Een vierkante platte torus is een vierkant waarvan de tegenoverliggende zijden paarsgewijs met elkaar zijn geïdentificeerd. Denk aan het computerspelletje Pac-Man, dat zich afspeelt op een torus: als het ‘happertje’ aan de bovenkant het veld verlaat, komt hij aan de onderkant weer te voorschijn. En voor links en rechts geldt hetzelfde.
Van een platte torus kan een echte (dat wil zeggen: driedimensionale) torus gemaakt worden door de boven- en onderkant van het vierkant aan elkaar te plakken, zodat een cilinder ontstaat, en vervolgens de uiteinden van de cilinder aan elkaar te plakken. Het resultaat heeft de vorm van een donut of de binnenband van een fiets.
Dat knutselwerk lukt alleen als het vierkant van een elastisch materiaal is gemaakt. Probeer je een vierkant velletje papier met plakband om te toveren tot een donutvorm, dan gaat dat niet erg lekker, omdat de buitenomvang van de donut groter is dan de binnenomvang. Je ziet het aan onderstaand plaatje: de verticale en de drie horizontale lijnen op de platte torus zijn even lang, maar op de driedimensionale torus niet.
De topologie is een tak van meetkunde waarin niet moeilijk wordt gedaan over dit gebrek: een topoloog mag het materiaal uitrekken zoveel hij wil, als hij maar geen scheuren of gaten maakt. Niettemin is het voor wiskundigen altijd een uitdaging geweest om te zoeken naar een driedimensionale torus waarvan de originele afstanden wél behouden blijven.
Convexe integratie
Tot in het midden van de jaren 1950 werd gedacht dat de vierkante platte torus zonder vervorming van de afstanden niet gevisualiseerd kon worden in drie dimensies. Het was daarom een grote verrassing toen Nobelprijswinnaar John Nash en de Nederlandse wiskundige Nicolaas Kuiper bewezen dat een driedimensionale variant van de platte torus wél bestaat. Zij konden dit object echter niet construeren. Met andere woorden: hoewel ze de existentie ervan hadden aangetoond, wisten ze niet hoe dit object eruit moet zien.
Over die vorm is nu eindelijk duidelijkheid. Een team van Franse onderzoekers onder leiding van Vincent Borrelli van de universiteit van Lyon is erin geslaagd om een vierkante platte torus met afstandbehoud driedimensionaal te visualiseren. Zij maakten daarbij gebruik van een wiskundige techniek, convexe integratie geheten, die in de jaren 70 en 80 werd ontwikkeld door de meetkundige Mikhail Leonidovich Gromov, die in 2009 de Abelprijs won. Het is de eerste keer dat convexe integratie succesvol is toegepast om een platte torus in drie dimensies te construeren.
Paradoxaal
Nash en Kuiper lieten zien dat de vorm tegelijkertijd ‘glad’ en ‘oneffen’ moest zijn, een paradoxale eigenschap. Inmiddels is duidelijk wat die oneffenheid voorstelt: de structuur van de torus is fractaal. De torus heeft een ribbelachtige vorm en die ribbels herhalen zich oneindig vaak, op een steeds kleinere schaal. Als je inzoomt op de ribbels, zie je weer nieuwe, kleinere ribbels opduiken en dit proces zet zich voort tot in het oneindige. Maar als je één ribbel afzonderlijk bekijkt, dan ziet deze er glad uit!
Wiskunde en informatica
De torusvondst kon worden gedaan dankzij een samenwerking tussen zuiver wiskundigen en informatici. De wiskundige kant betrof het toepassen van de techniek van Gromov. Aan de computerkant zaten de moeilijkheden in het verwerken van grote hoeveelheden data en het maken van het algoritme om de 3d-torus te creëren. De gemaakte plaatjes vereisten een raster dat uit maar liefst twee miljard punten bestaat.
De gevolgen van de ontdekking kunnen verstrekkend zijn. Het kan leiden tot een beter begrip van een brede klasse van objecten waarvan het oppervlak zowel glad als fractaal is. Maar er is meer: convexe integratie heeft veel meer toepassingen dan het visualiseren van merkwaardige objecten. Een van die toepassingen is het bepalen van zogeheten ‘atypische oplossingen’ van partiële differentiaalvergelijkingen. Dat biedt nieuwe perspectieven in de toegepaste wiskunde, de natuurkunde en de biologie.
De onderzoekers hebben hun resultaten gepubliceerd in de Proceedings of the National Academy of Sciences.
Zie ook:
Flat tori finally visualized! (Engels)