De expressionistische Amerikaanse schilder Jackson Pollock (1912-1956) was al overleden toen de wiskundige Mandelbrot in 1961 wiskundige structuren bestudeerde die hij in 1975 fractals noemde. Pollock was zijn tijd echter ver vooruit: zijn werk zit, zonder dat Pollock zich daarvan bewust was, vol met fractale structuren. Althans, dat beweerde Richard Taylor toen hij eind jaren negentig van de twintigste eeuw enkele van Pollocks werken analyseerde. In een onlangs verschenen preprint schrijven drie onderzoekers van de Case Western Reserve University in de Verenigde Staten dat dit onzin is.

Fractals

Een fractal is een structuur die er op grote schaal net zo uitziet als op kleine schaal. In de natuur zijn hiervan talloze voorbeelden te vinden. Een tak van een boom lijkt zelf weer op een boom, maar dan in het klein. Als je op een gedetailleerde kaart het stroomgebied van de Amazone bekijkt, merk je dat elke zijrivier zijn eigen stroomgebied heeft met opnieuw zijrivieren. Of neem de grillige kustlijn van Noorwegen met zijn vele fjorden en kapen: ieder fjord of kaap heeft weer zijn eigen inhammen en landtongen.

Richard Taylor van de universiteit van Oregon in de VS ontdekte dat er iets vergelijkbaars aan de hand is met de kunstwerken van Pollock. De grote penseelstrepen bevatten ieder een kleiner netwerk van strepen; als je een klein fragment van een schilderij van Pollock uitvergroot, lijkt het net alsof je het oorspronkelijke schilderij ziet. Toen enkele jaren geleden een serie doeken werd gevonden waarvan men dacht dat het wel eens echte Pollocks zouden kunnen zijn, werd Taylor om een oordeel gevraagd. Een niet onbelangrijke kwestie: een echte Pollock is al gauw enkele miljoenen waard!

Onbetrouwbaar

Bezwaren tegen Taylors methode kwamen van Katherine Jones-Smith, Harsh Mathur en Lawrence Krauss van de Case Western Reserve University. Volgens hen is Taylor bewust op zoek gegaan naar wiskundige structuren en is hij daarbij zo ver gegaan dat hij uiteindelijk vond wat hij wilde. ‘Achter het werk van Pollock houden zich geen fractals schuil,’ zegt Jones-Smith. Deze hogerejaars studente maakte zelf enkele eenvoudige tekeningen – poppetjes, sterren, cirkels – en liet daar Taylors analyse op los. Wat bleek? Haar tekeningen voldeden aan dezelfde kwaliteitseisen als een echte Pollock! Dat haar tekeningen de ‘Taylortest’ doorstonden, geeft volgens haar aan dat die test zeer onbetrouwbaar is. ‘Of Kate’s tekeningen zijn veertig miljoen dollar waard,’ grapt Mathur, een collega van Jones-Smith.

Fractaldimensies

Om de structuur van een fractal te begrijpen, hebben wiskundigen het begrip ‘fractaldimensie’ bedacht. Verzamelingen waarvan de lengte bepaald kan worden, noemen we 1-dimensionaal; denk hierbij aan een lijnstuk of aan een cirkelboog. Verzamelingen waarvan de oppervlakte bepaald kan worden, noemen we 2-dimensionaal; voorbeelden zijn vierkanten of ellipsen. Als we nu toelaten dat een fractal een dimensie tussen 1 en 2 heeft, dan kunnen we een maat maken waarmee de kromme gemeten kan worden. Zo heeft de Kochkromme dimensie 1,26. Aan deze gebroken, ook wel fractale, dimensie danken de fractals hun naam. Een relatief simpele fractal heeft een dimensie dicht bij 1, hoe moeilijker een fractal is, hoe dichter zijn dimensie bij de 2 ligt.

Deze maat kan ook worden gebruikt bij de kunstwerken van Pollock, dacht Taylor. Hij ontdekte dat de dimensie van een Pollockschilderij steeds groter werd naarmate het werk later in Pollocks carrière was gemaakt. Met andere woorden: Pollock fractale kunstwerken werden steeds ingewikkelder. De grootste door Taylor gemeten dimensie was 1,72.

32 nieuwe werken

Jones-Smith hoorde in 2004 van Taylors onderzoek en wou wel eens zien wat er van waar was. Haar simpele tekeningen bleken een fractaldimensie groter dan 1 te hebben, tot haar eigen verbazing. Dit wekte meteen argwaan bij haar. Toch deed ze er verder niets mee: Taylors onderzoek was al een paar jaar oud en niemand zou meer geïnteresseerd zijn in haar tegenwerping. Totdat zij vorig jaar las dat er 32 schilderijen waren ontdekt in Pollocks stijl, die door Taylor geanalyseerd waren. Zijn conclusie was dat geen van de 32 schilderijen de fractale karakteristieken bezit die veel bekende Pollocks kenmerken. Voor Jones-Smith was dit aanleiding dit onderwerp weer op te pakken. In november vorig jaar publiceerde zij samen met Mathur een artikel in het gezaghebbende tijdschrift Nature.

Volgens Jones-Smith en Mathur bevat Taylors model een fundamentele fout. Fractals bezitten steeds dezelfde structuur, op welke schaal je het ook bekijkt. De Kochkromme kun je zo ver inzoomen als je wilt, het repeterende patroon blijf je zien. Dit geldt voor geen enkel natuurlijk object. De werken van Pollock kun je slechts op enkele niveaus inzoomen. ‘Op die manier kun je in vrijwel alles wel een fractal zien,’ aldus Mathur.

Nieuw onderzoek

Dit jaar heeft Jones-Smith met haar collega’s het onderzoek naar fractalstructuren in kunstwerken voortgezet. Ze bestudeerden drie beroemde schilderijen van Pollock ( Free Form (1946), The Wooden Horse: Number 10A, 1948 (1948) en Untitled (ca. 1950)), twee van de 32 recent ontdekte schilderijen en twee in 2007 gemaakte werken van Alexandra Ash en Michael Hallen. De drie kunstwerken waarvan Pollock met zekerheid de maker is, doorstonden de test van Taylor niet, die van Ash en Hallen wel. Van de twee recent gevonden schilderijen voldeed er één wel en één niet. Hun conclusie luidt dat een fractalanalyse in geen enkel opzicht kan helpen bij het authenticeren van schilderijen.

Het onderzoek van afgelopen jaar heeft bovendien geleid tot twee nieuwe resultaten in de theorie over fractals. Een eerste resultaat betreft het feit dat een mengsel van twee fractals in het algemeen niet schaalinvariant is. Ten tweede heeft het onderzoek geleid tot een nieuwe kijk op het onderscheid tussen fractals en Euclidische objecten.