch vergelijken met de variatie op een dag of in een jaar. Deze schaalbaarheid staat bij fractals ook wel bekend als zelfaffiniteit. Hoe de kenmerken van delen van een grafiek kunnen overeenkomen met het geheel (alle getekend in hetzelfde formaat) blijkt uit het samenstellen van een eenvoudige functie. In een aantal opeenvolgende stappen brengen we structuur aan in een prijsverandering tussen tijd 0 en tijd 1. Het vertrekpunt, ofwel de initiator, is een rechthoek. Een rechte lijn, de trend, doorsnijdt deze rechthoek. Vervolgens verdelen we deze trend in stukken met een generator, ofwel een gebroken lijn die bestaat uit drie delen. Daarna passen we de generator toe op de drie afzonderlijke delen, na aanpassing aan een nieuwe schaal met dezelfde eindpunten, eerst horizontaal en dan verticaal.
Slechts de eerste fasen zijn weergegeven, maar hetzelfde proces gaat door, in theorie eindeloos en in de praktijk zover als een computer het kan. Uiteindelijk verkrijgt elk deel van de eerste benadering een vorm die op het geheel lijkt. Onveranderlijkheid op diverse schalen is blijkbaar aanwezig omdat het in dit model was ingebouwd. Het eenvoudige model schept zo een enorme rijkdom aan structuur. Dit gegeven is een belangrijke vondst voor de fractale geometrie en de chaostheorie.
Abstracte benadering
Het model van Bachelier is aantrekkelijk en verhelderend. Nadat het in de jaren zestig is herontdekt, kreeg het in de financiële wiskunde veel aandacht. Toch zag men in dat het niet voldoet in de praktijk. Uit de vele gegevens die inmiddels beschikbaar waren, bleek dat in de handel salvo’s van prijsveranderingen voorkomen en dat prijsvariatie niet gelijkmatig is. Er ligt aan prijsontwikkelingen geen zogenaamde Gauss-verdeling ten grondslag, de ‘normale’ kansverdeling die is beschreven door de wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Bovendien blijken tal van prijsveranderingen statistisch afhankelijk.
Sommige wiskundigen en economen hebben getracht verbeteringen aan te brengen in de beschrijving van Bacheliers Brownse beweging. Ze blijven alle met de voeten op aarde staan en veranderen gaandeweg de modellen, corrigerend voor elke afwijking die ze in de gaten krijgen. In tegenstelling tot deze aanpassingen die een vaste, solide basis hebben, lijkt de benadering die ik in 1963 voorstelde (en nog steeds volg) uitermate abstract.
Toch blijkt mijn abstracte benadering veel effectiever. Het is de theoretische herformulering en uitgebreide uitwerking van de nuchtere beursfolkore die stelt dat alle beursgrafieken op elkaar lijken. Het uitgangspunt is dat als we de prijsverlopen van enkele koersgrafieken opnieuw tekenen maar dan in hetzelfde formaat, het niet mogelijk is om te vertellen welke grafiek week-, dag- of zelfs uurgegevens bevat. Letterlijk betekent dit dat ieder klein stukje lijkt op het geheel, behalve dan dat het een kleinere schaal heeft. Deze eigenschap definieert beursgrafieken als fractals. Inmiddels zijn er voor fractals vele krachtige wiskundige onderzoeksgereedschappen beschikbaar.
Verbeteringen
De diagrammen M3 en M5 tonen twee gedeeltelijke verbeteringen. M3 komt voort uit een financieel model dat ik in 1963 voorstelde. Het gaat ervan uit dat opeenvolgende prijsveranderingen onafhankelijk zijn en geen Gauss-verdeling volgen. Bovendien is er sprake van invariantie, ofwel de uitkomsten van het model zijn stationair en schaalbaar. Men kan bijvoorbeeld de verdeling van de dagelijkse prijsveranderingen over een periode van vijf jaar bekijken. Past men deze verdeling vervolgens toe op maandelijkse prijsveranderingen, dan ontstaat er een grafiek die alle extreme koersbewegingen van een complete eeuw lijkt te tonen, inclusief recessies en depressies. Dit model is toepasbaar op de ontwikkeling van goederenprijzen op de beurs, zoals de katoenprijs. In een dubbellogaritmische grafiek van de prijsveranderingen tegen de frequentie van die prijsveranderingen blijkt overduidelijk hoe de werkelijkheid het model volgt. Waar bij een model dat werkt met een Gauss-verdeling de gemiddelde waarden sterk bepalend zijn, let dit model meer op de afwijkende waarden. Het is een stationair niet-Gaussisch stabiel proces.
De afbeelding M5 komt voort uit mijn tweede fractale beursmodel, dat ik in 1965 voorstelde. Dit is gebaseerd op fractionele Brownse bewegingen. Het is dynamischer en is toepasbaar op koersgegevens waarin veranderingen een lange-termijnafhankelijkheid hebben. Het beschrijft zogenaamde cyclische niet-periodieke veranderlijkheid op alle tijdschalen. Dergelijke processen komen voor in de waterhuishoudkunde. De oudste gegevens van zo’n proces betreffen de jaarlijkse afvoer van de Nijl – daarom noem ik de niet-periodieke cycliciteit het Jozef-effect, naar de zoon van Jacob en Rachel, die droomde van de zeven vette en de zeven magere jaren die Egypte zou doormaken.
Deze twee modellen zijn slechts toepasbaar op bepaalde typen koersontwikkelingen. Het fractale model uit 1963 is zeer geschikt voor het beschrijven van de ontwikkeling van goederenprijzen, zoals de katoenprijs, terwijl bij het Jozef-effect de afhankelijkheid op lange termijn een rol speelt. Het vormde voor mij een uitdaging om een model te vinden dat de niet-Gaussische verdeling (uit het 1963-model) en de afhankelijkheid op lange termijn (uit het 1965-model) combineert.
Multifractal
BI en DD: Het gedrag van werkelijke koersen is wispelturiger dan de Brownse beweging kan beschrijven. Deze grafieken tonen de relatieve prijsveranderingen van het IBM-aandeel en de verhouding tussen de koers van de Amerikaanse dollar en de Duitse Mark.
De twee gecompliceerde diagrammen BI en DD tonen werkelijke prijsontwikkelingen. BI toont het koersverloop van IBM-aandelen en DD toont de wisselkoersverhouding tussen de dollar en de Duitse Mark. De andere gecompliceerde diagrammen zijn daarentegen uitermate kunstmatig – ze zijn door een computer gemaakt. Zij komen voort uit mijn derde, meest recente en meest algemene fractale beursmodel. Dit is een model waarvan mijn modellen uit 1963 en 1965 en het model van Bachelier speciale gevallen zijn.
Dit algemene fractale beursmodel bevat een belangrijk nieuw geïntroduceerd begrip, dat ik multifractale handelstijd noem. Net zoals in Bacheliers model beschrijven de prijzen een random walk. Ze doen dat echter niet in het normale gestage tijdsverloop. Ze volgen daarentegen een handelstijd die min of meer een product is van variabele snelheden (derhalve de aanduiding multifractal). Twee technische uitdagingen die zijn overwonnen, waren het geven van een technische betekenis aan snelheid en het herkennen van de juiste handelstijd.
De fractale beursmodellen uit 1963 en 1965 zijn grensgevallen van Mandelbrots nieuwste model, waarin hij de zogenaamde multifractale handelstijd heeft verwerkt. De bovenste grafiek lijkt nog het meest op een weergave van de Brownse beweging. De volgende grafieken van relatieve prijsveranderingen vertonen in toenemende mate de grilligheid waarmee de markt in het echt beweegt.
De laatste computer-gegenereerde diagrammen tonen prijsveranderingen volgens mijn huidige multifractale model. De bovenste lijkt een weergave van de Brownse beweging, de daaropvolgende lijnen wijken in toenemende mate af van de Brownse beweging, ofwel de wispelturigheid varieert steeds meer. Door te spelen met dit soort plaatjes verkrijgen we, naar wens, een enorm scala aan niveaus en vormen van wispelturigheid.
Er zijn genoeg wiskundige eigenschappen van het multifractale model die veel verder reiken dan de plaatjes, die laten zien dat complexe prijsgrafieken zoals DD inderdaad multifractaal zijn. Zonder te wachten op meer wiskunde, is het nu tijd om met tal van simulaties een inschatting te maken van portfoliorisico’s. De wiskundige theorie van de Brownse beweging is mooi, maar voorspelt onrealistisch lage risico’s. Mijn oudere fractale beursmodellen zijn te gespecialiseerd. Mijn recente multifractale model is niet het laatste woord, maar ziet er zeer belovend uit.
Wat moet een corporate treasurer, een geldhandelaar of een andere marktstrateeg concluderen uit dit alles? Hij weet dat prijzen niet continu wild schommelen. Hij weet ook dat dynamiek – verre van het statische dat kan worden genegeerd – plaatsneemt in het hart van wat gebeurt in de financiële markten. De technieken die ik voorstel benaderen de werkelijkheid. Ze voorspellen niet noodzakelijk een prijsdaling of prijsstijging op een specifieke dag of tijdstip. Wel geven ze de waarschijnlijkheid aan van marktbewegingen, zodat men daar klaar voor kan zijn. In andere woorden, het multifractale model is een helder licht in de schijnbaar ondoordringbare oerwoud van de aandelenmarkt.
Scherp geformuleerd
Benoit B. Mandelbrot. Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration and Risk. Springer-Verlag, 1997. ISBN 0387983635. $39,95.
In Fractals and Scaling in Finance geeft Mandelbrot een overzicht van zijn werk op het gebied van het beschrijven van financiële reeksen, zoals aandelenprijzen of wisselkoersen. In de standaardtheorie is het uitgangspunt de Brownse beweging, met als belangrijkste eigenschappen de normale verdeling van de veranderingen in aandelenprijzen en de onafhankelijkheid van opeenvolgende veranderingen. Het realistischere model waarin deze eigenschappen gelden voor procentuele veranderingen staat bekend als de geometrische Brownse beweging. Die vormt bijvoorbeeld de basis voor de met een Nobelprijs onderscheiden formule van Black en Scholes voor de waarde van opties.
Mandelbrot stelt dat beide eigenschappen in strijd zijn met de werkelijkheid. Hij ontwikkelde al in de jaren zestig alternatieven gebaseerd op het begrip scaling. Het basisidee is dat een grafiek van een prijs, tegen de tijd uitgezet, hetzelfde soort patroon volgt als een uitvergrote (herschaalde) versie van een deel van de grafiek. De Brownse beweging voldoet aan deze eigenschap, maar is slechts een grensgeval van de klasse van stabiele verdelingen, die wel een verklaring kunnen bieden voor het optreden van grote sprongen. Een andere uitbreiding van Mandelbrot is de fractionele Brownse beweging, die de lange-termijnafhankelijkheid in prijsveranderingen beschrijft en ook weer aan het schalingsprincipe voldoet.
Het boek bestaat voor ongeveer de helft uit herdrukken van oudere artikelen en voor de rest uit nieuwe hoofdstukken. Hoewel met name het nieuwe gedeelte geschreven is zonder al te veel geavanceerde wiskunde, zal het voor een onbekende met deze materie toch niet eenvoudig zijn alle argumenten te volgen. Opvallend is de schaarste aan toepassingen op financiële gegevens; de vaak scherp geformuleerde beweringen van Mandelbrot, waaronder veel kritiek op ander onderzoek, worden hierdoor niet echt empirisch gestaafd. Ook zijn verweer tegen kritiek van anderen komt niet altijd overtuigend over; daardoor doet het boek af en toe denken aan een autobiografie, waarin de auteur ook niet de nodige afstand heeft tot het onderwerp. Niettemin is de beschrijving van de ontstaansgeschiedenis van Mandelbrots ideeën vaak boeiend, met name voor degenen die al enigszins in deze materie zijn ingevoerd.
Bronnen
Benoît B. Mandelbrot. The fractal geometry of nature. W.H. Freeman and Company, New York, 1983. ISBN 0716711869.