Je leest:

Eeuwenoud Franklin-mysterie opgelost

Eeuwenoud Franklin-mysterie opgelost

Het nieuwe boek Magische vierkanten: van Lo-Shu tot Sudoku vertelt de fascinerende geschiedenis van magische vierkanten. Bovendien bevat het boek een primeur: auteur Arno van den Essen is erin geslaagd de methode te vinden waarmee Benjamin Franklin in één avond een serie magische vierkanten wist te maken.

Arno van den Essen presenteert een elegante oplossing voor het Franklin-mysterie in zijn 12 september verschenen populair wetenschappelijke boek Magische Vierkanten: van Lo-Shu tot Sudoku. Van den Essen heeft daarmee een wiskundige primeur. Wellicht maakte Benjamin Franklin gebruik van deze methode om zijn supermagische vierkanten te maken. In 1737 contrueerde Benjamin Franklin het volgende getallenvierkant:

Het is een zogenaamd magisch vierkant, maar wel een die heel bijzonder is. Supermagisch. Sinds het voorbeeld van Franklin zijn er nog maar een paar andere gevonden, tot een Canadees team begin dit jaar met brute computerrekenkracht alle 8 × 8-varianten selecteerden. Hun werk, dat in Canada de voorpagina’s haalde, verklaart echter niet hoe Benjamin Franklin het in korte tijd met slechts potlood en papier voor elkaar kreeg. Maar nu heeft Arno van den Essen, wiskundige van het Institute for Mathematics, Astrophysics and Particle Physics van de Radboud Universiteit Nijmegen een eenvoudige methode gevonden om 8 × 8- en zelfs 16 × 16-supermagische vierkanten te maken. Ook dat kon Franklin – en kennelijk beschikte ook hij over een simpele methode. Uitgedaagd door de wiskundige James Logan maakte hij in één avond een16 x 16 vierkant bestaande uit de getallen 1, 2, 3, …, 256 met dezelfde magische eigenschappen.

Supermagie

Bij een ‘gewoon’ 8 × 8 magisch vierkant, bestaande uit de getallen 1, 2, 3, …, 63, 64, is de som van alle getallen in iedere rij en iedere kolom gelijk aan 260. Bovendien is ook de som van alle getallen op ieder van de twee diagonalen gelijk aan 260. Voor Franklins vierkant geldt dat de som van alle getallen in iedere halve rij of kolom (van de rand af gerekend) is gelijk aan 130 (en dus is de som van alle getallen in iedere rij of kolom gelijk aan 2 × 130 = 260). Het vierkant voldoet niet aan de twee diagonaaleisen, maar in plaats daarvan geldt het volgende: ieder van de vier ‘gebroken’ diagonalen, zoals die gevormd door de getallen 52, 3, 5, 54, 10, 57, 63, 16 en bijvoorbeeld die gevormd door de getallen 16, 63, 57, 10, 23, 40, 34, 17 heeft als som 260. Maar er is meer: ook alle parallelle gebogen diagonalen, zoals die gevormd door de getallen 61, 62, 12, 43, 23, 56, 2, 1 enzovoorts hebben als som 260. Maar nog is niet alle magie beschreven: ook hebben alle 2 × 2-deelvierkanten de eigenschap dat de som van hun getallen gelijk is aan 130.

Zelf doen

In het nu verschenen boek Magische Vierkanten: van Lo-Shu tot Sudoku legt Van den Essen begrijpelijk uit hoe bovenstaand 8 × 8-vierkant en ook het grotere 16 × 16-vierkant gemaakt kunnen worden. De vraag blijft natuurlijk of Franklin ook deze methode gebruikt heeft.

Het getallenvierkant van Franklin is ook te zien (voor wie goede ogen of een loep heeft) op een van de herdenkingszegels die US Postal dit jaar uitgaf ter gelegenheid van de driehonderdste geboortedag van de legendarische en veelzijdige Amerikaan.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van Radboud Universiteit Nijmegen.
© Radboud Universiteit Nijmegen, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 14 september 2006
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.