Je leest:

En het twee biljardste cijfer is…

En het twee biljardste cijfer is…

Auteur: | 6 oktober 2010

Van π (pi), het getal dat de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel weergeeft, is in binaire notatie het 2.000.000.000.000.000ste cijfer berekend: het is een nul.

Dankzij wiskundigen van internetgigant Yahoo weten we nu wat de waarde van het twee biljardste π-bit (dat wil zeggen: het twee biljardste cijfer van π als je dat getal binair schrijft) is, alsmede een aantal bits daarvoor en daarna. Dit zijn de verste π-bits die tot nu toe zijn vastgesteld. Dit record is anders dan het gebruikelijke record dat zo ongeveer jaarlijks door π-fanaten (ja, die zijn er echt, getuige onder andere de viering van π-dag, jaarlijks op 14 maart) wordt gebroken, waarbij het er om gaat zoveel mogelijk decimalen van π vanaf het begin te berekenen.

Wikimedia Commons, vrijgegeven in het publieke domein

Binaire notatie

In de wereld van computers worden getallen alleen maar met nullen en enen geschreven. Een voorbeeld: 5 wordt geschreven als 101, want 5 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20. En 10 wordt geschreven als 1010, want 10 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20. Alle getallen van 1 tot en met 10 worden in de binaire schrijfwijze als volgt genoteerd: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010.

Het nieuwe record is anders: niet álle cijfers tot en met het twee biljardste zijn berekend, maar enkel het twee biljardste (2 × 1015) exemplaar, plus enkele cijfers direct daaraan voorafgaand en direct erna. Als je π binair schrijft (zie het kader hiernaast) is het twee biljardste cijfer een nul. Het duurde 23 dagen tot de berekening, waarbij 1000 computers van Yahoo werden gebruikt, voltooid was. “De berekening zou ruim 500 jaar duren op een enkele pc”, zegt Yahoo-medewerker Nicholas Sze, die betrokken was bij het onderzoek.

Hadoop

De berekening maakte gebruik van het Hadoop-algoritme van MapReduce, een door Google geïntroduceerd framework voor het in korte tijd uitvoeren van berekeningen over heel grote hoeveelheden data. Het Hadoop-algoritme maakt het mogelijk dat de gigantische rekenklus wordt opgedeeld in kleinere berekeningen waaraan verschillende machines kunnen werken. Elk van de duizend Hadoop-computers rekende aan een gecompliceerde vergelijking waarmee een deel van π berekend kan worden.

De bekende formules voor π berekenen dit getal tot een aantal decimalen nauwkeurig (zie de afbeelding onderaan dit artikel voor de methode van Archimedes). Het bijzondere van de techniek die voor het nieuwe record werd gebruikt, is dat niet alle cijfers tot en met het twee biljardste berekend hoefden te worden. Het berekent met behulp van een paar vernuftige wiskundige trucs, voor een zekere waarde van n het n-de cijfer van π, plus een aantal cijfers ervoor en erna, zónder dat het alle voorafgaande cijfers hoeft te kennen. “Onze formule kan een reeks cijfers van π berekenen waarbij een aantal begincijfers worden overgeslagen”, verklaarde Sze tegen de BBC.

In 1996 vonden de wiskundigen Bailey, Borwein en Plouffe de eerste formule waarmee het mogelijk is het n-de cijfer van π (in binaire notatie) te berekenen, zonder dat alle voorafgaande cijfers berekend hoeven te worden.

Deze formule werd in de tweede helft van de jaren negentig van de vorige eeuw gevonden. Daarvóór werd het vrijwel onmogelijk geacht dat zo’n formule zou bestaan. In historisch opzicht is het feit dat er twee verschillende methoden voor het berekenen van π-records zijn dus relatief nieuw. Het 1.000.000.000.000.000ste cijfer van π (in binaire notatie) werd in het jaar 2000 gevonden. Nu, tien jaar later, is dat record dus verdubbeld. Maar álle cijfers tot aan het 2.000.000.000.000.000ste exemplaar zijn nog niet bekend. Het record waarbij het om zoveel mogelijk decimalen van π gaat, staat sinds augustus van dit jaar op 5 biljoen cijfers.

Het ‘enkele-cijfer-record’ is meer dan alleen maar een leuk weetje voor mensen die last hebben van de π-gekte. Het gaat eigenlijk niet zozeer om al die cijfers van π. Het resultaat demonstreert de kracht van nieuwe algoritmes die bruikbaar zijn in andere gebieden uit de wiskunde, waaronder cryptografie en data mining. De berekening was bovendien een goede test voor de Hadoop-hardware en het leidt tot nieuwe mogelijkheden voor gedistribueerde berekeningen.

h3. Hoe Archimedes π berekende Archimedes gebruikte regelmatige veelhoeken om π te benaderen. De omtrek van een cirkel kan worden benaderd door de omtrek van een regelmatige n-hoek buiten de cirkel en binnen de cirkel. De waarde van de eerste is te groot, die van de laatste te klein. Door de waarde van n (het aantal zijden van de veelhoek) te laten toenemen, wordt de omtrek van de cirkel steeds beter benaderd, en daarmee het getal π.
Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 06 oktober 2010

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.