Rijen van priemen

Een vermoeden uit de getaltheorie, het priem k-tupel vermoeden, zegt dat als een rij van getallen a₁, … , a_k aan bepaalde voorwaarden voldoet, dat dan X + a₁, … , X + a_k allemaal priemgetallen zijn. X moet daarvoor zelf ook een priemgetal zijn. Je kunt volgens het vermoeden zelfs oneindig veel van die rijen vinden. Het vermoeden zelf is nog nooit bewezen, maar een deelgeval nu wel.

Een speciaal geval van het priem k-tupel vermoeden treedt op als de getallen a₁, … , a_k een zogenaamde rekenkundige rij vormen. Dat is een rij getallen met gelijke onderlinge afstand. Bijvoorbeeld: 3, 7, 11, 15, 19 is een rekenkundige rij met onderlinge afstand 4. Een rekenkundige rij van priemen is een rekenkundige rij waarin alle getallen ook nog eens een keer priem zijn.Het priem k-tupel vermoeden voorspelt dat er voor iedere lengte m, oneindige veel rekenkundige rijen van priemen van lengte m bestaan.

In het bijzonder zou er dus voor ieder getal m tenminste één zo’n rij moeten bestaan. Dat is nu bewezen door Terence Tao en Ben Green (2004). Met de computer is men alleen tot m kleiner of gelijk aan 22 gekomen. De langst bekende rekenkundige rij van priemen is na hard rekenen in 1993 gevonden. Die rij is 11410337850553 + k*4609098694200 voor k = 0, 1, …, 21.

Dat lijkt een bescheiden prestatie, maar is het zeker niet. Het is namelijk zo dat priemgetallen zich weinig regelmatig blijken te gedragen. Dit heeft als droevig gevolg dat het wiskundig zeer moeilijk is bepaalde resultaten over priemgetallen te bewijzen. Het meest bekende is wel de Riemannhypothese. Die zegt in essentie dat de priemgetallen zich zo regelmatig mogelijk gedragen, gegeven de bekende onregelmatigheden. Het aantal priemgetallen dat kleiner dan of gelijk is aan x, is van de vorm bekende functie + fout. De Riemannhypothese impliceert dat die fout klein is, namelijk in de orde van wortel x maal een constante. Dit vermoeden uit 1859 is nog steeds onbewezen en heeft vele wiskundigen tot wanhoop, en sommige tot fraaie resultaten, gedreven.

Tao en Green maken gebruik van een stelling van Szemeredi. Deze zegt in essentie dat als we een rij hebben bestaande uit voldoende veel getallen, er altijd rekenkundige rijen van iedere lengte in zitten. Ze gebruiken ook recent werk van Goldston en Yildirim. Deze laatsten claimden nog niet zolang terug een doorbraak over de grootte van gaten tussen opeenvolgende priemgetallen. Hun bewijs was erg lang en gecompliceerd en bleek uiteindelijk een fout te bevatten die vooralsnog niet gerepareerd kon worden. Niettemin levert dit werk (het correcte deel ervan!) een belangrijk ingredint in het bewijs van Tao en Green.

De wiskundige achtergrond van Tao en Green ligt niet zozeer in de getaltheorie. Inmiddels zijn getaltheoreten bezig hun bewijs te vereenvoudigen. Zo gaat dat meestal in de wiskunde na een ‘doorbraak’. De experts storten zich er met overgave op om het ‘voor zichzelf’ te begrijpen. Daarbij worden dan vrijwel altijd vereenvoudigingen gevonden.

Soms zelfs zulke spectaculaire vereenvoudigingen dat bewijzen van honderden bladzijdes slinken tot een paar bladzijdes, waarbij helaas soms de ‘natuurlijkheid’ van het bewijs te lijden heeft. Korter is niet altijd inzichtelijker!

Update – red.

Op 28 juli werd bekend dat een nieuwe rekenkundige rij van 23 in plaats van 22 priemgetallen is gevonden. Zoals Pieter Moree al voorspelde is er ook een andere versie van het bewijs gevonden: Mark Watkins van Penn State University wist een (korter) bewijs te geven dat bovendien geen gebruik meer maakt van de theorie van dynamische systemen.

Over de auteur

Pieter Moree is afgestudeerd in zowel de scheikunde als de wiskunde in Leiden, gepromoveerd in de getaltheorie in Leiden en momenteel werkzaam als wetenschappelijk medewerker aan het Max-Planck-Instituut voor wiskunde te Bonn. Zijn interesse geldt alle getaltheorie.