Je leest:

Escher, de wiskunstenaar

Escher, de wiskunstenaar

Auteur: | 1 april 1998

De wiskunde is een tuin waar een machtige boom in het midden staat. Die boom is behangen met namen van belangrijke wiskundigen zoals Euclides, Apollonius, Leibniz en Newton. Maar er groeit nog veel meer: prachtige struiken en fraaie plantjes. In die tuin is ook plaats voor Escher. Dat blijkt uit de grote bewondering die Escher bij vele wiskundigen geniet en uit de waardering voor zijn werk.

Op wiskundig gebied zijn er heel wat simpele, eeuwenoude wiskundige problemen die heel moeilijk op te lossen zijn. Bijvoorbeeld het vierkleurenprobleem, de Laatste Stelling van Fermat (een stelling uit 1637 die pas in 1995 bewezen is) of de vraag naar een eenvoudige formule voor de priemgetallen.

Maar vaak ligt het ook anders: het vinden van een zinnig probleem, het stellen van de vraag is dikwijls het belangrijkste element bij het bedrijven van wiskunde. Zoiets komt niet uit de lucht vallen, maar komt meestal voort uit het lang en intensief werken op het gebied waar deze vraagstelling als het ware verborgen ligt.

Escher’s gedachtenleven concentreerde zich voor een groot deel op de essentie van het afbeelden zelf: hoe kun je een driedimensionale ruimte op een tweedimensionaal vlak afbeelden? Kunnen meerdere ruimten op dezelfde plaats op een vlak worden afgebeeld? Op welke verschillende manieren kan een vlak verdeeld worden in congruente figuren?

Uitdijing

Een van Escher’s thema’s was: wat gebeurt er met een afbeelding als het tekenvlak op een bepaalde manier vervormd wordt. Als we het bijvoorbeeld in het centrum willen laten uitdijen, wat gebeurt er dan met het gedeelte daarbuiten? Een netwerk hiervoor was wiskundig niet moeilijk te tekenen, maar Escher vond het resultaat interessant genoeg om er een prent van te maken en zo ontstond de litho Balkon uit 1945:

Balkon, litho 1945

Tien jaar later probeerde hij een veel moeilijker probleem op te lossen: wat gebeurt er als we een vlak ringvormig laten uitdijen? Hoe hij dit onderzocht is door hemzelf beschreven. Hij ging uit van een vierkant rechts onder beginnend met 1 cm (figuur 1). Gaande naar links groeit deze aan tot 4 cm en teruggaande naar het beginpunt is die ene cm aangegroeid tot 256 cm.

Zolang we met rechte lijnen werken is het effect onnatuurlijk. Als we bekijken wat er met een vierkantje bij het beginpunt gebeurt, dan verliest dat zijn rechte hoeken. Door met gebogen lijnen te werken bereikte Escher dat een vierkant meer op een vierkant bleef lijken (figuur 2). Hiermee is slechts het principe beschreven dat Escher gebruikte voor wat hij zich voorstelde bij een ringvormige uitdijing van het tekenvlak. Na veel puzzelen kwam hij tot het fraaie netwerk dat we in figuur 3 zien. Aanvankelijk stelde het hem teleur dat het centrum van de prent onbereikbaar was. Ook het op een logische manier uitbreiden van het netwerk buiten het gekozen uitgangsvierkant kostte hem veel hoofdbrekens.

Figuur 1

Figuur 2

Figuur 3

Senglea

Daarna volgde Escher een weg die een wiskundige zeker niet zou zijn gegaan. Escher wilde de uitdijing die hem zo wonderlijk voorkwam zo in beeld brengen, dat iemand die niets wist van het ontstaansproces zich toch over het resultaat kon verwonderen. Hier begon het werk van de wis kunstenaar.

Voor de beeldinhoud greep Escher terug naar een vroegere houtsnede: Senglea uit 1935 (een schiereiland op Malta)

Hij stelde zich voor dat een van de gebouwtjes op Senglea een winkel is waar prenten tentoongesteld worden. De ingang van deze galerie koos hij als beginpunt van de prent, rechtsonder. Naar links gaande worden de prenten (overigens allemaal Escher prenten) die aan de muur hangen en in de vitrines liggen steeds groter en dan komen we bij een jongeman die de prent Senglea bekijkt. Deze prent wordt naar boven toe steeds meer uitgerekt. Naar rechts gaande gebeurt hetzelfde en we zien de huizen, die op de oorspronkelijke prent kleine blokjes waren, op ons af komen, sterk vergroot en gedetailleerd.

Senglea, houtsnede 1935

Nu kwam voor Escher de grootste moeilijkheid: de vergroting langs de rechterzijde naar beneden. Die moest op de een of andere manier aansluiten bij het begin. De oplossing was even eenvoudig als geniaal. Escher liet de afbeelding uitlopen op een ingang van een prentengalerij die exact overeenkwam met de ingang waarmee de prent en de uitdijing begon. De afbeelding lijkt nu perfect gesloten, maar is het in feite niet, want het einde van de afbeelding is 256 maal zo groot als het begin: een ingang van een galerij kan onmogelijk identiek zijn aan een sterk vergrote ingang van een galerij die op de oorspronkelijke prent afgebeeld is.

Gaan we nu nog eens naar links, dan komen we weer een jongeman tegen die sprekend lijkt op degene die we reeds ontmoet hebben bij onze rondgang. Maar hij kan niet dezelfde zijn. Hij staat op de sterk vergrote prent en hij kijkt naar een prent … waarop hij zelf afgebeeld is. En zo kunnen we eindeloos doorgaan en steeds in nieuwe werelden terecht komen, die weliswaar dezelfde beeldinhoud hebben, maar toch niet gelijk zijn.

Hiermee heeft Escher een wonderlijke, oneindig veelvoudige, wereld gecreeerd voor de toeschouwer die zijn prent zorgvuldig bekijkt, zonder hem lastig te vallen met al het getob dat hij had om een netwerk te tekenen waarin het vlak een ringvormige uitdijing ondergaat.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 april 1998

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.