Je leest:

Een vernuftige oriëntatiemethode

Een vernuftige oriëntatiemethode

Auteur: | 1 juni 2003

Met een stok op een zonnig strand en wat geduld is het niet moeilijk vast te stellen waar het zuiden is. Maar heb je nog twee stokjes, en wat touw, dan kun je zelfs ontdekken op welke breedtegraad je je op aarde bevindt. De methode stamt uit de oudheid en was van grote waarde in een tijd dat je nog niet je exacte plaats op aarde met één telefoontje kon achterhalen.

De Romeinse architect Vitruvius, die in de eerste eeuw voor Christus leefde, schreef tijdens de regering van keizer Augustus zijn beroemde werk De Architectura. Dit werk beslaat tien boeken. In het eerste boek behandelt hij de zogenaamde Indische methode om de noord-zuidrichting te bepalen. Die methode zullen wij als eerste bespreken. Daarna richten we onze aandacht op een tweede, van oorsprong waarschijnlijk Griekse methode, die overgeleverd is. Deze methode is bijzonder vernuftig en levert met drie willekeurige waarnemingen van de zonneschaduw van een punt niet alleen de oost-westrichting, maar ook de stand van het vlak waarin de evenaar ligt (het ‘vlak van de evenaar’, ofwel het equatorvlak).

De Indische methode

In hoofdstuk IV van het eerste boek over architectuur geeft Vitruvius de manier aan waarop je een noord-zuidlijn kunt vastleggen. Het komt in het kort hierop neer: plaats een stok (gnomon) loodrecht in de grond en markeer in de morgen de schaduw van de top van de stok (punt A), zie figuur 1. Trek dan vanuit het voetpunt F van de stok een cirkel door dat punt. In de namiddag wacht je tot de schaduw van de top van de stok op de cirkel komt. Markeer dan ook dit punt (punt B). De deellijn van de hoek AFB is nu de noord-zuidlijn.

Deze werkwijze behoeft nauwelijks enige toelichting, omdat ze op eenvoudige symmetrie berust. Dat kan zeker niet gezegd worden van de oriëntatiemethode die we hierna beschrijven.

Figuur 1.De schaduw van de top van een stok valt ’s morgens op punt A en in de namiddag op punt B.

Constructie van de oost-westlijn en de stand van het equatorvlak

In het, waarschijnlijk in de renaissance geschreven Scriptoribus rei agrariae, vinden we een ingenieuze oriëntatiemethode, die daar aan de Romeinse bouwmeesters wordt toegeschreven. Ze is echter waarschijnlijk van Griekse herkomst. De werkwijze is simpel, de verklaring niet. Er wordt weer een stok TF geplaatst met top T en voetpunt F, zie figuur 2.

Figuur 2.A, B en C zijn de schaduw van T op drie verschillende momenten.

De schaduw van T wordt op drie verschillende tijden op de grond vastgelegd (punten A, B en C). Nemen we aan dat A het dichtst bij het voetpunt van de stok ligt, dan passen we de afstand TA af op TB en TC en vinden zo de punten A’ en A’’. De punten L en M zijn de loodrechte projecties van A’ en A’’ op de grond. De lijnen LM en BC snijden elkaar in punt E. Dan is EA de oost-westrichting. Het hele procédé is uit te voeren met koordjes en er komt geen berekening aan te pas. Voor een goed begrip heb ik het volgende bewijs opgesplitst in een meetkundig deel en een astronomisch deel.

Het meetkundige probleem

Stel, we hebben een vlak H met daarop een punt A, zie figuur 3. Boven dat vlak zweven twee willekeurige punten A’ en A’’. Door A, A’ en A’’ brengen we een vlak aan en noemen dit vlak V. De vraag is nu: hoe teken je de snijlijn van vlak V en vlak H?

De oplossing is als volgt. Laat uit A’ en A’’ loodlijnen neer op vlak H. De voetpunten van beide loodlijnen zijn respectievelijk L en M, zie figuur 4. Breng door A’L en A’’M een vlak aan. De snijlijn van dit vlak met vlak H is LM. Laat E het snijpunt zijn van A’A’’ met vlak H. In onze methode wordt E gevonden door LM met BC te snijden. Trek dan een lijn vanuit A door E. De lijn AE is nu de snijlijn van vlak H met het vlak V door A, A’ en A’’.

Figuur 3.Een vlak H met daarop punt A. A’ en A’’ zweven boven het vlak.

Figuur 4.De lijn EA is de oost-westrichting.

Het astronomische probleem

Eerst merken we op dat een kegel, met zijn top in het middelpunt van een bol, deze bol snijdt volgens een cirkel, zie figuur 5.

Dat is zonder verdere uitleg duidelijk en hebben we in het volgende nodig. Figuur 6 stelt de hemelbol voor met de poolas, de horizon en de baan van de zon in de zomer. Op deze bol doorloopt de zon in een dag een cirkel die evenwijdig is aan het equatorvlak en de zonnestralen beschrijven in 24 uur een kegelmantel met het middelpunt van de bol als top.

We mogen deze bol willekeurig verkleinen, zonder dat richtingen of vormen veranderen. We laten het middelpunt van de bol samenvallen met de top van de stok die in figuur 2 gebruikt is (zie figuur 7) en tekenen de zonnebaan en de kegel. Punt T werpt een schaduw die door A gaat. Punt A ligt op het verlengde van de kegelmantel die de voortzetting is van de kegel die erboven getekend is. Punt A ligt dus ook op een cirkel die evenwijdig is aan het equatorvlak.

Door A brengen we een horizontaal vlak H aan. Nemen we nog twee andere plaatsen van de zon aan, dan vinden we op de onderste cirkel A’ en A’’ die boven het aangebrachte horizontale vlak zweven.

Figuur 5.Een kegel, met zijn top in het middelpunt van een bol, snijdt deze bol volgens een cirkel.

Figuur 6.De hemelbol met de poolas, de horizon en de baan van de zon in de zomer.

Figuur 7.De punten A, A’ en A’’ liggen op een cirkel die evenwijdig is aan het equatorvlak.

Het slimme van de hier behandelde oriëntatiemethode is, dat men de punten A’ en A’’ ook werkelijk in de ruimte vastlegt, door vanaf de top van de stok de stukken TA’ en TA’’ af te passen die gelijk zijn aan TA. De punten A, A’ en A’’ liggen nu op een cirkel die evenwijdig is aan het equatorvlak. Daardoor krijg je de situatie die hiervoor beschreven is in het meetkundige deel: construeer door A, A’ en A’’ een vlak V en bepaal de snijlijn van dit vlak met het horizontale vlak H. Omdat V evenwijdig is aan het equatorvlak, loopt deze snijlijn oost-west.

Het aardige van deze methode is, dat de snijlijn van de kegel met het horizontale vlak, die in de loop van het jaar verschillende hyperboolvormen aanneemt, helemaal niet wordt gebruikt.

De stand van het equatorvlak

Het equatorvlak snijdt het horizontale vlak in de oost-westlijn, maar gaat niet door de top van de stok. De punten A’ en A’’ liggen wel in het equatorvlak en omdat deze punten in de ruimte vastliggen en ook gemarkeerd kunnen worden, vinden we het equatorvlak door een vlak (een plank of dik stuk karton) met een rechte zijde op de oost-westlijn te leggen en het op punt A’ of A’’ te laten rusten. Hiermee is het equatorvlak ook materieel vastgelegd.

Het equatorvlak op een plaats P op aarde is het vlak ter plaatse dat evenwijdig is aan het vlak van de evenaar. In de onderstaande figuur zie je (een deel van) een dwarsdoorsnede van de aarde, met middelpunt M, en een plaats P ergens op het oppervlak. Getekend zijn e (het vlak van de evenaar) en e’ (het equatorvlak in P). De breedtegraad alpha van P is de hoek van MP met e. Het grondvlak in P is g, en je ziet gemakkelijk in dat de hoek tussen e’ en g gelijk is aan 90oalpha. Zo kun je in P, zodra je e weet, alpha bepalen.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 juni 2003

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.