Je leest:

Euler 300 jaar

Euler 300 jaar

Auteur: | 13 april 2007

Op zondag 15 april 2007 is het driehonderd jaar geleden dat Leonhard Euler in Basel werd geboren.

Overbekend is het (ware) verhaal van de doofheid van Ludwig van Beethoven, de componist die bleef doorcomponeren ook toen hij geheel doof geworden was. Veel minder bekend is wat de wiskundige Leonhard Euler overkwam. In 1735 loofde de Académie in Parijs een beloning uit voor de oplossing van een astronomisch probleem. Euler, bezeten van de opdracht, werkte er drie dagen onophoudelijk aan en was hiermee al zijn collega’s te vlug af, zodat hij de prijs in de wacht sleepte. Dit ging niet zonder problemen: de hoge werkdruk en abominabele werkomstandigheden kostten de 28-jarige Euler het licht in een oog. Het verlies van een oog was voor hem maar een kleine handicap en bood zelfs een voordeel: hij zou nu ‘minder afgeleid worden’, zoals hij zelf gezegd schijnt te hebben. Maar dertig jaar later werd hij door staar in zijn goede oog geheel blind. Zijn wiskundige arbeid leed er niet onder, want hij produceerde, tot aan zijn dood op 18 september 1783, nog vele publicaties van een buitengewone diepgang en helderheid. Hij was in de zeventien levensjaren die zich in duisternis voltrokken, zo mogelijk productiever dan ooit. Opschrijven kon hij zijn gedachten echter niet meer, hij moest ze dicteren.

In Zwitserland is een postzegel uitgegeven ter gelegenheid van de driehonderdste geboortedag van Leonhard Euler

Driehonderdste geboortedag

Leonhard Euler werd geboren op 15 april 1707 in Basel, Zwitserland. Hij is de meest productieve wiskundige uit achttiende eeuw: hij schreef meer dan 800 artikelen en boeken. In 1775 schreef hij ongeveer een artikel – in lengte variërend van 10 tot 50 pagina’s – per week. Zijn verzameld werk beslaat zo’n 25000 pagina’s, verdeeld over 79 delen. Zijn bijdragen hadden betrekking op vrijwel alle gebieden van de wiskunde, zoals getaltheorie, meetkunde, (complexe) analyse en toegepaste wiskunde. Zijn driehonderdste geboortedag – 15 april 2007 – gaat in de wiskundewereld niet onopgemerkt voorbij. De Mathematical Association of America organiseert komende zomer een veertiendaagse ‘Eulertoer’, waarin zijn geboorteplaats Basel, en de twee steden waar hij lange tijd werkzaam is geweest, Berlijn en St. Petersburg, worden bezocht. Het Eulerarchief heeft ter gelegenheid van Eulers driehonderdste geboortedag een stevige update gekregen. Dit archief is een online verzameling van de teksten van Leonhard Euler. De website biedt onder meer scans van veel originele publicaties, informatie over de data van publicaties en vertalingen van de belangrijkste zaken, zoals abstracts, in het Engels.

Wiskundige notaties van Euler

Niemand heeft zo veel bijgedragen aan de moderne wiskundige notatie als Leonhard Euler. Hij schreef als eerste f(x) om een functie aan te duiden. Hij gebruikte als eerste de sigma-notatie (Σ) voor een som. De huidige namen van de goniometrische functies sin, cos en tan zijn van hem afkomstig. Hij voerde de Griekse letter p in voor de verhouding tussen omtrek en middellijn van de cirkel. Voor de imaginaire eenheid √(-1) voerde hij de letter i in. En voor het grondtal van de natuurlijke logaritme, een irrationaal getal dat bij benadering gelijk is aan 2,71828, gebruikte hij de letter e.

Euler voert de notatie e in

Over het antwoord op de vraag waarom Euler de letter e gebruikte bestaat geen algemene consensus. Het is onwaarschijnlijk dat hij deze letter koos omdat het zijn initiaal is: Euler was daarvoor te bescheiden. Dat Euler zijn keuze baseerde op het woord ‘exponentieel’, wordt door veel wiskundigen eveneens verworpen. Eli Maor geeft in het boek e. The story of a number (1994) als meest waarschijnlijke reden dat Euler een letter koos uit het begin van het alfabet. De letters a, b, c en d werden al veelvuldig gebruikt in de wiskunde; de letter e daarentegen was nog ‘vrij’.

Een genie op vele terreinen

Leonhard Euler heeft op vrijwel elk gebied van de wiskunde grote bijdragen geleverd. In de getaltheorie bewees Euler in 1732 dat het getal 2[^25^] + 1 niet priem is; een opmerkelijke prestatie in een tijd dat er geen rekenmachines zijn. In 1753 schreef Euler aan Goldbach dat hij de Laatste Stelling van Fermat voor het geval n = 3 had bewezen: er bestaan geen geheeltallige oplossingen voor de vergelijking x3 + y3 = z3. In zijn bewijs zat echter een fout, maar dat kon gelukkig gerepareerd worden. Een ander belangrijk resultaat van Euler in de getaltheorie is een generalisatie van de kleine stelling van Fermat.

In de grafentheorie is Eulers oplossing van het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen beroemd geworden.

In de analyse was Euler een meester in het manipuleren van oneindige sommen. Zo bewees hij dat 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = p2/6 (in de noemers van de oneindige som staan de kwadraten van de natuurlijke getallen). Voor het getal e vond hij een kettingbreuk; niet rechtstreeks, maar via de breuk (e – 1)/2.

Euler geeft de kettingbreuk van (e – 1)/2

In de complexe analyse bewees Euler het volgende opzienbare resultaat: epi + 1 = 0. Eén formule die de vijf belangrijkste constantes uit de wiskunde – e, p, i, 1 en 0 – bevat! In 1988 werd deze vergelijking door lezers van het tijdschrift Mathematical Intelligencer gekozen tot ‘mooiste vergelijking in de wiskunde’. In 2004 schreef Physics World een soortgelijke verkiezing uit. Eulers vergelijking belandde toen op de tweede plaats, na Maxwells vergelijkingen.

De top 20 van mooiste vergelijkingen volgens lezers van Physics World in 2004

In de meetkunde kennen we Euler van ‘de formule van Euler’. Deze formule zegt dat voor een veelvlak, een ruimtelijke figuur die omsloten wordt door allemaal platte vlakken, geldt: aantal zijvlakken – aantal ribben + aantal hoekpunten = 2. Deze formule staat ook op de nieuwe Zwitserse postzegel. In 1983, tweehonderd jaar na Eulers sterftejaar, verscheen in Oost-Duitsland ook al een postzegel met deze formule.

Een Oost-Duitse postzegel uit 1983 met de formule van Euler: aantal zijvlakken – aantal ribben + aantal hoekpunten = 2

Ook in de vlakke meetkunde heeft Euler resultaten op zijn naam staan. Euler bewees dat in een driehoek het hoogtepunt (snijpunt van de hoogtelijnen), het zwaartepunt (snijpunt van de zwaartelijnen), het middelpunt van de omgeschreven cirkel (snijpunt van de middelloodlijnen) en het middelpunt van de negenpuntscirkel door één lijn gaan. Deze lijn wordt wel ‘de lijn van Euler’ genoemd.

De lijn van Euler (rood). Het blauwe punt is het hoogtepunt, het gele punt is het zwaartepunt, het groene punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel en het rode punt is het middelpunt van de negenpuntscirkel.

Over de lijn van Euler bestaat een leuke limerick. Oene Bottema (1901-1992) publiceerde het gedichtje in één van zijn ‘Verscheidenheden’ ( Euclides, jaargang 37, 1961/1962).

Een hoofdonderwijzer uit Rauwerderhem Wist niets van Euler (en die niet van hem), Maar ondekt tot zijn glorie, A posteriori, Het collineair zijn van H, Z en M.

Meer informatie over Euler

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 13 april 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.