Je leest:

Évariste Galois had nog nét tijd voor een geniale ontdekking

Évariste Galois had nog nét tijd voor een geniale ontdekking

Auteur: | 22 september 2003

Afgewezen voor de polytechnische school omdat zijn wiskundekennis ontoereikend zou zijn; twintig jaar toen hij stierf in een duel, maar in de nacht voor zijn dood zette hij een revolutionaire theorie op papier.

“Ik ben uitgedaagd door twee patriotten,” schreef de Franse wiskundige Évariste Galois gedurende de nacht van 29 op 30 mei 1832 aan twee van zijn vrienden “Het is onmogelijk te weigeren. Vergeef mij dat ik jullie niet eerder op de hoogte heb gebracht. Mijn tegenstanders hebben mijn woord van eer geëist dat ik niemand iets zou vertellen. Jullie taak is eenvoudig: bewijs dat ik tegen mijn wil heb gevochten, nadat ik alle mogelijke manieren van verzoening had geprobeerd. Zeg of ik soms een leugenaar ben geweest in de meest onbeduidende zaken. Herinner mij. Het noodlot heeft verhinderd dat ik lang genoeg zou leven om door mijn land te worden herdacht. Ik sterf als jullie vriend, E. Galois.”

De brief die Galois vlak voor zijn dood schreef. Links onder het bibliotheekstempel zijn noodkreet: “Je n’ai pas le temps.” (Ik heb geen tijd.)

klik op de afbeelding voor een vergroting.

Diezelfde nacht schreef Galois nóg een brief. Ditmaal een die het verdere verloop van de wetenschap drastisch zou veranderen. Aan zijn vriend Auguste Chevalier schreef hij: “Ik heb een aantal nieuwe ontdekkingen gedaan in de wiskunde. De eerste gaat over algebraïsche vergelijkingen, de tweede over integralen. Wat de algebraïsche vergelijkingen betreft daarvan ben ik de condities nagegaan om ze op te lossen met behulp van de vier rekenkundige bewerkingen (optellen aftrekken, vermenigvuldigen en delen) en het trekken van wortels. Dit heeft mij in staat gesteld de theorie uit te diepen en alle mogelijke herleidingen van een vergelijking te beschrijven, zelfs als die niet oplosbaar zijn met behulp van de bovenvermelde bewerkingen. Alles hierover kan worden gevonden in drie bijgesloten manuscripten. Maak een verzoek aan Carl Gustav Jacobi en Carl Friedrich Gauss openbaar. Vraag hen hun mening te geven over het belang van deze theorema’s. Ik hoop dat sommigen er daarna profijt in zien om orde te scheppen in deze chaos.”

Gebrek aan tijd

De hele nachtlang probeert Galois zijn manuscripten te ordenen. Tegen de klok in probeerde hij aan het papier toe te vertrouwen wat er omging in zijn koortsachtige brein. Eén keer stopte hij zelfs, en schreef in de kantlijn: “Dit moet nog verder worden uitgewerkt. Maar ik heb geen tijd!” Daarna ging hij gehaast verder met de volgende passage. Zijn dood zag hij met rasse schreden naderen. Maar wát hij opschreef gedurende die uren voor de dageraad, zou in ieder geval generaties van wiskundigen bezighouden.

Galois’ wanhopige gemoedstoestand tijdens het schrijven van zijn brieven en het bewerken van zijn manuscripten was volkomen gerechtvaardigd. Kort na zonsopkomst verliet hij zijn kamer in het pension Sieur Faultrier in Parijs en liep naar een dichtbij gelegen meertje. Daar ontmoette hij zijn tegenstander(s): vermoedelijk de politieke activist Pécheux d’Herbinville en/of diens vriend Ernest Duchatelet. Volgens een recent onderzoek van zijn biograaf René Taton nam het duel vermoedelijk de vorm aan van een soort Russische roulette: slechts één van de duelleerpistolen was geladen. De wiskundige kans op een treffer was dus één op twee, of één op drie. De kans keerde zich tegen Galois. Hij was het die een schotwond opliep in zijn buik en werd achtergelaten op de oever van het meertje. Een voorbijganger vond hem en bracht hem naar het ziekenhuis. Galois stierf de volgende dag – slechts twintig jaar en zeven maanden oud.

Galois als revolutionair én wetenschapper op een Franse postzegel.

Groepentheorie

Veertien jaar na zijn dood werden de manuscripten die hij naar Chevalier had gestuurd, uitgewerkt en gepubliceerd, en wat zich toen voordeed was een ware revolutie in de wiskunde. In het begin waren er nog maar weinigen die het volledig konden bevatten. Maar wat tegenwoordig de ‘groepentheorie van Galois’ wordt genoemd, vond al snel toepassingen in grotere gebieden van de wiskunde: de theorie van de algebraische vergelijkingen, de functietheorie, de invariantentheorie, de meerdimensionale meetkunde, en de topologie. Maar ook buiten de wiskunde was de groepentheorie al gauw niet meer weg te denken in de scheikunde, quantumfysica, waarschijnlijkheidsrekening en kristallografie. Zelfs de ‘magische kubus’ van de Hongaar Erna Rubik – een driedimensionaal logicaspel waarmee miljoenen zich in het begin van de jaren tachtig hebben vermaakt – ontleende zijn bestaande aan de theorie van Galois. Wat behelst de groepentheorie?

Even snel een verduidelijking tussendoor: een groep is een verzameling handelingen die met een object kunnen worden verricht. Deze handelingen, de elementen van de groep, moeten aan vier voorwaarden voldoen: die van geslotenheid, associativiteit, identiteit en inverse. Een voorbeeld. Het object is een soldaat op wacht, en de groep is de verzameling bevelen die hij kent. Dat zijn er vier: 1) Doe niets; 2) Maak een kwartslag links; 3) Maak een kwartslag rechts; 4) Maak een halve slag. De vier woorden hebben de volgende betekenis. Geslotenheid: Bij combinatie van twee elementen uit de groep ontstaat er een ander element uit de groep. Een kwartslag links, gevolgd door een halve slag, mondt uit in dezelfde situatie die zou ontstaan na alleen een kwartslag rechts. Associativiteit: Als drie elementen, bijvoorbeeld bevelen 2, 3 en 4 worden gecombineerd, doet het er niet toe of eerst 2 en 3 worden uitgevoerd en daarna 4, of eerst 2 en 4, en daarna 3. In beide gevallen is het resultaat dat de soldaat een halve slag is gedraaid. Identiteit: Er is één element in de groep dat geen enkel effect heeft. Voor de soldaat is dat het bevel: doe niets. Inverse: Voor ieder element in de groep is er een opheffend element, zodanig dat die twee elementen, achtereenvolgens uitgevoerd, de oorspronkelijke situatie opleveren. Als de soldaat een kwartslag links maakt, is de kwartslag rechts om hem weer in zijn uitgangspositie terug te brengen.

Natuurlijk is dit maar een snelle verduidelijking. Galois had iets geheel anders op het oog. Hij wilde een probleem uit de weg helpen dat al meer dan driehonderd jaar de grootste wiskundigen had beziggehouden: het al dan niet kunnen oplossen van vergelijkingen. In de tijd van Galois konden vergelijkingen tot en met de vierde graad met de bekende rekenkundige methoden worden opgelost. De oplossing van een eenvoudige tweedegraadsvergelijking (ax2 + bx + c = 0) was al aan de Babyloniërs bekend. Het komt neer op het trekken van de vierkantswortel van een rekenkundige bewerking van de coëfficiënten a b, en c (in dit geval de vierkantswortel van b2 – 4ac). In het begin van de 16e eeuw lukte het de Italiaanse wiskundigen Scipione dal Ferro en Niccoló Fontana de derdegraadsvergelijking (ax3 + bx2 + cx + d = 0) op te lossen met behulp van een derdemachtswortel. Hun landgenoot Lodovico Ferrari kon kort daarna de vierdegraadsvergelijking oplossen met behulp van een vierdemachtswortel. Maar het zoeken naar een oplossing voor vergelijkingen van nog hogere graad had meer dan drie eeuwen lang geen resultaat. Een aantal wiskundigen vermoedde dat zulke vergelijkingen niet meer oplosbaar zouden zijn met behulp van de gewone rekenkundige methodes. Met zijn groepentheorie bewees Galois dat zoiets ook onmogelijk was. Vijfdegraadsvergelijkingen en hoger zijn op die manier niet oplosbaar. Een twintigjarige wiskundestudent had vlak voor zijn dood een eeuwenoud probleem tot een definitief eind gebracht.

Évariste Galois op vijftienjarige leeftijd als middelbare scholier op het Collège Royal de Louis-le-Grand. Een jaar later ontstond zijn belangstelling voor wiskunde en ontwikkelde hij zich op dat gebied tot een genie.

Wiskundeknobbel

Évariste Galois (25 oktober 1811, Borg-Ia-Reine – 31 mei 1832, Parijs) is niet alleen bekend geworden vanwege zijn wiskundige prestaties, maar ook vanwege zijn tumultueuze levensloop. Het duel is één voorbeeld, de directe aanleiding ook. “Ik sterf als gevolg van een affaire met een behaagziek meisje van laag allooi, en als slachtoffer van twee anderen die zij bedriegt,” schreef hij een paar dagen voor het duel. Maar de eigenlijke aanzet tot de ongelukkige gebeurtenis vond al veel eerder plaats toen zijn wiskundige prestaties keer op keer werden miskend.

Galois’ wiskundeknobbel uitte zich op vijftienjarige leeftijd, toen hij de derde klas van het voorbereidend wetenschappelijk onderwijs moest doubleren. Hij kreeg een wiskundedocent die hem in alle opzichten stimuleerde. Galois verslond zijn wiskundeboeken en las ook al de meesterwerken uit die tijd: Legendre’s werk over geometrie en Lagrange’s boeken over vergelijkingen, functies en analyse. Maar naarmate zijn wiskundekennis toenam, begon hij zijn niet-exacte vakken te verwaarlozen. Zelfs zijn wiskundedocent vermaande hem om systematischer te werk te gaan. Galois volgde zijn advies niet op. Een jaar te vroeg besloot hij toelatingsexamen te doen voor de polytechnische school. Hij werd afgewezen zijn wiskundekennis zou te ontoereikend zijn!

Zo’n onrechtvaardigheid, voor een wiskundig genie: zijn volgende wiskundedocent merkte direct dat hij Galois niets meer kon leren en deed een beroep op de polytechnische school om hem alsnog zonder examen toe te laten. Hoewel zijn aanbeveling niet werd opgevolgd, had die actie toch een spectaculair resultaat. In maart 1829 – als 17-jarige scholier – publiceerde Galois zijn eerste artikel in een wiskundig tijdschrift: Bewijs van een theorema over periodiek repeterende breuken. Inmiddels was hij ook al bezig met het probleem van de vergelijkingen. De eerste aanzet tot wat later de groepentheorie werd, stuurde hij op 25 mei en 1 juni 1829 naar de Franse Academie van Wetenschappen. Twee maanden later deed hij opnieuw toelatingsexamen voor de polytechnische school. Hij werd voor een tweede keer, nu definitief, afgewezen. Ditmaal omdat hij zich niet aan de methode van uitleg wilde houden die door de examinator was voorgesteld.

Haat

Is het een wonder dat Galois een steeds grotere haat opvatte tegen de gevestigde orde en tegen de machtswillekeur van hooggeplaatste wiskundigen in het bijzonder? En toch het kon nog erger. Want ook de artikelen die hij had opgestuurd naar de Franse Academie van Wetenschappen werden afgewezen. Augustin Louis Cauchy, een eminent wiskundige die de artikelen moest beoordelen, begreep ze niet of wilde ze niet begrijpen. Toen Galois in november 1829 de École Normale Superieure betrad (een opleiding voor middelbare schooldocenten) leerde hij ook waarom. De gevestigde wiskundige Niels Hendrik Abel had onafhankelijk van hem soortgelijke resultaten verkregen. In februari 1830 probeerde Galois het daarom opnieuw. Ditmaal om mee te dingen naar de Grote Prijs van de Academie. Zijn inzending was gericht aan Jean Baptiste Fourier, de wiskundige die bekend is geworden door de ontdekking van wat nu de Fourier-analyse wordt genoemd. Fourier stierf in mei, en het manuscript van Galois werd niet in zijn nalatenschap teruggevonden. Galois beschuldigde de Academie er later van zijn manuscript opzettelijk te hebben verduisterd. Hij was immers liberaal en van huis uit tegen het koningschap gericht. In het conservatieve Frankrijk van toen kon de Academie misschien ook geen prijs toekennen aan een eerstejaars student?

Hoe de werkelijke toedracht ook was: Galois werd steeds meer een anarchist. Toen koning Louis Philippe op de troon kwam, sloot hij zich aan bij het Republikeins Genootschap en nam deel aan de demonstraties en oproeren die de volgende maanden woedden in Parijs. in december 1830 schreef hij een brief aan de directeur van zijn school en noemde hem een verrader. Galois werd van de school verwijderd. Op 9 mei 1831 nam hij deel aan een republikeins banket en bracht een toast uit op Louis Philippe met een glas én een dolk in zijn hand. De volgende dag werd hij gearresteerd en een maand lang in de gevangenis opgesloten.

“Ik sterf als slachtoffer van een behaagziek meisje van laag allooi en twee anderen die zij bedriegt, " schreef Galois een paar dagen voor het noodlottige duel. In de kantlijn van zijn wiskundig manuscript is de naam ‘Stéphanie’ Ie lezen onder de naam ‘Évariste’. Ook de initialen ‘E’ en ‘S’ zijn tot één cursief geheel ineengevlochten. Het meisje is geïdentificeerd als Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, dochter van een Parijse arts.

Twijfelachtige eer

Nog geen maand na zijn vrijlating werd hij opnieuw gearresteerd, voor het onrechtmatig dragen van een uniform en het dragen van wapens. Ditmaal bracht hij acht maanden door in de gevangenis van Saint-Pélagie. Als gevolg van een cholera-epidemie werd hij in maart 1832 overgebracht naar het verpleeghuis Sieur Faultrier in Parijs. Daar ontmoette hij Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, de dochter van de geneesheer. Voor haar twijfelachtige eer streed hij op 30 mei 1832 met haar medeminnaar(s), en blies zijn laatste adem uit. Niemand van de andere wiskundigen bemerkte het grote verlies. Alleen zijn republikeinse vrienden namen wraak. Zijn begrafenis op 2 juni 1832 mondde uit in een oproer, gevolgd door een bloedige veldslag met de politie bij het klooster Saint-Méry.

Nu nog puzzelt de wetenschap over Galois’ theorie. Hier de Amerikaanse natuurkundige Lisa Larrimore bij haar colloqium over Galois.

En zijn wiskundige testament, dat hij een paar uren voor zijn dood ternauwernood schreef? Zoals al vermeld werd dat veertien jaar na zijn dood geopenbaard. Galois’ eigen wraak voor zijn miskenning kwam toen pas goed op gang: nú nog puzzelen ’s werelds grootste wiskundigen over zijn theorie, waarvan de reikwijdte op nog geen stukken na volledig is bepaald.

Bronnen

  • E.T. Bell: Men of Mathematics, New York, 1937.
  • L. Infeld: Whom the Gods Loce, The Story ot Evariste Galois; New York,1948.
  • T. Rothman: The Short life Evariste Galois; artikel in Scientific American, April 1982.
  • D. Gorenstein: The Enormous Theorem; artikel in Scientific Amencan, December 1985.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 22 september 2003

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.