Je leest:

Doorbraak congruente getallen

Doorbraak congruente getallen

Auteur: | 24 september 2009

Wiskundigen hebben met behulp van computers de eerste biljoen (een één met twaalf nullen) gevallen van een eeuwenoud wiskundig probleem gevonden. Het gaat om zogeheten ‘congruente getallen’: gehele getallen die de oppervlakte kunnen zijn van rechthoekige driehoeken waarvan de lengtes van de drie zijden rationale getallen zijn. De doorbraak was mogelijk door nieuwe, slimme methoden om zeer grote getallen met elkaar te vermenigvuldigen. Denk hierbij aan getallen die uitgeschreven in een normaal handschrift een lengte hebben van de aarde tot de maan en weer terug.

Op school leert iedereen de stelling van Pythagoras: in een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c geldt: a2 + b2 = c2. Een beroemd drietal getallen a, b en c waarvoor de stelling geldt, is het drietal 3, 4 en 5. Reken maar na: 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25 en inderdaad: 9 + 16 = 25. Een ander voorbeeld is het drietal 5, 12 en 13; dit is niet moeilijk om na te rekenen. Als je twee gehele getallen voor a en b kiest, hoeft c niet óók geheel te zijn. Sterker nog: het is relatief zeldzaam dat alledrie de getallen geheel zijn (al zijn er wel oneindig veel van zulke drietallen). Neem bijvoorbeeld a = 1 en b = 2, dan is c2 = 12 + 22 = 5, dus c = √5 en dat getal is niet geheel: het is bij benadering gelijk aan 2,236. Het getal √5 is zelfs niet te schrijven als een breuk t/n, waarbij t en n gehele getallen zijn. Het bewijs daarvan is te lezen in het Kennislinkartikel Irrationale getallen.

Het Congruente getallen probleem

Het probleem waar een internationaal team van wiskundigen zich mee bezig hield, is al meer dan duizend jaar oud. Het gaat over de oppervlaktes van rechthoekige driehoeken. Het ogenschijnlijk eenvoudige probleem is om te bepalen welke gehele getallen de oppervlakte kunnen zijn van een rechthoekige driehoek, waarvan de lengtes van de drie zijden rationale getallen (dat wil zeggen: breuken) zijn. Zulke getallen noemen wiskundigen congruente getallen. De eerder genoemde driehoek met zijden 3, 4 en 5 heeft oppervlakte ½ x 3 × 4 = 6, dus 6 is een congruent getal. Het kleinste congruente getal is 5: het is de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met zijden 3/2, 20/3 en 41/6.

De drie kleinste congruente getallen zijn 5, 6 en 7

De rij van congruente getallen begint zo: 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21. Veel congruente getallen waren al langer bekend, maar de lijst van bekende congruente getallen is flink uitgebreid. De wiskundigen hebben computers geavanceerde berekeningen laten uitvoeren. Zij vonden niet minder dan 3.148.379.694 nieuwe congruente getallen. Daarmee zijn er nu meer dan een biljoen (= 1012) van dit soort getallen bekend!

Resultaten als deze worden soms met scepsis ontvangen. Het rekenwerk kun je onmogelijk ‘met de hand’ uitvoeren: de getallen zijn daarvoor veel te groot. Je moet dus vertrouwen op het resultaat van een computer. Maar hoe weet je nu zeker of die computer geen rekenfout maakt? Een kleine bug in de computer of in het programma kan er zomaar voor zorgen dat de computer een verkeerd antwoord geeft. Toch zijn de wiskundigen overtuigd van de juistheid van hun vindingen. Alle berekeningen zijn tweemaal uitgevoerd, op verschillende computers, gebruikmakend van verschillende algoritmen, geschreven door onafhankelijke programmeurs. Voor meer informatie over het vermenigvuldigen van zeer grote getallen op een computer, klik hier.

Al-Fakhri fi’l-jabr wa’l-muqabala, een manuscript uit de tiende eeuw van Al-Karaji

Geschiedenis

Het probleem van congruente getallen werd al bestudeerd in de tiende eeuw. In een Arabisch manuscript komt het probleem al voor, al werd het toen niet in termen van rechthoekige driehoeken geformuleerd. In moderne taal komt de meer dan duizend jaar oude formulering neer op het volgende: voor welke waarden van N bestaat er een kwadraat (van een rationaal getal) a2 zodanig dat a2 – N en a2 + N óók kwadraten (van rationale getallen) zijn? Zodra daaraan wordt voldaan, is N een congruent getal.

In de daaropvolgende eeuwen werd het probleem door verschillende personen bestudeerd. In zijn boek Liber quadratorum uit 1225 toonde Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci (ja, van de rij van Fibonacci), aan dat 5 en 7 congruent zijn. Verder vermoedde hij dat 1 géén congruent getal is. Hij had inderdaad gelijk, maar dat werd pas ruim vier eeuwen later bewezen door de Franse amateurwiskundige Pierre de Fermat (1601-1665). Dit bewijs is onder andere te vinden in een artikel van Keith Conrad en in een artikel van John Coates, zie de links onderaan dit artikel.

In de jaren 1980 berekende de in Amerika geboren en in Duitsland werkzame wiskundige Don Zagier dat bovenstaande driehoek een congruent getal oplevert: de oppervlakte van deze driehoek is 157. De illustratie is afkomstig uit een boek Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms uit 1993 van N. Koblitz.

Twintigste eeuw

In 1915 waren alle congruente getallen onder de 100 bekend; voor in een tijd waarin het rekenwerk nog niet door computers kon worden gedaan, is dat best indrukwekkend. In 1952 maakte Kurt Heegner een belangrijke stap voorwaarts: hij bewees dat alle priemgetallen die voorkomen in de rij 5, 13, 21, 29, 37, … congruent zijn. Hoe diepzinnig dit resultaat ook is, het zegt nog lang niet alles over de getallen in die rij: bijvoorbeeld 21 is niet priem en daarover geeft de stelling van Heegner dan ook geen uitsluitsel.

Eeuwenlang werden dus resultaten geboekt op het gebied van congruente getallen, maar in essentie blijft het probleem onopgelost. Twee belangrijke openstaande problemen zijn:

1. Bestaat er een algoritme (een recept dat in een eindig aantal stappen tot een antwoord leidt) dat bepaalt of een gegeven getal N congruent is? 2. Zijn de kwadraatvrije getallen uit de rij 5, 13, 21, 29, 37, … congruent? (Een getal N heet kwadraatvrij indien N het product is van verschillende priemgetallen; dus 21 is kwadraatvij (3 × 7), maar 20 niet (2 × 2 × 5).) En hoe zit dat met de getallen uit de rijen 6, 14, 22, 30, 38, … en 7, 15, 23, 31, 39, …?

Hier zie je 125 verschillende rechthoekige driehoeken waarvan de zijden allemaal rationaal zijn. De oppervlakte van elke driehoek is 2006, dus 2006 is een congruent getal. Bron: http://modular.math.washington.edu/simuw06

Lang was het congruente getallen probleem geïsoleerd in de wiskunde. Pas in 1982 werd het gekoppeld aan een rijke theorie: de wiskundige Jerrold Tunnell legde een verband tussen congruente getallen en elliptische krommen. Elliptische krommen lijken op het eerste gezicht ver van de getaltheorie af te staan, maar niets is minder waar. In 1994 werd Andrew Wiles beroemd door het bewijs te leveren van de Laatste Stelling van Fermat. Het was voor hem onmogelijk geweest deze beroemde stelling te bewijzen zonder de theorie van elliptische krommen.

Tunnell vond een formule om te bepalen of een gegeven getal al dan niet congruent is. Het probleem is echter dat de waarheid van die formule afhangt van een nog onopgelost probleem in de wiskunde: het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer. In 2000 kwam dit vermoeden op de lijst van zeven grootste open problemen uit de wiskunde: de millennium problems van het Clay Mathematics Institute. De prijs voor degene die zo’n probleem oplost: één miljoen dollar. Maar nog veel belangrijker: je zult altijd worden herinnerd als een van de geniaalste wiskundigen die hebben geleefd.

Artikelen over congruente getallen (pdf):

Frans Oort, Congruente getallen Keith Conrad, The congruent number problem John Coates, Congruent Number Problem Kent Morrison, Congruent Numbers Jaap Top en Noriko Yui, Congruent number problems and their variants

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 24 september 2009

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.