Opwinding onder wiskundigen: de Japanner Shinichi Mochizuki van de Kyoto University in Japan zou het abc-vermoeden hebben bewezen. Dit vermoeden doet een uitspraak op het gebied van positieve gehele getallen. Is het waar, of gaat het om de zoveelste bewijspoging van een groot wiskundig probleem die de prullenbak in kan? “Dit moeten we serieus nemen”, zegt Hendrik Lenstra, hoogleraar getaltheorie aan de Universiteit Leiden en een van de initiatiefnemers van het project ‘Reken mee met abc’ om het abc-vermoeden bij een groter publiek bekend te maken.
Vakgenoten uit de hele wereld zijn het met hem eens: “Mochizuki is een uitstekende wetenschapper en heeft in zijn vakgebied al vele grootse resultaten geboekt”, aldus Gerhard Frey, de Duitse wiskundige die in de jaren tachtig van de vorige eeuw een verband wist te leggen tussen de laatste stelling van Fermat en modulaire vormen, hetgeen Andrew Wiles in staat stelde om eindelijk af te rekenen met Fermats beroemde bewering uit 1637.
Specialistisch
Mochizuki heeft zijn bewijs op internet gezet. Ondanks dat ik wiskundige ben, snap ik niets van zijn artikel. Want zo gaat het nu eenmaal in het moderne onderzoek: de stappen in een wiskundig bewijs zijn zó specialistisch, dat die pas na jaren studie in het betreffende deelgebied van de wiskunde te volgen zijn. En zeker in dit geval: Mochizuki’s aanpak is compleet nieuw en door hem zelf verzonnen. Zijn hele wiskundige bouwwerk moet eerst begrepen worden. De verificatie van zijn bewijs vereist dus heel veel werk; ook experts als Lenstra en Frey kunnen daar maanden of zelfs jaren zoet mee zijn.
Toch acht ik iedereen die kan optellen en vermenigvuldigen in staat om het abc-vermoeden te begrijpen. Dat maakt dit vermoeden zo aantrekkelijk, vergeleken met veel andere open problemen in de wiskunde. Het abc-vermoeden gaat over drie getallen, a, b en c, waarvoor geldt dat a + b = c. Bijvoorbeeld: 1 + 2 = 3. Of: 4 + 121 = 125. Van de drie getallen eisen we dat ze positief en geheel zijn, en dat hun grootste gemene deler gelijk is aan 1. Dus 2 + 4 = 6 doet niet mee, want 2, 4 en 6 zijn alle drie deelbaar door 2.
Bij de som 4 + 121 = 125 gaat het hart van de wiskundige sneller kloppen, want de getallen 4, 121 en 125 zijn alle drie ‘perfecte machten’: 4 is het kwadraat van 2, 121 het kwadraat van 11 en 125 de derdemacht van 5. En zoiets is bijzonder: als je willekeurig twee perfecte machten kiest, zal hun som meestal géén perfecte macht zijn. Een ander ‘mooi’ voorbeeld is 343 + 59049 = 59392. De getallen 343 en 59049 zijn perfecte machten: 73 respectievelijk 310. En 59392 is ‘bijna’ een perfecte macht: 29 × 211.
Priemgetallen zijn de bouwstenen van de natuurlijke getallen. Ze zijn alleen door 1 en zichzelf deelbaar. Getallen die niet priem zijn, kunnen als product van ten minste twee priemgetallen geschreven worden. Zo is de priemfactorontbinding van 45 gelijk aan 3 × 3 × 5. Het abc-vermoeden gaat over diepe connecties tussen de priemfactoren van de drie getallen a, b en c.
Rijke en arme getallen
We noemen een getal rijk als ten minste een van zijn priemfactoren meer dan eens voorkomt in zijn priemfactorontbinding. Dus 45 is rijk, want de priemfactor 3 komt twee keer voor. Hoe vaker een priemfactor voorkomt, hoe rijker het getal. Als geen enkele priemfactor meer dan één keer voorkomt, heet het getal arm. Een rijk getal kunnen we arm maken door alle meervoudig voorkomende priemfactoren eruit te gooien, zodat we van elke priemfactor nog maar één stuk overhouden. Wiskundigen noemen deze arme versie het radicaal, afgekort rad. Dus het radicaal van 45 is 3 × 5 = 15. Nog een paar voorbeelden: rad(343) = rad(73) = 7, en rad(59392) = rad(29 × 211) = 29 × 2 = 58. Het radicaal van een arm getal is uiteraard het getal zelf, bijvoorbeeld: rad(34) = rad(17 × 2) = 17 × 2 = 34.
Bij het abc-vermoeden draait het om het radicaal van het product a x b x c (kortweg abc). Neem bijvoorbeeld het tripel {3, 7, 10}. Er geldt rad(3 × 7 × 10) = rad(3 × 7 × 2 x 5) = 210. Dit radicaal is een stuk groter dan 10, de waarde van c. Verwonderlijk is dat niet, want het getal 3 × 7 × 10 is arm: het bevat vier priemfactoren die elk slechts één keer voorkomen. Bij het tripel {1, 8, 9} pakt het anders uit: rad(1 × 8 × 9) = rad(23 x 32) = rad(2 × 3) = 2 × 3 = 6. Je ziet: het radicaal is kleiner dan 9, de waarde van c.
De kwaliteit van een tripel
Om tripels met elkaar te kunnen vergelijken, voeren we een kwaliteitsmaat in: de kwaliteit van een tripel {a, b, c} is de macht waartoe je het radicaal van abc moet verheffen om c te krijgen. De meeste tripels hebben een kwaliteit die kleiner is dan 1. Maar voor tripels met rad(abc) < c is de kwaliteit groter dan 1. Zo is de kwaliteit van het tripel {1, 8, 9} ongeveer gelijk aan 1,226: de oplossing van de vergelijking 6k = 9. En hoe zit het met de kwaliteit van dat prachtige tripel {4, 121, 125}? Het radicaal van het product 4 × 121 × 125 is gelijk aan 2 × 11 × 5 = 110, dus de gezochte kwaliteit is de oplossing van 110k = 125: die is ongeveer 1,027. Je ziet: slechts een heel klein beetje groter dan 1. Dat komt doordat 4, 121 en 125, hoewel niet arm, wel aan de armoedegrens leven: de exponenten van de priemfactoren zijn niet meer dan 2 of 3.
Het tripel {343, 59049, 59392} bevat rijkere getallen: de exponent van 3 in de priemfactorontbinding van 59049 is 10, en de exponent van 2 in de priemfactorontbinding van 59392 is zelfs 11. Dat maakt dat dit tripel een erg hoge kwaliteit heeft. Het radicaal van 343 × 59049 × 59392 is 7 × 3 × 29 x 2 = 1218, de gezochte kwaliteit is ongeveer 1,547.
Een afgezwakte versie van het abc-vermoeden zegt dat de kwaliteit niet willekeurig groot kan worden: er zit een bovengrens aan. Nu is ook duidelijk waarom we eisten dat a, b en c geen gemeenschappelijke delers mogen hebben: zonder die eis kan de kwaliteit wél willekeurig groot worden. Bijvoorbeeld, als a = b = 299, dan is c = 2100 en rad(abc) = 2. De kwaliteit is dan 100.
De beste kwaliteit die tot nog toe is gevonden, is (afgerond op drie decimalen) 1,630 en hoort bij het tripel {2, 310 x 109, 235}. Dit resultaat, van Eric Reyssat, stamt al uit 1987, twee jaar nadat het abc-vermoeden werd geformuleerd door Joseph Oesterlé en David Masser. Sindsdien is er, ondanks veel computerberekeningen, geen enkel tripel met een hogere kwaliteit gevonden. Men acht het daarom niet onwaarschijnlijk dat Reyssats drietal de absolute kampioen is.
Het abc-vermoeden zoals Oesterlé en Masser het formuleerden, klinkt wat zwaarder: voor elke willekeurige grens g groter dan 1 bestaan er slechts eindig veel tripels met een kwaliteit groter dan g. Het is niet moeilijk om te bewijzen dat er oneindig veel tripels bestaan met een kwaliteit groter dan 1. Maar kennelijk zijn de meeste van die kwaliteiten maar een heel klein beetje groter dan 1: op een eindig aantal na hebben ze allemaal een kwaliteit tussen 1 en g, hoe dicht je g ook bij 1 kiest.
Gevolgen
Als Mochizuki gelijk blijkt te hebben, is dat misschien wel de grootste doorbraak in de getaltheorie sinds Andrew Wiles in 1994 het bewijs van de laatste stelling van Fermat voltooide. Voor Wiles was Fermat ‘slechts’ een bijproduct: in feite bewees hij een deel van het vermoeden van Taniyama-Shimura, waaruit de juistheid van Fermats laatste stelling volgt.
Iets soortgelijks geldt voor Mochizuki. De stelling waarop hij zich stortte, is omvangrijker dan het abc-vermoeden. Niet alleen dit vermoeden volgt uit zijn stelling, ook twee andere, minder bekende vermoedens, zijn automatisch bewezen als hij gelijk blijkt te hebben: het Vojta-vermoeden en het Szpiro-vermoeden.
De diepgang van het abc-vermoeden blijkt alleen al uit het feit dat de laatste stelling van Fermat eruit volgt. Kinderlijk eenvoudig zelfs, mits de bovengrens voor de kwaliteit niet te hoog uitvalt. Als er geen tripels met kwaliteit hoger dan 2 bestaan (en daar lijkt het sterk op), is ‘Fermat’ in een paar regels bewezen. Maar goed, dat ‘Fermat’ klopt, wisten we al, dankzij Andrew Wiles. Om de kracht van het abc-vermoeden te laten zien, volgt hier een ander voorbeeld.
De getallen 8 en 9 hebben de aardige eigenschap dat ze beide perfecte machten zijn (23 en 32) en bovendien buren van elkaar zijn op de natuurlijke getallenlijn. Eugène Catalan vermoedde in 1844 dat 8 en 9 de enige twee getallen zijn met deze eigenschap en Preda Mihăilescu bewees in 2002 dat Catalan gelijk had.
Maar nog veel vragen bleven onbeantwoord: hoeveel tweetallen perfecte machten bestaan er met verschil 2, zoals 25 (= 52) en 27 (= 33)? Of met verschil 3, zoals 125 (= 53) en 128 (= 27)?
In 1936 vermoedde Subbayya Pillai dat er voor elke waarde van k slechts eindig veel paren van perfecte machten bestaan met verschil k. Tot nog toe is dit alleen bewezen voor het geval k = 1: het Catalan-vermoeden. Als Mochizuki’s bewijs de toets der kritiek doorstaat, is het Pillai-vermoeden in één klap bewezen voor élke waarde van k.
Meer over het abc-vermoeden op Kennislink:
Oeps: Onbekende tag `feed’ met attributen {"url"=>"https://www.nemokennislink.nl/kernwoorden/abc-vermoeden.atom", “max”=>"10", “detail”=>"minder"}