Je leest:

Een video zegt meer dan duizend woorden

Een video zegt meer dan duizend woorden

Möbiustransformaties zijn wiskundige complexe functies die elk punt in het vlak verplaatsen naar een ander punt in het vlak, door middel van een verschuiving, een draaiing, een omkering of een dilatatie. Twee wiskundigen van de universiteit van Minnesota in Minneapolis zijn erin geslaagd om deze abstracte materie in beelden te vangen.

Wiskunde is een abstract vak. Volgens de Van Dale betekent abstract: ‘niet als vorm voorstelbaar, niet door aanschouwing verkregen maar door redenering afgeleid, geen verband houdend met de zichtbare werkelijkheid’. De abstractie van wiskunde maakt dit vak krachtig, maar tegelijkertijd ook moeilijk te begrijpen, althans: voor de meeste mensen.

De bekende uitspraak ‘één beeld zegt meer dan duizend woorden’ lijkt volgens de definitie van abstract niet toepasbaar te zijn op wiskunde. Toch is dat niet altijd waar: op de middelbare school leert iedereen dat het tekenen van een grafiek van een gegeven functie allerlei eigenschappen van de betreffende functie, zoals nulpunten, extreme waarden en asymptoten, verheldert. Douglas Arnold en Jonathan Rogness, twee wiskundigen van de universiteit van Minnesota in Minneapolis, hebben een video gemaakt waarmee Möbiustransformaties zichtbaar worden gemaakt.

Enkele shots van het filmpje ‘Möbius Transformations Revealed’

Möbiustransformaties

Complexe getallen zijn getallen van de vorm ai + b, waarbij a en b reële getallen zijn en waarbij i gelijk is aan √-1. Complexe getallen stellen ons in staat om élke n-de graads-vergelijking op te lossen. Zo heeft de simpele vergelijking x2 = −4 géén reële oplossingen, maar wel complexe: x = −2 i en x = 2 i. In onderstaand Kennislinkartikel kun je lezen waar die complexe materie nu eigenlijk goed voor is.

Goede kans dat als je iets over complexe getallen leert, je Möbiustransformaties tegenkomt. Dat zijn functies van de vorm f( z) = ( az + b)/( cz + d). Hierbij zijn z, a, b, c en d complexe getallen die voldoen aan adbc ≠ 0. Möbiustransformaties kunnen meetkundig worden geïllustreerd met plaatjes. De wiskundigen Arnold en Rogness zijn nog een stapje verder gegaan: zijn hebben de abstracte materie van Möbiustransformaties aanschouwelijk gemaakt met bewegende beelden. Hun video, getiteld ‘Möbius Transformations Revealed’, heeft in korte tijd al 60.000 hits op YouTube. In de Science and Engineering Visualization Challenge 2007, georganiseerd door Science Magazine, kreeg het filmpje een eervolle vermelding.

Een Möbiustransformatie kan het vierkant in het linker plaatje transformeren tot de grappige vorm in het rechter plaatje. (Bron: Arnold & Rogness)

Een Möbiustransformatie begint met een vlak, en elk punt van het vlak beweegt onder bepaalde voorwaarden naar een nieuwe locatie in de ruimte. In hun video vervormen Arnold en Rogness een kleurig vierkant in nieuwe vormen volgens de regels van een Möbiustransformatie.

De Möbiustransformatie in beeld gebracht… (Bron: Arnold & Rogness)

Een Möbiustransformatie verandert het gehele vlak. Om de transformatie te begrijpen, helpt het om, in plaats van het hele vlak, een gesloten deel daarvan, bijvoorbeeld een vierkant, te bekijken. Een Möbiustransformatie kan het vierkant op vier verschillende manieren vervormen. Drie daarvan zijn goed te snappen en inzichtelijk te maken met een plaatje: je kunt het vierkant verplaatsen in het vlak, je kunt het vierkant inkrimpen of juist laten opzwellen, en je kunt het vierkant roteren.

Het is vooral de vierde manier die een hoge mate van abstractie heeft: een Möbiustransformatie kan het vierkant binnenstebuiten keren. De video van Arnold en Rogness illustreert dit prachtig: punten die zich rondom het middelpunt van het vierkant bevinden, verplaatsen zich naar buiten, terwijl de punten aan de rand van het vierkant naar binnen bewegen.

Wanneer een vierkant volgens een Möbiustransformatie binnenstebuiten wordt gekeerd, neemt het deze bloemvorm aan. (Bron: Arnold & Rogness)

De twee wiskundigen breiden in hun filmpje het vlak uit tot drie dimensies, wat hun in staat stelt om ingewikkelde Möbiustransformaties te visualiseren. Ze laten een bol boven het vlak hangen dat als een soort diaprojector werkt. Een plaatje op de bol wordt via een lichtstraal vanuit de top van de bol op het vlak geprojecteerd. Dit gebeurt op zo’n manier, dat de projectie het originele vierkant vormt.

Een lichtstraal vanuit de top van de bol projecteert een beeld dat zich op de bol bevindt, op het vlak. (Bron: Arnold & Rogness)

Een volgende stap in het filmpje is het bewegen van de bol, waardoor de projectie van het beeld op het vlak natuurlijk verandert. Hieraan zitten wel een paar voorwaarden. Ten eerste moet het punt vanwaar geprojcecteerd wordt, op de top van de bol blijven, hoe de bol zich ook beweegt. Ten tweede mag de bol niet helemaal door het vlak zakken: de top van de bol moet altijd boven het vlak blijven.

Je kunt je wel voorstellen dat het geprojecteerde vierkant naar links gaat als de bol naar links beweegt, dat het geprojecteerde vierkant groter wordt als de bol naar boven gaat, en dat het geprojecteerde vierkant wordt gedraaid als de bol om zijn verticale as draait. Maar wat gebeurt er als de bol ondersteboven wordt gehouden? Dan vindt een raadselachtige ‘in-out’-transformatie plaats, zoals in de onderstaande afbeelding.

Houd de bol ondersteboven, dan krijg je deze projectie op het vlak. (Bron: Arnold & Rogness)

Populaire film

Arnold en Rogness zijn aangenaam verrast door de populariteit van hun filmpje. De reden dat ze het op YouTube zetten, was om het aan vrienden en collega-wiskundigen te laten zien. Ze verwachtten dat hooguit enkele honderden mensen in het filmpje geïnteresseerd zouden zijn, laat Rogness weten. Inmiddels is het filmpje echter al 60.000 keer bekeken. Misschien komt het wel door de mooie pianomuziek van Schumann ( Kinderszenen, opus 15-I), die het wiskundige kunstwerkje helemaal afmaakt.

Bron:

Science News, vol. 172, no. 20

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 17 november 2007

Discussieer mee

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE