De oneindige rij gelijke zinnen hiernaast is filosofisch gezien erg interessant. Deze reeks zinnen werd in 1993 bedacht door Stephen Yablo, een filosoof van het Amerikaanse Massachusetts Institute of Technology (MIT).

Wat betekent het als de eerste zin waar is? Dan zijn alle volgende zinnen onwaar, in het bijzonder de tweede. Die tweede zin zegt dat alle volgende zinnen onwaar zijn, maar omdat die tweede zin zelf onwaar is, moet er dus vanaf de derde zin minstens één zin zijn die waar is. Dat kan echter niet, want we hadden al vastgesteld dat vanaf de tweede zin álle zinnen onwaar zijn!

En wat betekent het als de eerste zin onwaar is? Dan is het dus niet zo dat alle volgende zinnen onwaar zijn, dus is er vanaf de tweede zin minstens één zin die waar is. Stel dat de tiende zin waar is (het kan net zo goed een andere zin zijn, dat doet er niet toe). Dat betekent dat vanaf de elfde zin alle zinnen onwaar zijn, in het bijzonder de twaalfde. Maar dan kunnen we, analoog aan het vorige geval (waarbij we veronderstelden dat de eerste zin waar is), een tegenstrijdigheid afleiden.

Zelfverwijzing

Paradoxen zijn hinderlijke obstakels in de logica. Bertrand Russell (1872-1970) was een van de eersten die serieus nadachten over dit verschijnsel. Van de paradox van Russell zijn verschillende varianten; een tot de verbeelding sprekende variant is de catalogusparadox.

De catalogusparadox In een bibliotheek is een grote stapel catalogi. Sommige van deze catalogi vermelden zichzelf, terwijl andere dat niet doen. Voor het gemak maakt de bibliothecaris twee nieuwe catalogi: een eerste catalogus A die alle catalogi vermeldt die zichzelf vermelden, en een tweede catalogus B die alleen de catalogi vermeldt die zichzelf niet vermelden. Natuurlijk zorgt hij ervoor dat ook catalogus A zichzelf vermeldt. Moet catalogus B zichzelf nu opnemen of niet? Als hij zichzelf opneemt, mag hij per definitie niet opgenomen worden omdat hij al in zichzelf opgenomen is. Als hij zichzelf niet opneemt, moet hij per definitie opgenomen worden, omdat hij zichzelf niet vermeldt!

Russell zat met zijn ontdekking van deze paradox in zijn maag. De paradox ontstaat doordat iets naar zichzelf verwijst. In een poging paradoxen te vermijden, nam Russell een radicaal besluit: hij liet zelfverwijzing eenvoudigweg niet meer toe. Een zin als ‘Deze zin is onwaar’ verwijst naar zichzelf en voldeed volgens Russell dus niet aan de ‘wetten van de logica’.

Maar toen kwam Philip Jourdain (1879-1919) met de twee zinnen die je hiernaast ziet. Als de eerste zin waar is, is de tweede zin onwaar; het is dus onwaar dat de eerste zin waar is en dus is de eerste zin onwaar, maar dát klopt niet met ons uitgangspunt. En als de eerste zin onwaar is, dan is het onwaar dat de tweede zin onwaar is, met andere woorden: de tweede zin is waar, en dat betekent dat de eerste zin waar is, opnieuw een tegenspraak!

Met een kaartje dat je makkelijk zelf kunt maken, is de paradox van Jourdain leuk te illustreren.

Is er bij de paradox van Jourdain sprake van zelfreferentie? Niet direct. De eerste zin verwijst naar de tweede, de tweede naar de eerste. Maar eigenlijk is dat flauw: indirect is er wel degelijk sprake van zelfreferentie. Schrijven we de paradox op de volgende, meer formele manier, dan is dat direct duidelijk.

S₁ komt níét voor in de definitie van S₁, evenmin is dit het geval bij S₂. Maar als je S₂ substitueert in S₁, zie je direct dat er wel degelijk sprake is van zelfreferentie.

Zowel de klassieke paradox ‘Deze zin is onwaar’ (op een formele manier geschreven als S: S is onwaar) als de paradox van Jourdain die uit twee zinnen bestaat, bevat zelfreferentie, zij het bij de tweede op een indirecte manier. Russell vroeg zich af of zelfreferentie noodzakelijk is voor een paradox. Hij dacht van wel en daarom legde hij een verbod op álle soorten van zelfreferentie, ook de indirecte vorm. Maar is deze ingreep inderdaad voldoende om paradoxen definitief uit te bannen?

De paradox van Yablo

In 1993, 23 jaar na Russells dood, kwam de Amerikaan Stephen Yablo met de paradox waarmee we dit artikel begonnen. Hiermee dacht hij Russells vermoeden te hebben weerlegd. Formeel genoteerd ziet Yablo’s paradox er als volgt uit:

Voor alle waarden van n verwijst S_n naar alle volgende zinnen in de oneindige rij. Wanneer je zo’n volgende zin beschouwt, geldt wederom dat deze naar alle volgende zinnen verwijst, etcetera. Hoe lang je dit procédé ook herhaalt, nooit zal er een zin zijn die naar S_n verwijst, met andere woorden: bij Yablo’s paradox is er geen sprake van zelfreferentie van welke soort ook.

Stephen Yablo

Zelfreferentie is echter een begrip waar vele filosofen diepzinnige en soms moeizame vertogen hebben weten te houden. Bijvoorbeeld deze: Bij de expliciete formulering van S_n is sprake van zelfreferentie in de zin dat bij de formulering van S_n de plaats van S_n zélf in de oneindige rij zinnen ertoe doet: S_n gebruikt zijn eigen plaats in de rij zinnen als referentiepunt om te specificeren welke zinnen onwaar zijn. De discussie over zelfverwijzing is dus nog niet gesloten.

Zie ook:

• Wat hier staat is niet waar (Kennislinkartikel)
• Paradox without Self-Reference (artikel van Yablo uit 1993, Eng., pdf)
• Is Yablo’s paradox non-circular? (Eng., pdf)
• Yablo’s paradox rides again: a reply to Ketland (Eng., pdf)
• Self-reference in finite and infinite paradoxes (Eng., pdf)