Met een ‘eerlijke’ munt iets onder twee personen verloten is eerlijk spel. Maar hoe zou je het onder drie personen met een munt moeten doen als je iets te verloten had? Bijvoorbeeld: eerst tussen A en B loten met A voor kruis en B voor munt en dan de winnaar met kruis laten loten tegen munt voor C?

Er zijn vier mogelijkheden:

• kruis-kruis
• kruis-munt
• munt-kruis
• munt-munt

In het tweede geval wint C tegen A, in het vierde tegen B; in het eerste wint A, in het derde B. Dus C heeft net zo veel kansen als A en B samen en dat is niet eerlijk. Er zijn heel wat manieren om het anders te doen en hier volgt er één.

Er wordt met een eerlijke munt zolang gegooid tot voor het eerst twee keer achter elkaar hetzelfde valt, dus munt-munt of kruis-kruis. Het aantal worpen dat je hiervoor nodig hebt, kan variëren – dit hangt geheel van het toeval af. Laten we dit aantal n noemen. Het reglement voor loting is nu als volgt. Bij n even en kruis-kruis in de laatste twee worpen, wint A. Bij n even en munt-munt in de laatste twee worpen, wint C. Bij n oneven wint in elk geval B. Is dit spel eerlijk, dat wil zeggen: hebben A, B en C dezelfde kansen?

Tweetallig stelsel

Onze getallennotatie is tientallig, maar er bestaan ook andere talstelsels. Het belangrijkste – in computers veelvuldig toegepast – is het tweetallige. In het tweetallig stelsel worden alleen de cijfers 0 en 1 gebruikt. Op de plaats van de eenheden is zo’n 1 dan ook echt één waard. In het tientallig stelsel is een 1 op de volgende plaatsen naar links tien, honderd, duizend, … waard, telkens een factor tien meer. In het tweetallig stelsel zijn de opeenvolgende waarden van zo’n 1 nu twee, vier, acht, …,telkens een factor twee meer. Dus de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in het tientallig stelsel worden in het tweetallig stelsel zo geschreven: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.

Natuurlijk kun je tweetallig ook achter de komma rekenen, de eerste plaats achter de komma telt 1/2, de tweede 1/4, de derde 1/8, enzovoort. Dus bijvoorbeeld 11,0110101 is op de gewone manier geschreven: 2 + 1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/128 en dat is gelijk aan 3 + 53/128. Op die manier krijgen we uiteraard alleen maar breuken met in de noemer een macht van 2. Voor de andere moeten we oneindige slierten van nullen en enen achter de komma toelaten, maar gelukkig kunnen we dan met repeterende volstaan. Zo is bijvoorbeeld 1/3 gelijk aan 0,010101…, dat wil zeggen: repeteer 01 oneindig lang. Door van deze ontwikkeling voor 1/3 het dubbele te nemen, krijg je 2/3 = 0,101010….

Een tweetallige liniaal

Hierboven zie je een liniaal, niet tientallig zoals gewoonlijk, maar tweetallig onderverdeeld, maar verbeeld je je deze verdeling dan ook nog onbegrensd voortgezet. Het punt 1/3 wordt steeds nauwer ingesloten:

0,01 < 1/3 < 0,011 0,0101 < 1/3 < 0,1011 0,010101 < 1/3 < 0,0101011

En net zo gaat het met 2/3:

0,10 < 2/3 < 0,11 0,1010 < 2/3 < 0,01011 0,101010 < 2/3 < 0,101011

Kruis en munt

Terug naar het kruis-en-muntspel. Om het wat korter te noteren, noteren we 0 voor kruis en 1 voor munt. Een worpreeks ‘kruis munt munt kruis munt kruis’ noteren we met nog een komma ervoor en vóór de komma een nul als 0,011010, of zo je wilt, als 1/4 + 1/8 + 1/32 = 13/32. Iedere worpreeks wordt zodoende door een punt van onze liniaal gerepresenteerd en om nu tussen A, B en C te loten, kijken we naar de liniaal:

• A wint het, als de worpreeks op de liniaal tussen 0 en 1/3 valt,
• B wint het, als de worpreeks op de liniaal tussen 1/3 en 2/3 valt,
• C wint het, als de worpreeks op de liniaal tussen 2/3 en 1 valt.

Dus bijvoorbeeld:

• 0,00: A wint
• 0,0100: A wint
• 0,011: B wint
• 0,100: B wint
• 0,1011: C wint
• 0,11: C wint

Dat klopt opvallend met het reglement van loting in het begin van het verhaal. Inderdaad zeggen de twee reglementen precies hetzelfde. Immers: eindigt het in een even aantal worpen met 00, dan krijgen we 0,010101…0100 < 0,010101…0101… = 1/3, dus is het voor A. Eindigt het na een even aantal worpen met 11, dan krijgen we 0,101010…1011 > 0,101010…1010… = 2/3, dus voor C. Eindigt het na een oneven aantal worpen, dan is het 0,0101…011 of 0,1010…100 en dat is beide keren tussen 0,0101…0101… = 1/3 en 0,1010…1010… = 2/3, dus voor B.

Dus beide reglementen leveren hetzelfde op en aangezien we het tweede als eerlijk erkend hebben, is het eerste het ook.

Wanneer valt de beslissing?

Als er nu nooit twee keer achter elkaar hetzelfde zou vallen, wat dan? Als de munt blijft doordrammen en het volgende patroon laat zien: ‘kruis munt kruis munt kruis munt …’ of ‘munt kruis munt kruis munt kruis …’, dan valt er nooit een beslissing. Hoe groot is de kans op nog geen beslissing na – zeg – 50 keer gooien? Die kans is 2(1/2)⁵⁰ en dat is zowat 1 op de duizendbillioen. Als je rekent dat 50 keer kruis of munt gooien op zijn minst een minuut kost en in een miljard jaren zowat 500 biljoen minuten zitten, begrijp je dat het uiterst onwaarschijnlijk zou zijn, als er na 50 keer gooien nog geen beslissing was gevallen.

Maar hoe lang zal het gemiddeld duren voor de beslissing valt? Hoeveel keer zul je gemiddeld moeten opgooien, opdat twee keer achter elkaar kruis of twee keer achter elkaar munt valt? Het is gemiddeld drie keer.

Zie ook:

• Kansen en niet-transitiviteit (Kennislinkartikel)
• Hommeles over drie deuren (Kennislinkartikel)