De regelmatige vlakvullingen van de Nederlandse graficus M.C. Escher zijn inmiddels wereldberoemd. Voor Escher waren de geometrische vlakverdelingen vooral een middel om bizarre levensvormen over het papier te laten kruipen, maar zijn studies naar de verschillende mogelijkheden om het tweedimensionale vlak met identieke figuurtjes te vullen, inspireerden vele wiskundigen en kristallografen.

Aangezien Escher gebonden was aan het tweedimensionale speelveld van afbeeldingen op papier, heeft hij zijn verkenningen amper doorgetrokken naar hogere dimensies. Zou hij dit wel gedaan hebben, dan had hij waarschijnlijk een nieuwe bron van inspiratie aangeboord, want alleen al in drie dimensies is de regelmatige opvulling met veelvlakken bijzonder interessant. De simpelste vorm is uiteraard het stapelen van blokken, maar de natuur laat al veel complexere structuren zien in kristalroosters van vaste stoffen.

In dit artikel zal een exotische en erg elegante ruimtevulling besproken worden. De elementaire bouwstenen hiervoor zijn recentelijk ontdekt door Russell Towle bij zijn onderzoek naar veelvlakken met ruitvormige zijvlakken. Towle noemt zijn nieuwe veelvlakken rombische spiraloëders. Op zijn website laat hij er prachtige plaatjes van zien. In figuur 1 zie je twee voorbeelden van zulke ruimtevullers.

Waarom cirkelbanen?

Dat de hoekpunten van de draaiende vierkanten en driehoeken zich bewegen over cirkelbanen, volgt uit een stelling uit de vlakke meetkunde:

Algemene stelling van Thales Als C het midden is van de omgeschreven cirkel van driehoek XYZ, dan geldt: ∠XCY = 2 × ∠XZY.

De stelling bewijs je gemakkelijk door te letten op de gelijke hoeken nadat je hulplijnen XC, YC en ZC hebt getrokken. Uit deze stelling volgt dat alle punten P met ∠XPY = ∠XZY = alfa zich op dezelfde cirkelboog van X naar Y bevinden. Het middelpunt van die boog M ligt dan zo dat ∠XCY = 2 alfa, zie figuur 2.

Bekijk in figuur 3 de onderliggende structuur van het patroon van de draaiende vierkanten. We nemen een punt P als hoekpunt van een draaiend vierkant en twee vaste punten B1 en B2 waar de zijden van het vierkant (of de verlengden daarvan) doorheen gaan. Gegeven is dus dat ^B₁PB₂ = 90°. Dan moet P zich dus bevinden op een cirkel door B₁B₂ waarvan het middelpunt zó ligt, dat ∠B₁MB₂ = 2 · 90° = 180°. Oftewel, P ligt op de cirkel met middelpunt C halverwege B₁ en B₂.

Bij de draaiende driehoeken geldt dat ∠B₁PB₂ = 60°. De baan van P is dus nu een cirkel door B₁ en B₂ met middelpunt M, zodat ∠B₁MB₂ = 120°.