Je leest:

Een wiskundig kruis voor Christus

Een wiskundig kruis voor Christus

Auteur: | 8 april 2010

Drie dagen voor Pasen stierf Christus aan het kruis, zo luidt het. Volgens Dan Brown bezat dit kruis wellicht verhoudingen van de rij van Fibonacci, maar de Kerk verwierp zijn stelling. De benedictijnermonnik Hans van der Laan mocht wel een ‘wiskundig’ kruis voor Christus ontwerpen volgens de verwante rij van Padovan.

In de Oost-Vlaamse gemeente Waasmunster staan twee kloosters die zo uit de boeken van Dan Brown lijken te zijn weggelopen. Ze zijn niet gebouwd volgens de beroemde gulden snede, maar volgens het plastische getal, dat voortkomt uit de rij van Padovan. Ook het interieur, en zelfs de kruisjes die de kloosterzusters dragen, voldoen aan dat plastische getal.

Architect is Hans van der Laan. Hij werd geboren in Leiden op 29 december 1904 en overleed op 19 december 1991 in Vaals (in het zuidoostelijke puntje van Nederland). Hij studeerde tussen 1923 en 1926 architectuur aan de Technische Hogeschool in Delft en nam er enthousiast deel aan een studiegroep van Granpré Molière, een trendsetter van de vereniging ‘Katholiek Bouwen’. Van der Laan beëindigde zijn studies echter niet, naar eigen zeggen omdat hij op zoek was naar ‘de beginselen van de architectonische structuren’.

Toch zou hij later niet alleen doceren aan een driejarige opleiding kerkelijke architectuur, opgezet door de katholieke kerk, maar ook tekenen voor verscheidene gebouwen. Zo ontwierp hij een gastenverblijf voor een abdij in Oosterhout nabij Breda (1938) en een kapel in het Noord-Brabantse Helmond (1948). Daarna volgden een abdijkerk (1956-1968) en uitbreiding (1984-1987) in Lemiers nabij Vaals. Van der Laan tekende verder een abdij, een religieus moederhuis en een ‘woning’ in Waasmunster (van 1972 tot 1987) en een klooster in Tomelilla in het zuiden van Zweden (1986-1995). Hij werkte daarbij af en toe samen met zijn broers Nico en Jan en zijn neef Rik, allen architecten.

Architectuur en godsdienst waren voor Hans van der Laan gescheiden concepten. ‘Zolang ik over architectuur heb gesproken, heb ik nooit een vroom woord laten vallen. Een roomse architect is net zo’n gek woord als een roomse timmerman, en rooms bouwen is net zo gek als rooms koken.’ Die opmerking lijkt in tegenspraak met het feit dat al zijn realisaties verwijzen naar zijn geloof, op een woning in de Noord-Brabantse gemeente Best (1972) na. Toch bestaat de indruk dat hij in zijn architectuur niet zozeer gedreven werd door het geloof in een god als door zijn geloof in een getal. Tenzij dat natuurlijk op hetzelfde neerkomt: zei Leopold Kronecker niet dat de natuurlijke getallen een gift van God waren?

Het plastische getal

De zogenaamde konijnenrij of rij van Fibonacci, genoemd naar Leonardo van Pisa (ca. 1170-1250), speelt een belangrijke rol in De Da Vinci Code. Ze ontstaat door steeds de som van twee getallen als volgende getal te nemen: 1, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, 13 = 5 + 8, 21 = 8 + 13, 34 = 13 + 21, 55 = 21 + 34, 89 = 34 + 55, enzovoort.

Als we elk getal in de rij delen door het vorige, komt er:

1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,666…; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625…; 21/13 = 1,615…; 34/21 = 1,619… ; 55/34 = 1,617… ; 89/55 = 1,618…

Dat leidt met toenemende precisie tot het getal 1,6180339887…, de beroemde of beruchte gulden snede. Op soortgelijke manier geeft de som van twee getallen in de rij van Padovan het getal na het volgende getal: 1, 1, 1, 2 = 1 + 1, 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 4 = 2 + 2, 5 = 2 + 3, 7 = 3 + 4, 9 = 4 + 5, 12 = 5 + 7, 16 = 7 + 9, 21 = 9 + 12, 28 = 12 + 16, 37 = 16 + 21, 49 = 21 + 28, enzovoort. De rij is genoemd naar de Britse architect Richard Padovan, die zijn ontdekking zelf toeschreef aan Van der Laan. Als we elk getal weer delen door het vorige, komt er nu:

2/1 = 2; 2/2 = 1; 3/2 = 1,5; 4/3 = 1,333…; 5/4 = 1,25; 7/5 = 1,4; 9/7 = 1,285…; 12/9 = 1,333…; 16/12 = 1,333…; 21/16 = 1,3125; 28/21 = 1,333…; 37/28 = 1,321…; 49/37 = 1,324…

Dat leidt tot het getal 1,324…, beter bekend als het plastische getal. Waar de gulden snede afwisselend met φ (phi), τ (tau) of g wordt aangeduid, is het enige symbool voor het plastische getal de Griekse letter ψ (psi). Er zijn vele leuke gelijkenissen tussen φ en ψ. De gulden snede φ geeft bijvoorbeeld aanleiding tot een spiraalvormige opeenvolging van rechthoeken, het plastische getal ψ tot een spiraalvormige opeenvolging van driehoeken.

Van links naar rechts: spiralen volgens de gulden snede, het plastische getal en de Nautilusschelp, naar het werk van John Sharp.

Dit laatste voorbeeld laat ons toe uit te leggen waarom de adjectieven beroemd én berucht gebruikt worden voor het ‘gulden getal’. Er blijven immers hardnekkige misverstanden bestaan, bijvoorbeeld als zou de spiraal van een Nautilusschelp best beschreven kunnen worden als een ‘gulden snedespiraal’. Beide zijn zogenoemde logaritmische spiralen, maar bij elk van die spiralen hoort een bepaalde parameter. Voor de ingewijden: als dit de hoek is, gevormd door de raaklijn en de voerstraal, dan is die bij de gulden snedespiraal ongeveer 73°, maar voor de Nautilusschelp 80°. Iedereen kan trouwens met het blote oog het verschil in krulsnelheid zien van de verschillende spiralen.

In de derde eeuw voor Christus duidde Euclides het getal aan met de naam ‘extreme en gemiddelde verhouding’. Het zou pas veel later, rond 1830, worden omgedoopt tot gulden snede. Het symbool φ is dan wel de eerste letter in de Griekse spelling van de naam Phidias, maar er zijn geen bewijzen dat de Griekse beeldhouwer de gulden snede daadwerkelijk gebruikte in zijn sculpturen en gebouwen, zoals het Parthenon. De misvatting is echter begrijpelijk, want de onzinliteratuur over de gulden snede tiert even welig als de literatuur over astronomieonzin of astrologie.

Net zoals astrologen zich een wetenschappelijke aura aanmeten door allerhande planeetbanen en omlooptijden te vermelden, wijzen ‘gulden’ kunstenaars graag op wiskundige vondsten met het gulden getal. Die astronomische en wiskundige feiten mogen dan correct en mooi zijn, hun toepassing op respectievelijk het bepalen van het karakter van een mens en de schoonheid van een kunstwerk stoelt nergens op. Sommige architecten, zoals Le Corbusier, begonnen hun esthetische zoektocht trouwens niet zozeer op basis van het gulden getal, maar op basis van het principe van de rechte hoek. En toch wordt zijn bekende modulor dikwijls onderwezen als ‘typevoorbeeld’ van een toepassing van de gulden snede.

Aura van wetenschappelijkheid

Door een mengeling van onwaarheden (zoals in het voorbeeld van de spiraal van de Nautilusschelp) en waarheden (de spiraalvormen van bladeren van bepaalde planten volgens de rij van Fibonacci) ging de mythe van de gulden snede net als de astrologie een eigen leven leiden in de vorige eeuw.

De mythe bestaat erin dat de gulden snede weliswaar leuke wiskundige eigenschapjes heeft, maar er is geen bewijs dat die een belang hebben voor de esthetica. De wiskundige berekeningen dienen vooral om een architecturaal betoog op te fleuren, net zoals vroeger Latijnse woorden werden gebruikt. Ze zijn meestal erg elementair bij de ‘vergulde’ toepassingen in de architectuur, net zoals het gebruik van Latijnse woorden al eens ‘verrassend’ overkomt bij classici.

Natuurlijk is er niets mis mee als een architect zich bij een ontwerp laat leiden door een sterrenbeeld, wanneer de bouwheer bijvoorbeeld een hartstochtelijk liefhebber van horoscopen is. Hetzelfde geldt voor een verhouding zoals het gulden of het plastische getal als de bouwheer zou dwepen met bepaalde verhoudingen. Erg wetenschappelijk is het niet, maar niemand dwingt de architectuur tenslotte om wetenschappelijk te zijn – al is dat juist wat de voorstanders van de astrologie of de gulden mythe beogen.

Hoe dan ook waren Le Corbusier, Salvador Dali en Hans van der Laan verwoede aanhangers. Het is dan ook merkwaardig dat Le Corbusier de opdracht kreeg om een kapel te ontwerpen zoals de ‘Notre Dame du Haut’ in Ronchamp (Frankrijk). Hij deed dat in ware Dan Brownstijl, met gulden snedes in overvloed. Le Corbusier was atheïst, maar Van der Laan was een benedictijn die vrijwel alleen religieuze gebouwen ontwierp. Toch zou hij zich in zijn architectuur op een even eigenmachtig criterium beroepen, namelijk het plastische getal.

Geometrisch meubilair van Hans van der Laan. Wiskundige Jean-Marie Dendoncker (Sint-Barbaracollega en Universiteit Gent), een fan van het Van der Laanse getal, zorgde voor een deel van het meetwerk.

Omdat de gulden snede zich vertoont in de verhoudingen van een lijnstuk of een rechthoek (de zogenoemde ‘gulden rechthoek’ is een rechthoek van 1 bij 1,618…) en architectuur met drie dimensies werkt, vond Van der Laan het plastische getal geschikter voor het ontwerp van ruimtes. Een balk met lengte l, breedte b en hoogte h waaraan twee verhoudingen worden opgelegd (l/b = h/l en h/l = (l + b)/h), bleek immers met wat formulewerk te beantwoorden aan het plastische getal. Toch voelde Van der Laan snel aan dat de precieze verhouding ψ = 1,324… niet vol te houden was om alle verhoudingen van een bouwwerk te bepalen. Hij isoleerde daarom vier getallen uit de rij van Padovan, namelijk 1, 3, 4 en 7. Daarmee stelde hij een verhoudingssysteem op met benaderingen voor machten van ψ. Hij bedacht namen voor de geometrische elementen en vereenvoudigde ratio’s:

In deze ratio’s bleef van een ‘gulden’ of ‘plastische’ mythe niet veel meer over, al werd er aanvankelijk een uitgebreid verhaal rond gesponnen. Aardse beslommeringen bleken de theoretische axioma’s echter wel eens tegen te spreken. Hoe dan ook is werken met ‘doordachte maar eenvoudige verhoudingen’ in een ontwerp een streven waar menig architect zich in kan vinden.

Een wiskundig klooster

De Oost-Vlaamse gemeente Waasmunster kan zich beroemen op enkele ontwerpen van Hans van der Laan. Allereerst is er het klooster van de Mariazusters van Sint-Franciscus in de Kerkstraat 14. Het was het ‘moederklooster’ van de zusters Maricolen en Franciscanessen en werd gebouwd rond een oude neobarokke kapel.

Abdij Roosenberg in de bossen buiten Waasmunster. Je kunt er een bezoek brengen, zie www.abdij-roosenberg.be

Daarnaast is er de abdij Roosenberg in de bossen buiten Waasmunster, opgericht als een fusie van de verschillende congregaties. De nieuwe abdij had tot doel het contemplatieve bestaan van de zusters te verzekeren, en ook de contemplatie van het plastische getal is verzekerd. Ze doet dienst als huis voor passanten en gasten. Iedereen die graag eens radicaal wil onthaasten kan er een verblijf boeken, met als extraatje het plastische getal van Van der Laan.

Vraag blijft of dat helpt om je op het hiernamaals voor te bereiden. ‘Jazeker’, vertelt een kloosterzuster, ‘want het hiernamaals laat zich hier en nu voorbereiden. En het is de reis die de bestemming maakt.’ De zuster raakte hierbij even het kruisje aan dat ze rond haar hals droeg, en dat natuurlijk perfect aan de verhoudingen van het plastische getal ψ beantwoordt.

Wat er ook van zij: zelfs voor een atheïst of een a-mathematicus is de architectuur van Van der Laan het bewonderen waard. Strakke lijnen, het spel van licht en schaduw en totale soberheid in het meubilair: de architectuur van Van der Laan is ook zonder interpretatie van de gulden snede of het plastische getal een verademing.

Dit artikel is een publicatie van EOS Magazine.
© EOS Magazine, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 08 april 2010

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.