Je leest:

Een extra dimensie aan regelmatige vlakvullingen

Een extra dimensie aan regelmatige vlakvullingen

Auteur: | 1 juni 2003

De kubus is een ruimtevuller, omdat je met louter kubusvormige bouwstenen de ruimte geheel zou kunnen vullen. Wiskundigen en kristallografen hebben in de loop van de tijd ook andere ruimtevullers gevonden, maar vooralsnog ontbreekt het overzicht van wat alle elementaire mogelijkheden zijn. In dit artikel beschrijft Frans Snik twee verrassende ruimtevullers, TTS en QTS geheten, die Russell Towle en hijzelf onafhankelijk van elkaar onlangs ontdekt hebben.

De regelmatige vlakvullingen van de Nederlandse graficus M.C. Escher zijn inmiddels wereldberoemd. Voor Escher waren de geometrische vlakverdelingen vooral een middel om bizarre levensvormen over het papier te laten kruipen, maar zijn studies naar de verschillende mogelijkheden om het tweedimensionale vlak met identieke figuurtjes te vullen, inspireerden vele wiskundigen en kristallografen.

Figuur 1. De TriTorSine (links) de QuatTorSine (rechts)

Aangezien Escher gebonden was aan het tweedimensionale speelveld van afbeeldingen op papier, heeft hij zijn verkenningen amper doorgetrokken naar hogere dimensies. Zou hij dit wel gedaan hebben, dan had hij waarschijnlijk een nieuwe bron van inspiratie aangeboord, want alleen al in drie dimensies is de regelmatige opvulling met veelvlakken bijzonder interessant. De simpelste vorm is uiteraard het stapelen van blokken, maar de natuur laat al veel complexere structuren zien in kristalroosters van vaste stoffen.

In dit artikel zal een exotische en erg elegante ruimtevulling besproken worden. De elementaire bouwstenen hiervoor zijn recentelijk ontdekt door Russell Towle bij zijn onderzoek naar veelvlakken met ruitvormige zijvlakken. Towle noemt zijn nieuwe veelvlakken rombische spiraloëders. Op zijn website laat hij er prachtige plaatjes van zien. In figuur 1 zie je twee voorbeelden van zulke ruimtevullers.

Waarom cirkelbanen?

Dat de hoekpunten van de draaiende vierkanten en driehoeken zich bewegen over cirkelbanen, volgt uit een stelling uit de vlakke meetkunde:

Algemene stelling van Thales Als C het midden is van de omgeschreven cirkel van driehoek XYZ, dan geldt: ∠XCY = 2 × ∠XZY.

De stelling bewijs je gemakkelijk door te letten op de gelijke hoeken nadat je hulplijnen XC, YC en ZC hebt getrokken. Uit deze stelling volgt dat alle punten P met ∠XPY = ∠XZY = alfa zich op dezelfde cirkelboog van X naar Y bevinden. Het middelpunt van die boog M ligt dan zo dat ∠XCY = 2 alfa, zie figuur 2.

Figuur 2

Bekijk in figuur 3 de onderliggende structuur van het patroon van de draaiende vierkanten. We nemen een punt P als hoekpunt van een draaiend vierkant en twee vaste punten B1 en B2 waar de zijden van het vierkant (of de verlengden daarvan) doorheen gaan. Gegeven is dus dat ^B1PB2 = 90°. Dan moet P zich dus bevinden op een cirkel door B1B2 waarvan het middelpunt zó ligt, dat ∠B1MB2 = 2 · 90° = 180°. Oftewel, P ligt op de cirkel met middelpunt C halverwege B1 en B2.

Figuur 3

Bij de draaiende driehoeken geldt dat ∠B1PB2 = 60°. De baan van P is dus nu een cirkel door B1 en B2 met middelpunt M, zodat ∠B1MB2 = 120°.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 juni 2003

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.